精品解析：2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 考生须知 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子装有除颜色外无其他差别的小球共20个，其中有10个黄球，8个绿球，余下的为红球．从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 据国家统计局公告，2024年全年全国粮食总产量为70650万吨，2025年粮食生产再获丰收，全年全国粮食总产量比上年增加838万吨，则2025年全年全国粮食总产量为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 10. 分解因式：_____． 11. 方程的解为_____． 12. 在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 13. 为了促进全民阅读，《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行．某校为了加强书香校园建设，了解本校2000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表． 每周课外阅读时间（小时） 人数 28 40 56 76 根据以上信息，估计该校2000名学生中每周课外阅读时间不超过2小时的人数是_____． 14. 如图，内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为_____． 15. 如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 为推动城市公交车电动化替代，2026年继续支持新能源城市公交车及动力电池更新，根据更新新能源公交车及更换动力电池补贴政策，报废符合条件的旧车并购买补贴范围内的新能源公交车，每辆车可获得8万元补贴，对符合条件并更换动力电池的，每辆车补贴4.2万元．某公交公司计划将20辆符合补贴政策的老旧燃油公交车更新为新能源公交车，同时对现有符合补贴政策的10辆新能源公交车更换动力电池，总预算不超过1950万元．经过咨询，补贴前，更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用比购买1辆新能源公交车的费用低85%，补贴后，更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元．则该公交公司能否按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的值． 23. 为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）表中的值为_____，的值为_____； （2）丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； （3）根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 24. 如图，在中，，于点，在上取一点，以点为圆心作圆，经过，两点，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点．若，求的长． 25. 某物理实验室研究物体平抛运动时水平射程（单位：）与平台高度（单位：）的函数关系．已知物体从高度为的平台水平抛出，初速度不变，均为（单位：，），忽略空气阻力，重力加速度取．平抛运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，竖直方向满足（为运动时间），水平射程．实验中改变平台高度（单位：，），对于给定的初速度，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下表．（取） 当时的 当时的 请根据实验背景和数据，完成以下探究： （1）结合公式推导，补全表格：_____，_____；（结果保留小数点后两位） （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点，画出，随变化的函数图象； （3）在实验过程中，同学们发现了一些问题． ①在分析所得的函数图象时，某同学发现：在相同的初速度下，当平台高度翻倍时，水平射程并非翻倍．请结合函数关系，分析在相同的初速度下，当时，与的数量关系为_____； ②小明在实验中提出猜想：在一次平抛运动过程中，是否存在某一时刻，物体的下落高度与水平射程的数值相等的情况？若存在，直接写出满足该情况时运动时间与初速度之间需满足的数量关系；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 在中，是射线上一点，连接是上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上，是的中点时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上，点在下方时，用等式表示，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，给定（为顶点，在轴正半轴上，点在第一象限），对于点，若存在点在上、点在射线上，使得为等边三角形，则称点为的“含角点”，称等边的边长为点的“含角边长”．（本定义中的点均不与原点重合，边长为正数） （1）如图，在点，，中，是的“含角点”的有_____，请直接写出其中一个“含角点”的“含角边长”； （2）已知点在第一象限，且为的“含角点”． ①直接写出的取值范围； ②当改变时，直接写出面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考生须知 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴得到，进而根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ， ， ． 3. 如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角相等可得的度数，然后根据垂直的定义得到，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 4. 一个不透明的袋子装有除颜色外无其他差别的小球共20个，其中有10个黄球，8个绿球，余下的为红球．从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：袋子中共有20个小球，其中有10个黄球，8个绿球， 红球的个数为， ∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 且． 6. 据国家统计局公告，2024年全年全国粮食总产量为70650万吨，2025年粮食生产再获丰收，全年全国粮食总产量比上年增加838万吨，则2025年全年全国粮食总产量为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】先求出2025年全年全国粮食总产量，再写成的形式，其中，n为整数，n的值等于小数点向左移动的位数． 【详解】解：根据题意，2025年全年全国粮食总产量为（万吨）， 71488万． 7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 8. 如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得由对称性得，可判断①正确；记交于点，由三角形内角和定理得可判断②正确；证明可得，可判断③；分别证明，，可判断④ 【详解】解：①四边形是正方形， 分别是边的中点， ， 点关于对称， ， ，故①正确； ②如图，记交于点， 由①知 ， ，故②正确； ③四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 关于对称， 三点共线， 是的中点， ，故③错误； ④如图，连接， 四边形是正方形， ， 又 ， ， 由①知 点关于对称， ， 又 ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论序号为①②④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知，解得． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：当时， 是分式方程的解． 12. 在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据确定k的值，得出函数图像的增减性，即可求解． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 在每一象限内，随的增大而增大， ， ． 13. 为了促进全民阅读，《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行．某校为了加强书香校园建设，了解本校2000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表． 每周课外阅读时间（小时） 人数 28 40 56 76 根据以上信息，估计该校2000名学生中每周课外阅读时间不超过2小时的人数是_____． 【答案】名 【解析】 【分析】先计算抽取的学生总数和每周课外阅读时间不超过小时的学生人数，然后用总人数乘以每周课外阅读时间不超过小时的学生人数占比即可得解． 【详解】解：抽取的学生总数为（名）， 其中每周课外阅读时间不超过小时的学生人数为（名）， 估计该校名学生中每周课外阅读时间不超过小时的学生人数为（名）． 14. 如图，内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为_____． 【答案】##115度 【解析】 【分析】连接，由是的切线，可得，可得，再可得，由四边形是的内接四边形，即可得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 15. 如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，求出，再根据勾股定理得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 在中，． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 【答案】 ①. ③①⑦②④⑤⑥ ②. 【解析】 【分析】（1）安排一名维修人员时，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑，根据每台电脑维修所需要的时间确定维修顺序； （2）要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为分钟，可知平均每人维修的时间为分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】（1）解：若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑， 这样安排后面的电脑等候的时间就会短，总待机时间就短， ， 维修的顺序是③①⑦②④⑤⑥； （2）解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小， 当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟）， 当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟）， 需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得人的维修时间等于分钟或尽可能接近分钟，可以使得维修时间最短， 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥， 此时损失最小，为（元）， ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其锥修时间； 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间； 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间； 当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据零指数幂、绝对值、二次根式和特殊角的三角函数值进行计算，再进行乘法运算，最后计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，注意在解不等式时，不等号两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式进行化简，再将已知条件变形得到，最后整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，由等边对等角得到，进而得到，根据30度角的性质求出，进而根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， ， 在中，， ， 在中，， ． 21. 为推动城市公交车电动化替代，2026年继续支持新能源城市公交车及动力电池更新，根据更新新能源公交车及更换动力电池补贴政策，报废符合条件的旧车并购买补贴范围内的新能源公交车，每辆车可获得8万元补贴，对符合条件并更换动力电池的，每辆车补贴4.2万元．某公交公司计划将20辆符合补贴政策的老旧燃油公交车更新为新能源公交车，同时对现有符合补贴政策的10辆新能源公交车更换动力电池，总预算不超过1950万元．经过咨询，补贴前，更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用比购买1辆新能源公交车的费用低85%，补贴后，更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元．则该公交公司能否按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换？ 【答案】能 【解析】 【分析】设补贴前购买1辆新能源公交车的费用为万元，则更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用为万元，根据更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元列方程求出，再进一步计算判断即可． 【详解】解：设补贴前购买1辆新能源公交车的费用为万元，则更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用为万元， 根据题意，可得， 解得， （万元）， 补贴后，购买1辆新能源公交车的费用为（万元）， 更换1辆新能源公交车动力电池的费用为（万元）， 更新和更换完的总花费为（万元）， ， 该公交公司能按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知两点代入解析式，列方程组求解即可； （2）先联立两条已知直线的解析式求出它们的交点坐标，再根据已知条件，确定该正比例函数必经过此交点，最后将交点坐标代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点和点代入0）中，得 ， 解得； 【小问2详解】 解：． 联立， 解得， ∴函数与的图象交于点， 如图， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值， ∴函数的图象经过点， ∴，解得． 23. 