专题05 函数导数7大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 函数导数 题型概览 题型01函数的单调性与奇偶性 题型02函数的奇偶性与周期性 题型03函数的奇偶性与对称性 题型04函数的周期性和对称性 题型05导数的运算 题型06导数的几何意义 题型07用导数研究函数的性质 ( 题型01 )函数的单调性与奇偶性 1．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京顺义·期末）若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·北京密云·期末）下列函数中，在上单调递增的奇函数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·北京西城·期末）记函数的导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 6．（21-22高二下·北京延庆·期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高二下·北京·期末）设是奇函数，则使的x的取值范围是（    ） A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，0       ) D． 8．（19-20高二下·北京海淀·期末）下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 函数的奇偶性与周期性 1．（2023·上海浦东新·高二下期末）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高二下·北京延庆·期末）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，且，都有；②；③是偶函数；若，，，则，， 的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·北京延庆·期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·广西梧州·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数有3个零点 D．当时， 6．（21-22高二下·云南曲靖·期末）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（    ） A． B．2 C． D．98 7．（23-24高二下·北京·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 8．（21-22高二下·北京·期末）设函数，则下列命题中的真命题是（    ） ①是奇函数；           ②当时，； ③是周期函数；         ④存在无数个零点； A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ ( 题型03 )函数的奇偶性与对称性 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称. 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 4．（18-19高二下·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 5．（18-19高二下·北京昌平·期末）函数对称中心为（　　） A． B． C． D． 6．（21-22高二下·北京昌平·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·北京东城·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·北京·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 ( 题型0 4 )函数的周期性和对称性 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数对任意满足，，且，则等于（    ） A．1 B．0 C．2 D． 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 5．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南·期末）设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数满足对都有，，则 （    ） A．1 B．2024 C．2 D．2025 ( 题型01 ) 导数的计算 1．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则= ． 5．（24-25高二下·北京东城·期中）已知，则当时的导数值= . 6．（24-25高二下·北京东城·期中）设函数则 ． 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则 ． ( 题型02 ) 导数的几何意义 1．（21-22高二下·北京顺义·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·北京·期中）设对于曲线上任一点处的切线l1，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数k的取值范围是（　　） A．(-1,2) B．[-1,2] C．[0,1] D．(0,1) 5．（22-23高二下·北京丰台·期中）如图，已知函数图象关于直线对称，直线是曲线在点处的切线，则 ．    6．（24-25高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为 . 7．（22-23高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 8．（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． ( 题型03 ) 用导数研究函数的性质 1．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则 ；在区间上有 个极值点. 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值. 8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 9．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 1．（21-22高二下·北京·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数， (1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若方程在有三个不同的根，求的取值范围． 3．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)当，时，求函数在区间上的最小值． 4．（21-22高二下·北京·期末）已知函数是奇函数，且. (1)求实数的值； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当时，解关于的不等式：. 5．（22-23高二下·北京东城·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，＝. (1)求在上的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．（22-23高二下·北京房山·期末）设函数在时取得极值． (1)求a的值； (2)若对于任意的，都有成立，求b的取值范围． 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若函数在处取得极小值，求实数，的值； (2)求在上的值域； (3)已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数． 9．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 11．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当且时，判断与的大小，并说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02基本函数性质 题型概览 题型01函数的单调性与奇偶性 题型02函数的奇偶性与周期性 题型03函数的奇偶性与对称性 题型04函数的周期性和对称性 题型05导数的运算 题型06导数的几何意义 题型07用导数研究函数的性质 ( 题型01 )函数的单调性与奇偶性 1．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】， 当时，，所以是单调递增函数， 因为，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·北京顺义·期末）若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【详解】由图可知在上单调递减，且也是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是. 故选：A. 3．（23-24高二下·北京昌平·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A； 由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B； 由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C； 由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意． 故选：D． 4．（22-23高二下·北京密云·期末）下列函数中，在上单调递增的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A：，定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，故选项A错误； 对于B：，定义域为，因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故选项B错误； 对于C：，定义域为，因为， 所以函数为偶函数，且时，， 由对数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C错误； 对于D：，定义域为，因为， 所以为奇函数，又与都在上单调递增， 由单调性的性质可知在上单调递增，故选项D正确. 故选：D. 5．（22-23高二下·北京西城·期末）记函数的导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【详解】，则其定义域为， 又注意到，则是偶函数. 故选：B 6．