精品解析：2025年北京市海淀区中考二模数学试卷 -

海淀区九年级第二学期期末练习 数学 2025.05 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的三视图进行一一判断即可． 【详解】解：∵主视图和左视图为长方形 ∴几何体不是三棱柱和圆锥 ∵俯视图为圆 ∴几何体不是长方体 ∴该几何体为圆柱 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图．解题的关键在于熟练掌握几何体从前面，左面，上面看到的分别为主视图，左视图，俯视图． 2. 据统计，2024年我国全年粮食产量约为7.07亿吨．将707000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：707000000； 故选C． 3. 若正n边形的一个外角为，则n的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了多边形的外角和是．根据正多边形的每个外角都相等，正多边形的边数为外角度数． 【详解】解：根据多边形的外角和是，正n边形的每个外角都相等，并且都等于可得， n的值为． 故选：C． 4. 如图，在中，，直线经过点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中的两个锐角互余，对顶角相等，根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据对顶角相等可得， 不能得出，， 故选：C． 5. 若，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，整体代入求值．先化简代数式，利用整体代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 6. 若，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，或，， 当，时，则， ∴； 当，时，∵， ∴， 综上分析可知：． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 8. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④存在，使四边形的面积与的面积之比为． 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，轴对称和中心对称图形的识别，由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义可判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P、Q，解直角三角形得到，由四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①正确； ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②正确； 六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故③错误； 由题意得，， 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P、Q， ∴， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④正确； 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 写出一个比小的正整数___________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，因为，故可得出答案，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴比小的正整数有：2，3． 故答案为：2（答案不唯一） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是将异分分母分式通分． 先将小括号内的通分，再计算乘法． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为___________（写出一个即可）． 【答案】1，2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个大于0的值即可． 【详解】解：∵两点的横坐标一正一负， ∴两点在两个象限内， ∵， ∴， ∴k的值可以为1，2， 故答案为：1，2（答案不唯一）． 13. 如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则___________． 【答案】50 【解析】 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 14. 在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 【答案】白球 【解析】 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． 观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为， ∴该球最有可能是白球， 故答案为：白球． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质和勾股定理可求得、和的长度，以及可证得，从而得到，代入计算求得的长度即为答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 则， 四边形是边长为3的正方形， ，， 四边形是正方形，且面积为10， ，， 在中，， ， 又，， ， ， ，即， ． 故答案为：． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时． 【答案】 ①. 不能 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查工程问题中的任务规划与时间计算，涉及到对任务轮次、耗时、所需人力的综合分析．解题关键在于合理规划任务安排，准确计算任务执行时间和任务切换准备时间，通过比较不同任务的耗时情况来确定整体最短耗时或判断能否在规定时间内完成任务． （1）本题围绕生态农场的三项任务展开，根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． （2）根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． 【详解】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求， ∴A任务总耗时为小时． 完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时， ∴准备时间共小时． B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人． ∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C ），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时． 三项任务总耗时为小时，， ∴名工人不能在小时内完成全部三项任务． 故答案为：不能； （2）增加2名工人后共5名工人， ∵更换工作会有额外时间， ∴尽量减少工作任务更换， 先安排三人作A任务两轮，共3小时，同时安排1人做任务B，两小时后更换工作至C，一轮，共需3小时，此时，A任务和B任务已经完成，C任务还有两轮，安排4人两轮任务同时进行，共需1小时， ∴总时间为：（小时）． 故答案为：4． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、正弦值、绝对值、负整数指数幂．先化简算术平方根、正弦值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得， 解不等式②，得． 原不等式组的解集是． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 20. 如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形； （2）证明是直角三角形，．即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． ， ． ． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 点在线段的垂直平分线上， ． ， ． 是直角三角形，． 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，证明四边形是平行四边形是关键． 21. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【答案】该车能挑战成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里，根据题意，列出方程，可得本次测试的总道路长度为2百公里，即可求解． 【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里． 依题意，得． 解得． ． 即本次测试的总道路长度为2百公里． 本次测试的总能耗为． 本次测试的百公里平均能耗为． 本次测试百公里平均能耗不高于． 该车能挑战成功． 22. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值是； 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 23. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则___________，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则___________（填“>”“<”或“=”）； （2）某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： ①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________． 【答案】（1）<；> （2）①八；②4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数． 小问1详解】 解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级名学生每周志愿服务时长的中位数为， 八年级名学生每周志愿服务时长的中位数为， 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为， ∴， 七年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，， 七年级名学生的知识测评得分的平均数为（分）， 七年级名学生的知识测评得分的方差为 ， 八年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，， 八年级名学生的知识测评得分的平均数为（分）， 八年级名学生的知识测评得分的方差为， 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，， ∴>， 故答案为：<，>； 【小问2详解】 七年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，， 组别 学生数 2 2 1 0 1 3 八年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 ①表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分是分，综合得分是分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； 【小问3详解】 ∵综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有名学生，八年级有名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为人． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，频数分布直方图，求中位数，求方差，解题关键是将统计图转化为统计表． 24. 如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． （1）求证：； （2）连接交于点．若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键； （1）根据切线长定理得，根据平行线的性质即可得证； （2）连接．由（1）可得，则，由可得则，勾股定理求得证明得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：为的切线， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接． 由（1）可得， 是的直径． 是的切线， ． ． ， ． ， ． ． ． 在中，， ． 在中， 由（1）可得，， 为的中点． 为的中点， ． ， ． ． ． ． 在中，， ． 25. 某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95 合金的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59 根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系． （1）补全表格； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）； ②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①6；②30 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，再求出时，的值即可； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象求解即可；②温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高，由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设， 把代入到中得：， ∴， ∴， 在中，当时，， 补全表格如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95 合金的硬度/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为； ②∵温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同， ∴温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高， 由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为， ∴合金N中的金属C的质量约为时，刚好满足题意． 26. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意可得点为，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可； （2）由二函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．然后根据题意分情况讨论即可解答． 【小问1详解】 解：当时，点为． 点在抛物线上， ．解得． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 对于： ①若， ， ． （i）当时，有． ． ，不符合题意． （ii）当时，取． ． ，不符合题意． （iii）当时，有．取，则． 设点关于对称轴的对称点为，则． ． ， ． ． ，不符合题意． （iv）当时，有． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ． ， ． ． ，符合题意． ②若，则，必有，不符合题意． ③若， ， ． ，符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 27. 在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． （1）如图1，若点在线段上，求证：； （2）如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案； （2）①先作出对称点F，再连接即可； ②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：线段绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：①补全图形如图： ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接． 点关于点的对称点为， ． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 在中，， ． ． 四点在以点为圆心，为半径的圆上． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 28. 在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点（可与重合），使直线与相切，则称点是关于的“切弧点”． （1）如图，的半径为1，点，． ①在点中，关于的“切弧点”是___________； ②直线经过点（0，2），且与轴垂直，点在上．若直线上存在关于的“切弧点”，记点的横坐标为，直接写出的取值范围； （2）已知点．若存在半径为的，使得对于上任意一点，都存在的长为的弦，满足点是关于的“切弧点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域是解题的关键． （1）①根据“切弧点”的定义画出“切弧点”所在的区域，然后结合图形即可解答；②先根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域，再通过勾股定理、等面积法求得，设，则，然后根据勾股定理求得，即，再结合“切弧点”的定义即可解答； （2）如图：过作，通过解直角三角形可得，再根据垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质可得，进而得到，解得：；最后再结合“切弧点”的定义即可解答． 【小问1详解】 解：①分别过A、B作圆的切线，由“切弧点”的定义可知：两切线与弦所对的劣弧形成的图形上的点都是“切弧点”．则是“切弧点”． 故答案为：． ②由题意可知：“切弧点”在过A点的切线上 由于在弦上存在两点M、N，与外一点Q相切，使直线与⊙O相切，则等价于C点从A出发缓慢移动，在运动过程中，OC的切线与过A点的切线的交点扫过的区域，即为“切弧点”的所在的区域． 当“切弧点”在这条直线上，画出“切弧点”的所在的区域如图所示： 由题意可知：， ∴， ∵， ∴，解得：． 设，则， 由勾股定理可得：， ∴，解得：，即 ∵切弧点在劣弧上， ∴， ∴m的取值范围为． 【小问2详解】 解：如图：过作， ∵． ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可知切弧点所在的区域过弦的端点作的切线与该弦所对劣弧围成的区域．由于随着弦的运动，切弧点所在的区域即为圆环对应的区域(如图示)． 由垂径定理可知： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴圆环的宽度为，即， ∵存在，对于上任意一点S，满足点S是关于的“切弧点”，即切弧点所在的区域（圆弧）需完全覆盖，由于位置固定、T位置可变，可通过相对运动转化固定圆环，如图：让可以不同方式“进入”圆环区域，确保圆环区域以最小宽度全部覆盖，即，解得：； ∵圆环的宽度不能为圆的直径，即， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区九年级第二学期期末练习 数学 2025.05 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 2. 据统计，2024年我国全年粮食产量约为7.07亿吨．将707000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 若正n边形的一个外角为，则n的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 如图，在中，，直线经过点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 若，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 8. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④存在，使四边形的面积与的面积之比为． 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________． 10. 写出一个比小的正整数___________． 11. 计算：___________． 12. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为___________（写出一个即可）． 13. 如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则___________． 14. 在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为___________． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 20. 如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形． 21. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 22. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 23. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 c．每名学生知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则___________，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则___________（填“>”“<”或“=”）； （2）某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： ①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________． 24. 如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． （1）求证：； （2）连接交于点．若的半径为，求的长． 25. 某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95 合金的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59 根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系． （1）补全表格； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）； ②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． （1）如图1，若点在线段上，求证：； （2）如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点（可与重合），使直线与相切，则称点是关于的“切弧点”． （1）如图，半径为1，点，． ①在点中，关于的“切弧点”是___________； ②直线经过点（0，2），且与轴垂直，点在上．若直线上存在关于的“切弧点”，记点的横坐标为，直接写出的取值范围； （2）已知点．若存在半径为的，使得对于上任意一点，都存在的长为的弦，满足点是关于的“切弧点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $