精品解析：2024年江苏省连云港市海州区连云港外国语学校中考二模数学试题

连云港外国语学校九年级学业水平考试适应性测试 数学试题 （考试时间：120分钟，分值150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 2024相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 北京时间2024年4月26日05时04分，神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”，下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A. 神 B. 州 C. 十 D. 七 3. 连云港跨海大桥是连云港市海滨大道关键控制性工程，位于田湾核电站外围，起自高公岛，止于烧香河闸南，全长约4572m．其中数据“4572”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若有意义，则x的取值范围是____． 10. 分解因式：a3－a=___________ 11. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 12. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留） 13. 若一次函数（）的图象经过第二、三、四象限，则函数轴的交点有____________个． 14. 如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为：_________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 15. 如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为____________． 16. 如图，点M，N都在反比例函数（）的图像上，延长交x轴于点A，过点M作轴于点C，连接并延长，交y轴于点B，连接．若，的面积是7.5，则k的值为____________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： 18. 解方程组： 19. 化简： 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 21. 连云港是一座拥有众多景点的旅游城市，某校即将开展研学活动，现对部分同学进行随机调查，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点．这些景点包括：A孔望山，B苏马湾，C花果山，D渔湾，E枫树湾．下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：渔湾”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1400名学生，请估计“最想去景点：苏马湾”的学生人数． 22. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 23. 为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等． （1）求甲型、乙型路灯组件单价各是多少？ （2）该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？ 24. 图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． （1）求此滑雪运动员小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点抛物线与x轴交于另一点． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 26. 如图：已知，点O是的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）当时（如图1），求证：； （2）当时（如图2），探究线段之间数量关系为_________； （3）在（2）的条件下，，，连接并延长与的延长线相交于点M，求线段的长． 27. A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ． （2）探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由． （3）拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连云港外国语学校九年级学业水平考试适应性测试 数学试题 （考试时间：120分钟，分值150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：A 2. 北京时间2024年4月26日05时04分，神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”，下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A. 神 B. 州 C. 十 D. 七 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 连云港跨海大桥是连云港市海滨大道关键控制性工程，位于田湾核电站外围，起自高公岛，止于烧香河闸南，全长约4572m．其中数据“4572”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据“4572”用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，根据相应的运算法则对各选项分析判断即可． 【详解】A、 ，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、 ，故本选项错误； D、，故本选项错误， 故选：A． 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从几何体的正上方往下看所观察到的图形． 【详解】由图可知，从俯视方向看，可看到一个里面含有边为虚线长方形的圆， 故选：D． 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项B，C，D不符合题意；A符合题意； 故选：A． 7. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 8. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若有意义，则x的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数建立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 11. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的高， 平分， ， ， ， 故答案：． 12. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 13. 若一次函数（）的图象经过第二、三、四象限，则函数轴的交点有____________个． 【答案】2##两 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义判断与x轴交点的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（）的图像经过第二、三、四象限， ∴， ∴ ∵ ∴， 函数轴的交点有2个． 故答案为：2． 14. 如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为：_________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC，从而利用平行线间的距离处处相等得到，从而推出结论即可． 【详解】由题意，，，， ∵， ∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°， 同理，对于△ABC，也满足， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， ∵平行线间的距离处处相等， ∴， ∴， 即：， 故答案为：=． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，以及平行线的判断与性质，熟练运用勾股定理的逆定理推出平行线是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 由折叠的性质得出，，，进而可证明，因此，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； 故答案为：． 16. 如图，点M，N都在反比例函数（）图像上，延长交x轴于点A，过点M作轴于点C，连接并延长，交y轴于点B，连接．若，的面积是7.5，则k的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想． 证明，得到，即，求出点点，则点，由的面积即可求解． 【详解】解：过点分别作于点，于点， 设点，， 则，则， 则，即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为 将,代入得, 解得 ∴直线的表达式为：， 则点； 设直线的表达式为 将代入得, 解得 ∴直线的表达式为：， 则点，则， 的面积， 则， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】运用加减消元法求解即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法． 本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则． 【详解】解： ． 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形ABCD的面积为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°， ∵BE=DF， ∴OE=OF， 在△AOE和△COF中， ∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==6， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用． 21. 连云港是一座拥有众多景点的旅游城市，某校即将开展研学活动，现对部分同学进行随机调查，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点．这些景点包括：A孔望山，B苏马湾，C花果山，D渔湾，E枫树湾．下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：渔湾”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1400名学生，请估计“最想去景点：苏马湾”的学生人数． 【答案】（1）40人； （2）图见解析，； （3）490人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，准确计算样本容量，圆心角是解题的关键． （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用样本容量计算出D类的人数，补图即可．根据圆心角计算即可． （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：∵（人）， 答：被调查的总人数为40人． 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 补图如下： ． 根据题意，得． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）， 答：“最想去景点：苏马湾”的学生大概有490人． 22. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解:（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份， ∴米粒落在阴影部分的概率是 （2）列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F，E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种， 故新图案是轴对称图形的概率为 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等． （1）求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？ （2）该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？ 【答案】（1）甲0.6万元/个，乙0.8万元/个； （2）200个 【解析】 【分析】（1）设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元， 根据用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等，列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，进而即可得出答案； （2）设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件，根据花费不超过200万元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲型路灯组件单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）， 答：甲型路灯组件的单价是0.6万元，则乙型路灯组件的单价是0.8万元； 【小问2详解】 设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件， 根据题意得：， 解得：， y的最小值为200， 答：至少购买甲型路灯组件200个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得到答案； （2）利用求出，根据分别求出和，即可得到答案 【小问1详解】 解：在中，， 则， 答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， 答：此运动员的身高约为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F，设点，则点，然后表示出的面积，然后求出当时，的面积最大，得到，然后推出 ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度，设，表示出，，，然后利用求出，，，即可求解． 【小问1详解】 直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，， ∴， 当时，即 解得 ∴ ∵过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点 ∴设， 将代入得，， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设圆和直线切于点， 则， 解得：， 则点的坐标为：或； 【小问3详解】 如图所示，过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F， = 设点，则点， 则的面积 ， 则当时，的面积最大，此时，点； ∵， ∴ ∴ ∴ ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴设，则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、勾股定理，面积的计算等，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 如图：已知，点O是的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）当时（如图1），求证：； （2）当时（如图2），探究线段之间数量关系为_________； （3）在（2）的条件下，，，连接并延长与的延长线相交于点M，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，推出，，即可证明； （2）过A、B两点作直线的垂线，垂足分别为，延长交于点，设，，证明，得到，，据此计算即可求解； （3）过点F作垂足为N，过点C作垂足为H，延长AE交BM于点Q，过点Q作垂足为P，设长为x，，求得，，证明和以及，结合多锐角三角函数的关系，经过计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 点O是中点，． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：过A、B两点作直线垂线，垂足分别为，延长交于点， ∵过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F， ∴四边形都是矩形，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点F作垂足为N，过点C作垂足为H，延长AE交BM于点Q，过点Q作垂足为P， 由（2）知，， 设长为x，， ， ， 解得（舍），， ∴，， 在中，， ∴，，， 在中，，，， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∴，，， 设，，， ， ， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题以及学会利用参数构建方程是解题的关键． 27. A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ． （2）探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由． （3）拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点． 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【小问1详解】 解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点E是的中点，理由如下： 由（1）得，设，， 由折叠使得点A和点C重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即点E是的中点； 【小问3详解】 解：如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴G是的黄金分割点． 【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$