（21-22高二下·北京延庆·期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为1， 因为是定义域为的奇函数，， 所以， 故选：C 7．（21-22高二下·北京·期末）设是奇函数，则使的x的取值范围是（    ） A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，0       ) D． 【详解】为奇函数，则，， 此时，定义域是，，满足题意， ，，解得． 故选：A． 8．（19-20高二下·北京海淀·期末）下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，函数在整个定义域内不单调，故C错误； 对于D，函数，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确. 故选：D. ( 题型02 ) 函数的奇偶性与周期性 1．（2023·上海浦东新·高二下期末）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题； 对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题. 故选：D 2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则， 可知4为的周期， 且，可得. 故选：C. 3．（19-20高二下·北京延庆·期末）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，且，都有；②；③是偶函数；若，，，则，， 的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】①因为对于对任意的，且，都有，即函数 在上单调递减； ②由可得函数的周期； ③由是偶函数可得函数的图象关于对称， 所以，，， 所以， 则. 故选：C. 4．（21-22高二下·北京延庆·期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为1， 因为是定义域为的奇函数，， 所以， 故选：C 5．（21-22高二下·广西梧州·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数有3个零点 D．当时， 【详解】因为，且为偶函数， 所以 ， 故的周期为4，故A正确． 由的周期为4，则，， 所以，故B错误； 令，可得， 作函数和的图像如下图所示， 由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确； 当时，，则，故D正确． 故选：B． 6．（21-22高二下·云南曲靖·期末）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（    ） A． B．2 C． D．98 【详解】因为是上的奇函数，则，，则， 函数周期为4，又，则. 故选：A. 7．（23-24高二下·北京·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【详解】由于的图象关于点对称，故的图象关于点对称， 即为奇函数， 又，则，即16 为的周期， 令代入，则， 故， 故选：B 8．（21-22高二下·北京·期末）设函数，则下列命题中的真命题是（    ） ①是奇函数；           ②当时，； ③是周期函数；         ④存在无数个零点； A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【详解】对①，，所以是奇函数，故①正确； 对②，令，则， 又，所以在单调递减， 因为，，所以存在，使， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 所以，所以，故②正确； 对③，假设的周期为，则对一切成立， 取时，，得， 再取时，，得， 显然无解，故不是周期函数，故③错误； 对④，令，解得，取，则，解得或，所以有无数个零点，故④正确. 故选：D. ( 题型03 )函数的奇偶性与对称性 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称. 【详解】设函数与的图象关于直线对称， 因为函数图象关于对称图象的函数解析式为， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，即关于对称， 所以根据平移变换得 函数， 所以， 解得， 所以. 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【详解】由是偶函数，得的图象关于轴对称， 而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 所以函数的图象的对称轴是. 故选：B 4．（18-19高二下·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则的图象关于原点对称. 故选：D 5．（18-19高二下·北京昌平·期末）函数对称中心为（　　） A． B． C． D． 【详解】设， 则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 易知， 所以函数的对称中心为. 故选：B 6．（21-22高二下·北京昌平·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】是奇函数， ，即关于对称， ， ， 所以是周期为的周期函数. ， ，， ， ，， 所以， 由于， 所以. 故选：C 7．（22-23高二下·北京东城·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为当时，恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 因为是偶函数， 所以的图象关于对称， 因为，，， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 8．（23-24高二下·北京·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【详解】由于的图象关于点对称，故的图象关于点对称， 即为奇函数， 又，则，即16 为的周期， 令代入，则， 故， 故选：B ( 题型0 4 )函数的周期性和对称性 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则． 故选：C 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数对任意满足，，且，则等于（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【详解】，所以函数的周期为4， 由，知， 则. 故选：B 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 【详解】，的图象关于直线对称， 令，则的图象关于直线对称， 作出函数在区间的图象， 由图可知，与的图象在区间上共有8个交点，且两函数关于直线对称， 所以方程在区间所有解的和为. 故选：. 5．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 又因为为偶函数， 所以， 即， 所以， 故是以为周期的周期函数. 因为当时，， 所以 因为， 所以. 故选：C. 6．（23-24高二下·湖南·期末）设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，即， 再令得：，所以，即函数是以为周期的函数，所以，， 由可得关于对称，又因为，单调递增，所以当，单调递减， 因为，所以，即. 故选：C 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数满足对都有，，则 （    ） A．1 B．2024 C．2 D．2025 【详解】由，令，可知，即， 又因为，所以函数的一个周期为3， 则. 故选：C． ( 题型01 ) 导数的计算 1．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【解析】求导得，所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题设，令， 又， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，易知，可得A正确； 对于B，可得，即B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D 4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则= ． 【解析】由题意，，所以. 故答案为：1. 5．（24-25高二下·北京东城·期中）已知，则当时的导数值= . 【解析】由，得， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二下·北京东城·期中）设函数则 ． 【解析】令，，则函数是由与构成的复合函数， 其对的导数为， 则， 故答案为：. 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则 ． 【解析】由，得. . 故答案为：. ( 题型02 ) 导数的几何意义 1．（21-22高二下·北京顺义·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 2．（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【解析】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B 3．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【解析】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 4．（21-22高二下·北京·期中）设对于曲线上任一点处的切线l1，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数k的取值范围是（　　） A．(-1,2) B．[-1,2] C．[0,1] D．(0,1) 【解析】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：C 5．（22-23高二下·北京丰台·期中）如图，已知函数图象关于直线对称，直线是曲线在点处的切线，则 ．    【解析】根据二次函数图像可以设其解析式为： ， 所以， 曲线在点处的切线斜率为， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为 . 【解析】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故答案为：. 7．（22-23高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解析】（1）函数在区间上的平均变化率为； （2），，， ，，， 由题意可知，，得； （3），设切点为，， 则曲线在点处的切线方程为，切线过点， 则，化简为， 即，则， 得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为， 综上可知，切线方程为或. 8．（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 【解析】（1）因为， 所以； （2）点满足曲线，即为直线的切点， 直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则， 因为，所以，解得，所以， 即切点为，切线的斜率为， 故的方程为，即． ( 题型03 ) 用导数研究函数的性质 1．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意，，其定义域为， 其导数， 若，即，解可得或， 即的递增区间为、， 只有C符合． 故选： C 3．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为的定义域是， 所以， 当时，，在上为增函数，即在上是单调函数. 所以在上为单调函数，是充分条件； 反之，在上为单调函数或，不是必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 【解析】该图象为函数的导函数的图象. 当为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值. 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在和处. 在时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在处取得极小值. 而在处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点. 这说明恰有一个极值点. 故选：D. 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则 ；在区间上有 个极值点. 【解析】由题意有，所以， 令有或，当时，有或， 由有或解得或， 由有或解得或， 所以的单调增区间为，单调减区间为， 所以的极大值点为，极小值点为，在区间上有2个极值点， 故答案为：；2. 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【解析】（1）当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. （2）函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 （3）因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值. 【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，无极小值； 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，无极小值. 8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【解析】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 9．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【解析】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 【解析】（1）由，得. 又当时，有极值，所以，解得. 所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，有极小值，所以，. （2）由（1）知，， 令，得，， 、的值随的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的取值范围为. 1．（21-22高二下·北京·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， 令，解得：， 所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增， 即函数单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题可知， 由（1）可知，当时，函数有最小值， ∴，即， 故的取值范围为. 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数， (1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若方程在有三个不同的根，求的取值范围． 【详解】（1）代入得到，即切点坐标（0，1） 由，得 ．                                               - 所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为. （2）由，得 ． 令，得，解得或 与在区间上的情况如下： -4 -3 1 3 ↗ 10 ↘ ↗ 10 所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10； 当x=1时，最小值为． （3）若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点 由（2）可知： -3 1 ↗ 10 ↘ ↗ 又当；当 所以时，方程有三个不同根． 3．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)当，时，求函数在区间上的最小值． 【详解】（1）函数的定义域为， 由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立， 即，即恒成立，而当时， 所以. （2）当，时，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 所以，当时函数取得最小值为4. 4．（21-22高二下·北京·期末）已知函数是奇函数，且. (1)求实数的值； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当时，解关于的不等式：. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，即， ， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，解得， （2）证明：由（1）可知 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）当时，， 由（2）可知在上单调递增， 因为， 所以，即，解得（舍去），或， 所以不等式的解集为 5．（22-23高二下·北京东城·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，＝. (1)求在上的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为 是定义在上的奇函数，时，＝， 所以 ，解得，所以 时，， 当时，， 所以 ， 又， 即在上的解析式为； （2）因为 时，， 所以 可化为， 整理得， 令，根据指数函数单调性可得 是减函数， 所以 ， 所以 ， 故实数的取值范围是. 6．（22-23高二下·北京房山·期末）设函数在时取得极值． (1)求a的值； (2)若对于任意的，都有成立，求b的取值范围． 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，解得，此时， 当或时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，因此函数在时取得极值， 所以. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 依题意，，即，解得或， 所以b的取值范围是或. 7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 当时， 若，即时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 若，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，不符合题意； 综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为. 8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若函数在处取得极小值，求实数，的值； (2)求在上的值域； (3)已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时，由，得到或， 当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2），令，则或， 若时，恒成立，此时在上单调递增， 则在上单调递增，又，， 此时在上的值域为， 因为当时，，由，得到或， 当时，， 由，得到，即， 解得或， 若，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 不妨假设，其图象如图1， 当，此时； 当，即时， 在上的最小值为， 最大值为； 当，即时， 又， 所以在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 若，当或时，，当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，不妨假设，其图象如图2， 当，此时；当，即时， 在上的最小值为，最大值为， 当，此时；当，即时，在上的最小值为，最大值为， 当，即时，又， 所以在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为. （3）由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即，所以， 当时，函数取到极小值，即， 又当时，，当时，， 所以当，即时，有1个零点； 当，即时，有2个零点； 当，即时，有3个零点. 9．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【解析】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：因为是函数的极值点，可得，解得， 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以. （3）解：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【解析】（1）因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 5．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当且时，判断与的大小，并说明理由． 【解析】（1）的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （2）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$