为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）表中的值为_____，的值为_____； （2）丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； （3）根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【小问1详解】 解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； 【小问2详解】 解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； 【小问3详解】 解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 24. 如图，在中，，于点，在上取一点，以点为圆心作圆，经过，两点，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，则，由条件可知是等腰三角形，利用“三线合一”的性质即可证明； （2）结合已知条件，先证明，．设，在Rt中，根据勾股定理列方程可求出的长，继而求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 经过两点， . 在和中， ， （）， ． 又， ； 【小问2详解】 补全图形，如图所示． 由（1）知， ， ， ． ， ， ， ，， ， ， ． 设，则， ． 在Rt中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， ， ， ． 25. 某物理实验室研究物体平抛运动时水平射程（单位：）与平台高度（单位：）的函数关系．已知物体从高度为的平台水平抛出，初速度不变，均为（单位：，），忽略空气阻力，重力加速度取．平抛运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，竖直方向满足（为运动时间），水平射程．实验中改变平台高度（单位：，），对于给定的初速度，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下表．（取） 当时的 当时的 请根据实验背景和数据，完成以下探究： （1）结合公式推导，补全表格：_____，_____；（结果保留小数点后两位） （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点，画出，随变化的函数图象； （3）在实验过程中，同学们发现了一些问题． ①在分析所得的函数图象时，某同学发现：在相同的初速度下，当平台高度翻倍时，水平射程并非翻倍．请结合函数关系，分析在相同的初速度下，当时，与的数量关系为_____； ②小明在实验中提出猜想：在一次平抛运动过程中，是否存在某一时刻，物体的下落高度与水平射程的数值相等的情况？若存在，直接写出满足该情况时运动时间与初速度之间需满足的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，分别将、代入求出的值，即可代入求出的值； （2）根据表格，描点，画出函数图象即可； （3）①根据、求出，分别表示出，，即可求解； ②由题意得，据此列出方程得出，即可求解． 【小问1详解】 根据题意可得重力加速度取，竖直方向的自由落体运动满足（为运动时间）， 故， 当时，； 此时． 当时，； 此时． 【小问2详解】 描点，画出函数图象，如图： 【小问3详解】 ①； 由（1）可得，故； ∴， 当时，， 即． ②存在，当时，物体的下落高度与水平射程的数值相等． 由题意得，即， 整理得， 重力加速度取，故， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 27. 在中，是射线上一点，连接是上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上，是的中点时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上，点在下方时，用等式表示，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，求出，进而求出，由旋转的性质知，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明； （2）在上取一点，连接使得，根据等边对等角得到，进而求出，由旋转的性质知，可知，进而得到，证明，得到，证明，得到，根据即可得到． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， ， ， 由旋转的性质知， ， ， ； 【小问2详解】 解：．证明过程如下： 如图，在上取一点，连接使得， ， ， ， 由旋转的性质知， ， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，给定（为顶点，在轴正半轴上，点在第一象限），对于点，若存在点在上、点在射线上，使得为等边三角形，则称点为的“含角点”，称等边的边长为点的“含角边长”．（本定义中的点均不与原点重合，边长为正数） （1）如图，在点，，中，是的“含角点”的有_____，请直接写出其中一个“含角点”的“含角边长”； （2）已知点在第一象限，且为的“含角点”． ①直接写出的取值范围； ②当改变时，直接写出面积的最小值． 【答案】（1），；点的“含角边长”为，点的“含角边长”为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“含角点”的定义可知点和点均在轴上，以线段为边构造等边三角形时，有一边与平行，即点不在上，所以是的“含角点”的有点和；根据等边三角形的性质求出“含角边长”； （2）①根据“含角点”的定义，分点在点右侧，在点左侧，在点上三种情况讨论； ②根据三角形的面积公式可知，所以当最小时，三角形的面积最小，根据垂线段最短可知，当时，三角形的面积最小，最小值为． 【小问1详解】 解：；点的“含角边长”为，点的“含角边长”为， 点与点均在轴上，点不与原点重合， 以线段为边构造等边三角形时，有一边与平行，即点不在上， 点不是的“含角点”； 如下图所示，在上取点，连接，使得， 在上截取，连接，在上截取，连接，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 过点作于点， 则，， , 在中，， ， ， ， 点是的“含角点”，“含角边长”为； 如下图所示，过点作轴，作轴于点， 点的坐标为， 则，， 是等边三角形， ， ， 又， 是等边三角形，且， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ， 点也是的“含角点”，“含角边长”为； 【小问2详解】 ①解：； ，是直线在第一象限的部分上的点， 如解图②，在上取点，连接，使得， 在上截取，连接，在上截取，连接，， 同理（1）可证得是等边三角形， 点是的“含角点”，过点作轴于点， 则，在中，， ， ， 设直线与轴的交点为，与的交点为，连接， 则，， ， ， 在中，，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ； 如解图③，当点与点重合时，，点与点重合， 此时，， 点与点重合，不符合题意，故； 如解图④，当点在点，之间时，，，即， 此时点在的垂直平分线上，此时直线与射线没有交点，故此时点不在射线上， 当时，点不是的“含角点”； 如解图②，当点在点的右侧时，，始终存在是等边三角形，且点在射线上， 当时，点是的“含角点”， 综上所述，点在第一象限，且为的“含角点”时，的取值范围； ②， 根据定义，可知为等边三角形， ， 要使最小，则需的长最小， 由①知点的坐标为，点在直线上， 如解图⑤，当垂直于直线时，的长最小，最小值为， 此时的值为，符合题意， 面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $