精品解析：2025年北京市门头沟区九年级中考二模数学试卷

门头沟区2025年九年级综合练习（二）数学 考生须知 1本试卷共6页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称：姓名、班级和考场. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 圆柱体 B. 圆锥体 C. 正方体 D. 球体 2. 某种细胞的直径是毫米，这个数用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A 8 B. 6 C. 5 D. 4 7. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 8. 如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 10. 分解因式：_______． 11. 用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是a=____，b=____． 12. 用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_________． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在函数的图象上，则m的值为______． 14. 如图，是直径，于，连接、和，如果，那么_______度． 15. 如图，在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则的长为____________________． 16. 某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 21. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. “端午节”是中国的一个传统节日，某粽子厂为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，长粽叶飘香”的包粽子比赛，规定粽子质量为克时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，数据如下（单位：克）： 甲 157 157 159 159 160 161 161 161 162 163 乙 158 158 159 159 159 159 161 162 162 163 甲、乙两名员工所包粽子质量的平均数、众数、中位数如下： 员工 平均数 中位数 众数 甲 160 160.5 乙 160 159 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中的_______，_______； （2）如果从甲、乙两名员工中，选取一位包粽子质量稳定的员工给奖，这名员工是______； （3）在此次比赛中，在相同时间内，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”个数，并判断如果以优秀率作为评奖标准时，哪位员工能获奖？并说明理由． 24. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点． （1）求证：与的切线； （2）若，，求和的长． 25. 射门是足球比赛的重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． （1）小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； （2）点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 27. 如图，在中，，，点D是内一点，且． （1）求证：； （2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F． ①依题意补全图形； ②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． （1）点是上动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； （2）设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 门头沟区2025年九年级综合练习（二）数学 考生须知 1本试卷共6页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称：姓名、班级和考场. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 圆柱体 B. 圆锥体 C. 正方体 D. 球体 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵三视图中有两个视图为矩形， ∴这个几何体为柱体， ∵第3个视图的形状为圆， ∴这个几何体为圆柱体， 故选A． 2. 某种细胞的直径是毫米，这个数用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学计算法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定的值是关键．科学记数法的表示形式为，确定n的值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A ． 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴图可知：，，， ，A选项错误，不符合题意； ，B选项正确，符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 6. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【详解】设多边形的边数为n，根据题意 （n-2）•180°=360°， 解得n=4． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°． 7. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作已知直线的平行线，平行线的性质，等边对等角的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C ． 8. 如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：∵， ∴， ∵平分交于，， ∴，故正确； 如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分，故正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故正确； 由上得，， ∴，， ∴， ∴，故正确， 综上可知，正确，共个正确， 故选：． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法公式法因式分解，掌握提取公因式法公式法的计算是关键．先提取公因式，在运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 11. 用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是a=____，b=____． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】举出一个反例：a＝−3，b＝−1，说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的即可. 【详解】解：当a＝−3，b＝−1时，满足a2＞b2，但是a＜b， ∴命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的． 故答案为−3、−1．（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12. 用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键． 先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得． 【详解】解：∵半径为1的半圆的弧长为：， ∴围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则：， 解得：， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在函数的图象上，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，是直径，于，连接、和，如果，那么_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握以上知识是关键． 根据题意得到，根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是直径，于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵所对的圆周角为，所对的圆心角为， ∴， 在中，， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则的长为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据勾股定理得到，然后证明，列比例式即可解得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵E是边的中点， ， ， ， ， ， ， 即， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 【答案】 ①. ② ②. 64 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质化简，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形， （1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得即可推出四边形是矩形； （2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到的长； 灵活运用上述性质解决问题是本题的关键． 【小问1详解】 证明：为 的中点，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 21. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）， （2）9元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、代数式表示量等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由第二周单价降低x元销售一周，可得出第二周的销售数量为个，用总量减去第一周和第二周的销售量即可得到第三周的销售量； （2）由第二周单价降低x元销售一周，可得第二周的每个售价为，然后根据“总利润=总售价-进货总价”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入即可求出第二周每个旅游纪念品的销售价格． 【小问1详解】 解：单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为个； 则第三周的销售量为：个． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理得：，解得：， 所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 将代入中，解得， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴且． 23. “端午节”是中国的一个传统节日，某粽子厂为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，长粽叶飘香”的包粽子比赛，规定粽子质量为克时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，数据如下（单位：克）： 甲 157 157 159 159 160 161 161 161 162 163 乙 158 158 159 159 159 159 161 162 162 163 甲、乙两名员工所包粽子质量的平均数、众数、中位数如下： 员工 平均数 中位数 众数 甲 160 160.5 乙 160 159 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中的_______，_______； （2）如果从甲、乙两名员工中，选取一位包粽子质量稳定的员工给奖，这名员工是______； （3）在此次比赛中，在相同时间内，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断如果以优秀率作为评奖标准时，哪位员工能获奖？并说明理由． 【答案】（1） （2）乙 （3）甲的优秀品的个数为个，乙的优秀品的个数为个，甲能获奖，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，方差，优秀率的计算是关键． （1）根据众数、中位数的方法计算即可； （2）根据方差的计算判定即可； （3）根据优秀率判定即可． 【小问1详解】 解：甲的数据中，161出现的次数最多， ∴， 乙数据的中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， ∵， ∴乙包粽子质量更稳定， 故选：乙； 【小问3详解】 解：甲的优秀品的个数为个，乙的优秀品的个数为个，甲能获奖，理由如下， ∵质量为优秀产品， ∴优秀品的质量范围为：， ∴甲的优秀品的个数为：个，优秀率为：， 乙的优秀品的个数为：个，优秀率为：， ∵， ∴以优秀率作为评奖标准时，甲能获奖． 24. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点． （1）求证：与的切线； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）详见解析 （2），，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线截线段成比例定理等知识点， （1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）先求出和，再根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可； 熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 连接，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 连接，， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 25. 射门是足球比赛重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． （1）小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； （2）点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②不能 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）①由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； ②令时，求出y的值，再与球门高比较即可． （2）依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【小问1详解】 解：①由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； ②当时，， 解得：， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 解：依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 即． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）如果点，在抛物线上，当时，比较和大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解； （2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，把代入， 则， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∴点关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴． 27. 如图，在中，，，点D是内一点，且． （1）求证：； （2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F． ①依题意补全图形； ②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解；② 【解析】 【分析】（1）设，则，即可得解． （2）①根据题意作图即可；②过点C作于点M，交于点N，证得，再证，得到，得到M为中点， N为中点，即可得解． 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 设， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ① ②，证明如下： 过点C作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵F恰是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴， ∴N为中点， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． （1）点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； （2）设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 【答案】（1），； （2）；；． 【解析】 【分析】（）根据新定义可得在为圆心，为半径的圆上，进而根据点的坐标到)的距离为，即可求解； （）根据一次函数的性质即可求出的值； 线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移得出，则，由线段经过反射平移后与轴的夹角不变，所以，进而得出，结合图形即可求解； 当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，求出，根据 ，再解方程． 【小问1详解】 解：由点关于的对称点， ∵， ∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示， ∵，，， ， ∴根据图形可知，在上， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵经过点， ∴当时，， 故答案为：； ∵， ∴， 如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴， ∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴ ∴，， 结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ； 如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$