第01讲 集合及其运算（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合中元素的特征 题型03 集合间的基本关系 题型04（真）子集的个数 题型05 Venn图的运算 题型06 利用集合的运算结果求参数 题型07集合的新定义问题 02 核心突破提升练 01 元素与集合的关系 1．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 2．已知，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】直接根据求解即可. 【详解】， ， 解得. 故答案为：. 3．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】首先假设，即时，不等式成立，得到：，然后解不等式得到的取值范围，最后对的取值范围取补集即为最终结果. 【详解】假设，即当时不等式成立， 代入可得：，解得：或. 由于已知，故的取值范围为. 故答案为： 4．已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 【答案】3 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合函数的表达式,通过集合的元素个数为3，得到 关系即可判断； 【详解】若集合的元素个数为3，则方程有三个不等实根, 则有, 所以方程一定有这一个根，且不是方程的根， 又，所以有两个不等于的根， 所以集合的元素个数也一定为3. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据集合的元素个数为3，列出关于方程的正确约束条件，进而根据约束条件即可判断方程的解的情况. 02 集合中元素的特征 5．设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 6.已知，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 7．已知集合，，且，则实数 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合的包含关系，讨论、求参数，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由，若，此时，故集合不满足元素的互异性； 若，由上知不满足要求， 当时，，满足题设. 所以. 故答案为： 8.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，     则所有可能的值是 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】解：令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为：或 03 集合间的基本关系 9．（2025·上海·模拟预测）若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案. 【详解】由，则或. 故选：A 10．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 11．若集合是的子集，则的取值范围是 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】先求得集合，再分集合和两种情况求得的取值范围． 【详解】由，即. 若，则，此时是的子集； 若，由得：. 综上可得：及的取值范围是. 故答案为： 04（真）子集的个数 12．集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 13．集合满足，则这样的集合有 个. 【答案】16 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析集合中的元素个数，由于，则符合的集合个数即可确定. 【详解】，则当时，； 当时，； 当时，； 所以 又，集合中有4个元素，为子集， 故符合这样的集合有. 故答案为：16. 14.已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先根据非空集合，确定集合的个数，再排除不满足条件的集合即可. 【详解】首先：因为非空集合，所以集合的个数为：个， 其中：，，不满足条件：“若则”. 故满足条件的集合的个数为：4. 故答案为：4 15．已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解. 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 16.集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 17.已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求解一元二次不等式化简，结合，得，求得的子集个数即可． 【详解】因为 若，则，所以满足条件的集合的个数为． 故选：． 05 Venn图的运算 18．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据给定条件，利用韦恩图阴影部分表示的集合意义列出表达式. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 19．已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 20.设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据集合的交并补运算即可结合图形求解. 【详解】阴影部分所表示的集合是 由得, 所以, 故选:C 06 利用集合的运算结果求参数 21．已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 22.已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据题意有，由得即可求解. 【详解】由，即， 全集， 由，即， ，，，即． 故答案为：. 23.已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24.已知集合，集合，且，，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、对数的运算 【分析】依题意，，即可求出，从而求出集合，再分和两种情况讨论，分别求出、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，，即，解得， 所以， 又，即， 若，则，解得， 此时； 若，则，解得，此时无意义，故舍去； 综上可得. 故答案为： 25．若全集，，，则的值是 ． 【答案】2或8 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】由即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得或. 故答案为：2或8. 26.设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 07集合的新定义问题 27．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 28.若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】把写成2的自然数幂的和即可得． 【详解】， 所以E的第2024个子集是． 故答案为：． 29.设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据题意，依次写出符合条件的“好集”. 【详解】 . 故答案为：9 1．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、几何意义解绝对值不等式 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 2．（2025·上海杨浦·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的运算可得. 【详解】因为集合中大于1且小于4的数只有2，3，所以. 故答案为：. 3．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求对数函数的定义域 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 4．（2025·上海黄浦·二模）设，集合，，若，则 ． 【答案】2 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，且， 所以. 故答案为：2. 5．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 6．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、诱导公式二、三、四 【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由三角函数的诱导公式即可确定n的取值. 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素， 又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则， 又， 当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意； 当时，， 此时集合有且只有三个元素，满足题意； 当时，， 此时集合有且只有三个元素，满足题意； 当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意； 综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题容易出错的点是，没注意到的情况，误以为的取值可以为. 7．已知全集为实数集R，集合，N=，则= ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到，，，然后求交集即可. 【详解】不等式可整理为，所以，解得，所以，或， 不等式可整理为，所以，即，解得或，所以或，. 故答案为：. 8．记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、集合新定义 【分析】分析可知，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，则需取以为间隔的等间隔分布的实数，可知区间中最多只能找到三个值，即求的最大值，利用导数求出函数的最大值为，则任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由于， 所以，被除余数为， 因此，集合中的元素只需满足能被整除即可， 设，从而可得, 即需取以为间隔的等间隔分布的实数， 不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值， 考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值， 而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，    因此，只需，解得. 故答案为：. 9．设集合有 个真子集． 【答案】/ 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、诱导公式二、三、四 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 10．已知，函数，对任意正整数，有，且集合且的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、集合元素互异性的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由得周期为4，即可得，因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得， 所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，可得以上四个值中恰有两个值是相等的， 若，即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若，即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若，即，则，得或，此时 ； 若，即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 11．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【知识点】集合的应用、集合新定义、向量新定义 【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案. 【详解】集合,对于任意, 且任意,都有 可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确; 对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误; 对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 二、单选题 12．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式、补集的概念及运算 【分析】由绝对值不等式确定结合，再由集合得交集、补集运算即可求解. 【详解】，可得 可得：， 所以， 故选：D 13．已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、集合新定义、余弦函数图象的应用、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据新定义，设，化简，即，故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点，由图象依次可判断选项. 【详解】根据新定义，设，化简， 得恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时取“=”， 即当时，恒成立， 故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点， A选项：由图可知，过原点的直线与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；    B选项：如图，当过原点的直线斜率小于零时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；    C选项：如图，当过原点的直线斜率大于1时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；    D选项：如图，当过原点的直线与曲线相交都有两个不同的交点，故是“集合”；    故选：D. 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【知识点】描述法表示集合、函数新定义 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 15．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 三、解答题 16．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【答案】(1)有2个元素，理由见解析 (2)， (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、交集的概念及运算 【分析】（1）求的解即可得到答案. （2）根据两曲线的位置关系，先求的值，再结合导数的几何意义求曲线的切线方程. （3）先把问题转化成恒成立，再求函数的最小值即可. 【详解】（1）由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. （3）对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 17．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合及其运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合中元素的特征 题型03 集合间的基本关系 题型04（真）子集的个数 题型05 Venn图的运算 题型06 利用集合的运算结果求参数 题型07集合的新定义问题 02 核心突破提升练 01 元素与集合的关系 1．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则实数 ． 3．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 4．已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 02 集合中元素的特征 5．设是实数，集合，若，则 . 6.已知，则实数 . 7．已知集合，，且，则实数 8.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，     则所有可能的值是 . 03 集合间的基本关系 9．（2025·上海·模拟预测）若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，且，则实数的值为 . 11．若集合是的子集，则的取值范围是 04（真）子集的个数 12．集合的非空真子集有 个． 13．集合满足，则这样的集合有 个. 14.已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 15．已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 16.集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 17.已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 05 Venn图的运算 18．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    19．已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 20.设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 06 利用集合的运算结果求参数 21．已知集合，，若，则 ． 22.已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 23.已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 24.已知集合，集合，且，，则 . 25．若全集，，，则的值是 ． 26.设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 07集合的新定义问题 27．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 28.若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 29.设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 1．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 2．（2025·上海杨浦·二模）已知集合，则 . 3．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 4．（2025·上海黄浦·二模）设，集合，，若，则 ． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 6．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为 7．已知全集为实数集R，集合，N=，则= ． 8．记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 9．设集合有 个真子集． 10．已知，函数，对任意正整数，有，且集合且的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 . 11．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 二、单选题 12．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（    ） A． B． C． D． 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 15．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 三、解答题 16．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 17．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$