18.4线段的垂直平分线（第2课时利用线段垂直平分线性质作图）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

18.4线段垂直平分线 第2课时利用线段垂直平分线性质作图 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1．能用尺规作过直线外（上）一点的垂线、作等腰三角形． (难点） 2．知道三角形外心定义. 3．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据． 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 垂直平分线的定义： 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等。 垂直平分线的性质定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理逆定理： 情景导入 新知探究 例 2 过直线外一点作已知直线的垂线.如图1，已知直线l和l外一点P，过点P求作直线l的垂线. 分析 只需在直线l上找出两点A和B，使点P在线段AB的垂直平分线上，就可以将问题转化为作线段AB的垂直平分线， 作法 (1)任意取一点K，使点K和点P分别在直线l的两侧; (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线l相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD.直线CD 就是所求的垂线(图2).请自行完成证明. 1 2 思考 1.例 2的作法中，为什么要使所取的点K与已知点P在直线l的两侧?点K 与点P必须在直线l的两侧吗? 2.如何过直线上一点作该直线的垂线? 例2作法的本质是通过作线段的垂直平分线作直角，为 此首先要在直线l上确定一条线段AB，使要作的垂线为 AB的垂直平分线.点K的位置保证了所作圆弧与直线l有两个交点A、B. 例题讲解 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图 18-4-9，已知线段a、h.求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 分析 先画出符合条件的示意图，根据BC=a，可以确定点B、C的位置.由“等腰三角形三线合一”，作BC的垂直平分线MN，交BC于点D.由AD=h，可知点D到点A的距离为h，这就是说，点A在以定点D为圆心、以h 为半径的圆上.因此，这个圆与MN 的交点就是A. 作法 (1)作线段BC=a; (2) 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D; (3) 以点D 为圆心、以h 的长为半径作弧，交MN 于点A; (4) 分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形。 例 4 如图1，已知:在△ABC 中，OM、ON 分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证:点0在边BC的垂直平分线上. 证明：如图2，分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON 分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴.OA=OB，OC=OA (线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴ 点O 在边BC的垂直平分线上 (与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 1 2 例题讲解 例4的结论表明: 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 概念归纳 课堂练习 1. 如图，已知△ABC，求作边BC上的高AD. 解：如图，线段AD就是所求作的边BC上的高. 2.如图，已知:CD垂直平分线段AB，E是线段CD 上一点，连接CA、CB、EA、EB. 求证:∠CAE=∠CBE. 证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，且点E在CD上， ∴CA=CB，EA=EB (线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等). ∴∠CAB =∠CBA， ