精品解析：2025年江苏省连云港市海州区九年级中考二模数学试题

海洲区2025年中考 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效； 2．请认真核对答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各实数中，是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a在数轴上位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 5. 榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件．若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与的相切于点，交于点，连结．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 8. 如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 写出一个比大且比小的整数是___________． 10. 今年的“五一”节，连云港成为长三角十佳旅游目的地，共接待国内外游客6080000人次，将数据6080000用科学记数法表示为___________． 11. 函数经过点，则的值是___________． 12. 若x、y满足方程组，则x+y的值是 _____． 13. “五一”节后休渔，为了保证海鲜供应，对于皮皮虾进行人工暂养，一段时间后，统计数据如下表： 放养个数 100 200 500 1000 2000 5000 成活个数 92 188 476 951 1900 4752 据此暂养的皮皮虾成活率为___________．（结果精确到0.01） 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 15. 对联是中华传统文化瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，则天头长为_____cm． 16. 如图，在平行四边形中，，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 解不等式组：． 19. 解方程：． 20. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 21. 学校组织的科普竞赛中，参赛的四名同学有3名获得“良好”和1名获得“优秀”的成绩． （1）现在从这4名同学中随机抽取1人参加学校组织科普交流会，抽取的“良好”成绩同学的概率是___________； （2）现在从这4名同学中随机抽取2人参加学校科普交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”和一名“优秀”成绩的概率． 22. 如图，已知在中， （1）请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若，，切于点，求劣弧的长． 23. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 24. 湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，亭子建于湖水中．学校的楼顶恰好能看到公园的湖心亭及其在湖水面的倒影，学校九年级同学开展利用三角函数知识解决实际问题的综合与实践活动． 课题 测量湖心亭的高度 测量工具 测角仪，皮尺 测量 示意 图 利用测角仪在楼顶处测得湖心亭顶端的俯角，测得湖心亭顶端在水面倒影处的俯角． 测量 数据 楼顶到湖面的距离m．三点共线，． 参考数据 参考数据：（） 请根据活动中采集的数据，求湖心亭的高度．（光线的折射忽略不计，结果精确到1m） 25. 某服装店销售A、B两种服装，它们的进价和售价如下表，若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 480 660 （1）求A、B两种衣服每套进价； （2）若老板用不超过36000元的资金进A、B两种服装共100套，则老板按售价卖出这100套服装的最大利润是多少？ （3）根据市场情况，老板在11月份按售价可卖A种服装14套．假设老板按售价每套A种服装每降价10元，就可多卖出一套A种服装，请问当售价定为多少时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大． 26. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）如图1，求出抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为． ①若、关于点对称，求点坐标； ②若轴上一点的坐标为，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值． 27. “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海洲区2025年中考 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效； 2．请认真核对答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各实数中，是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数．根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：，1，都是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．熟练掌握同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；熟练掌握运算法则是解题关键． 根据同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方及合并同类项法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、 ，故该选项计算正确，不符合题意； B、，故该选项计算不正确，符合题意； C、 ，故该选项计算正确，不符合题意； D、 ，故该选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 3. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据数轴及不等式的性质逐一分析判断得出对应选项的范围即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于A，，此时为负数，不符合题意； 对于B，，此时为负数，不符合题意； 对于C，，此时a−1为负数，不符合题意； 对于D，，此时为正数，符合题意． 故选：D． 4. 如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 【答案】A 【解析】 【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 5. 榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件．若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图的定义，结合能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出从正面看所得到的图形即可． 【详解】根据三视图的概念，可知选项A中的图形是主视图，选项B中的图形是府视图，选项D中的图形是 左视图， 故选A． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解三视图的定义，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 6. 如图，直线与的相切于点，交于点，连结．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等知识，根据切线的性质得出，进而求出，根据等边对等角得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵直线与的相切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 8. 如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用证明，从而得到，设，利用证明，从而得到，继而求出，再根据找到与的关系式，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设 在正方形中，， ∴， ∴，即 解得： 又∵，即， ∴， ∴， 令，则 ∴，即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，利用相似三角形的性质求是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 写出一个比大且比小的整数是___________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 10. 今年的“五一”节，连云港成为长三角十佳旅游目的地，共接待国内外游客6080000人次，将数据6080000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于 1 的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中的值为整数位数少1． 【详解】解：6080000用科学记数法表示为， 故答案为：． 11. 函数经过点，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的点，理解一次函数经过某点的含义，是解答本题的关键． 将代入，即可作答． 【详解】解：根据题意，将代入， 有：，解得：， 故答案：3． 12. 若x、y满足方程组，则x+y的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接把两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ①+②得，4x+4y=8，解得x+y=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键． 13. “五一”节后休渔，为了保证海鲜供应，对于皮皮虾进行人工暂养，一段时间后，统计数据如下表： 放养个数 100 200 500 1000 2000 5000 成活个数 92 188 476 951 1900 4752 据此暂养的皮皮虾成活率为___________．（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验的前提下，用放养个数除以放养个数即可解答． 【详解】解：，，，，，， ∴暂养的皮皮虾的频率稳定在0.95附近， ∴暂养的皮皮虾成活率为0.95． 故答案为：0.95 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，，， 则， 扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质和扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．注意：一个扇形所对的圆心角是，半径为，那么这个扇形的面积是． 15. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，则天头长为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据找出等量关系列方程．设边的宽为，则天头长与地头长的和为，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设边的宽为，则天头长与地头长的和为，由题意可得， ， 解得：， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为：， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点B作于点G，先根据平行四边形的性质，解， 再对运用勾股定理求得，由对称确定点F的轨迹，由，确定当B、F、D三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，利用勾股定理得， ∵点A与点F关于对称， ∴， ∴点F在以B为圆心，为半径的上， ∵， ∴当B、F、D三点共线时，最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形三边关系确定最值，以及点与圆的位置关系，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根，乘方，先化简负整数指数幂、算术平方根，乘方，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 19. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程求解，解后验根即可． 本题考查了解分式方程，解题的关键是找出公分母后将分式方程化为整式方程，注意检验增根的情况． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解． 20. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 21. 学校组织的科普竞赛中，参赛的四名同学有3名获得“良好”和1名获得“优秀”的成绩． （1）现在从这4名同学中随机抽取1人参加学校组织的科普交流会，抽取的“良好”成绩同学的概率是___________； （2）现在从这4名同学中随机抽取2人参加学校科普交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”和一名“优秀”成绩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据参赛的四名同学有3名获得“良好”和1名获得“优秀”的成绩．得出随机抽取1人参加学校组织的科普交流会，抽取的“良好”成绩同学的概率是，即可作答． （2）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案． 本题考查树状图法求概率及简单概率公式等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，参赛的四名同学有3名获得“良好”和1名获得“优秀”的成绩 ∴现在从这4名同学中随机抽取1人参加学校组织的科普交流会，抽取的“良好”成绩同学的概率是， 【小问2详解】 解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙共6种， ∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为． 22. 如图，已知在中， （1）请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若，，切于点，求劣弧的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，与的交点就是圆心P，此时以为半径的与，两边都相切；如图，作的垂线，证明和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：即可． （2）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角的半径的长，利用四边形的内角和求，再进一步求解，代入公式可求弧长． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点P，以点P为圆心，为半径作圆即可． 小问2详解】 解：如图，∵P与，两边都相切，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴劣弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆的作图以及弧长的计算，三角函数的应用，熟练掌握弧长计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 23. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质． （1）先求出m的值，利用待定系数法求出k即可得解； （2）过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q，证明，得，根据，得，根据，得，可得，即得． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为；； 【小问2详解】 解：过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中, ∴只有， ∴， ∴， ∴， ∵轴， 当， ∴， 当， ∴， ∴， ∴． 24. 湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，亭子建于湖水中．学校的楼顶恰好能看到公园的湖心亭及其在湖水面的倒影，学校九年级同学开展利用三角函数知识解决实际问题的综合与实践活动． 课题 测量湖心亭高度 测量工具 测角仪，皮尺 测量 示意 图 利用测角仪在楼顶处测得湖心亭顶端的俯角，测得湖心亭顶端在水面倒影处的俯角． 测量 数据 楼顶到湖面的距离m．三点共线，． 参考数据 参考数据：（） 请根据活动中采集的数据，求湖心亭的高度．（光线的折射忽略不计，结果精确到1m） 【答案】39米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于G，则四边形是矩形，得出，，设，则，，在、中，根据正切的定义得出，解方程即可． 【详解】解：延长交于G， 则四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 答：湖心亭的高度约为39米． 25. 某服装店销售A、B两种服装，它们的进价和售价如下表，若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 480 660 （1）求A、B两种衣服每套的进价； （2）若老板用不超过36000元的资金进A、B两种服装共100套，则老板按售价卖出这100套服装的最大利润是多少？ （3）根据市场情况，老板在11月份按售价可卖A种服装14套．假设老板按售价每套A种服装每降价10元，就可多卖出一套A种服装，请问当售价定为多少时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大． 【答案】（1）A衣服每套的进价为300元，B衣服每套的进价为400元 （2）22800元 （3）当售价定为460元时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大 【解析】 【分析】（1）根据题意“进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元”，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设老板进了A服装x套，则进了B服装套，根据题意列不等式 ，解得，设售卖服装的利润为，列出函数解析式，根据一次函数的性质可知当时，销售利润最大，进而确定利润最大值； （3）设多卖出m套，则总共卖出套，售价为元，可得此时售卖A服装的利润为，结合二次函数的性质可知当时，11月份卖A种服装获得的利润最大，即可确定A种服装的售价． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，解得， 则A衣服每套的进价为300元，B衣服每套的进价为400元； 【小问2详解】 设老板进了A服装x套，则进了B服装套， 根据题意可得 ，解得， 设售卖服装的利润为， 则有， 所以，当时，销售利润最大， 利润最大值为元； 【小问3详解】 设多卖出m套，则总共卖出套，售价为元， 此时利润为， ， 即当时，11月份卖A种服装获得的利润最大， 此时售价为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式的应用、一次函数和二次函数的应用等知识，理解题意，找准等量关系是解题关键． 26. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）如图1，求出抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为． ①若、关于点对称，求点坐标； ②若轴上一点的坐标为，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值． 【答案】（1） （2）①；②3 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①根据坐标关于原点对称的特征，得到，将点代入抛物线解析式，求出的值，即可得到点坐标； ②设直线解析式为，先求出，然后联立直线与抛物线，求得，再利用待定系数法分别求出和的值，即而得到的值． 【小问1详解】 解：点和点代入， 得，解得：， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①∵点、点是抛物线上的点，且关于点对称， ， ， 整理得：， ， ， ， ． ②设直线的解析式为， ∵为直线与抛物线的一个交点， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 当时，， ， 将代入直线：， ∴， ， 将代入直线， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，勾股定理，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识，题目较难，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 27. “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 【答案】（1）①；②或 （2） （3）144平方厘米 【解析】 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． 【小问2详解】 解：纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$