精品解析：四川省江油中学2023-2024学年高一下学期第三次阶段性考试数学试题

四川省江油中学2023级高一下期第三次阶段性考试 数学试题 命题人：第一组 审题人：第一组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的定义，即可求解． 【详解】的虚部为． 故选：C． 2. 平面向量，若，则（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行即可求出角度的正切值. 【详解】由题意， ∵ ∴，解得：， 故选：D. 3. 立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（ ） A. 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面 B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】由立体几何中的基本事实相关概念可判断各选项正误. 【详解】由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实，D选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行，故D不是立体几何中的基本事实. 故选：D 4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式，代入计算即可． 【详解】向量在向量上的投影向量为：， 故选：C． 5. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图. 所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为，从而求解函数的最大值，即可. 【详解】 ， 因为，所以， 当，即，取得最大值， 即. 故答案为：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求的值. 【详解】 ， 故选：B. 8. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【详解】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】写出复数对应点的坐标，由点在所象限列不等式组得范围． 【详解】由题意对应的点的坐标为，该点在第四象限，则，解得， 故选：BC． 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和 【答案】AD 【解析】 【分析】利用圆柱、圆锥、球表面积、体积公式计算判断ACD；利用圆锥侧面展开图计算判断B. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确； 对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为， 而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误； 对于C，圆柱的表面积，C错误； 对于D，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，因此，D正确. 故选：AD 11. 如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 异面直线与所成角为 D. 球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，将展开图还原成正方体，然后逐一判断即可得到结果. 【详解】 将题中展开图还原成正方体的图形，如图所示， 连接，显然与是异面直线，故A正确； 连接，显然，故B正确； 连接，在正方体中，易知， 则即为异面直线与所成角， 又， 所以，C错误； 与正方体的六个面均相切的球的半径为，则体积为，故D正确； 故选：ABD 12. 已知a，b，c分别是△三个内角A，B，C对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则△是等腰三角形 B. 若，则△为锐角三角形 C. 若O是△所在平面上一定点，动点P满足，，则直线一定经过△的内心 D. 若，，分别表示，△的面积，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A：由已知及正弦定理得，代入即可判断；B：利用二倍角余弦公式及正余弦定理可得，说明为锐角，但△形状不定；C由是，方向上的单位向量，结合向量加法的几何意义及三角形内心的定义即可判断，D构造△使，，则是△的中心，可得，进而求，的数量关系即可. 【详解】A：由正弦定理可得：，即，而满足，此时△是直角三角形，错误； B：由，即，根据正弦定理边角关系有，易知，即为锐角，但△不一定为锐角三角形，错误； C：由是，方向上的单位向量，则为的角平分线上的向量，又，故直线一定经过△的内心，正确； D：如下图，，，则，即是△的重心，所以，又，，， 所以，正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理及三角恒等变换判断三角形的形状，根据向量加法、数乘的几何意义判断三角形的线和心. 三、填空题：本题共4小题，每道题5分，共20分． 13. 已知，则______； 【答案】 【解析】 【分析】先求，进而得，最后复数的模即可. 【详解】由有，所以，所以， 故答案为：. 14. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥和铁球的体积相等求出圆锥的高，再求出母线长即可. 【详解】设圆锥的高为，依题意，，解得（cm）， 所以圆锥的母线长（cm）. 故答案为： 15. 已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案. 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 16. 已知球O的半径为，正三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，则正三棱锥的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球的性质可知球心在正三棱锥底面的垂线上，且在底面的投影为，在中，利用勾股定理构造方程可求得正三棱锥底面边长，由此得到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】取中点，连接，作平面，垂足为，则为的中心，， 由球的性质可知：球心在直线上， 设正三棱锥底面正三角形的边长为， 则，，， ，，解得：， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决正棱锥外接球问题的关键是能够确定外接球球心在过顶点且垂直于底面的直线上，通过假设球心位置，利用勾股定理构造方程来进行相关求解. 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17. 已知向量，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）根据数量积、模及夹角的坐标公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，， 所以，， 所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以． ，， 所以． 18. 已知. （1）求的值; （2）若，且，求角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解； （2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为，， 则， 解得， 又，所以， 又因，所以， 则， 所以. 19. 正方体中，，分别是，的中点. （1）求异面直线与所成角； （2）求证：平面 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. 【小问1详解】 连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为； 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 20. 在中，内角所对的边分别为，若且； （1）求； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长． 【答案】（1） （2）12． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解； （2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得，即可得周长. 【小问1详解】 根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故，因为，所以，所以， 因为所以，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 又平分，所以， 所以，则， 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为12． 21. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解； （2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解. 小问1详解】 解：由函数的图象知：，则， 所以，， 因为， 所以，则， 又因为，则， 所以； 【小问2详解】 由题意得：， 令， 则化为：， 即在上有解， 由对勾函数的性质得：， 所以. 22. 几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【小问1详解】 记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又等腰三角形，，所以, 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 【小问2详解】 延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故，又因为，所以， 则有，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油中学2023级高一下期第三次阶段性考试 数学试题 命题人：第一组 审题人：第一组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A 3 B. 2 C. D. 2. 平面向量，若，则（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 3. 立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（ ） A. 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面 B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和 11. 如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 异面直线与所成角为 D. 球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 12. 已知a，b，c分别是△三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则△是等腰三角形 B. 若，则△为锐角三角形 C. 若O是△所在平面上一定点，动点P满足，，则直线一定经过△的内心 D. 若，，分别表示，△的面积，则 三、填空题：本题共4小题，每道题5分，共20分． 13. 已知，则______； 14. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 15. 已知正三角形边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是______. 16. 已知球O半径为，正三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，则正三棱锥的体积为___________. 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17. 已知向量，． （1）求； （2）求． 18. 已知. （1）求的值; （2）若，且，求角. 19. 正方体中，，分别是，的中点. （1）求异面直线与所成角； （2）求证：平面 20. 在中，内角所对的边分别为，若且； （1）求； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长． 21. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围. 22. 几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $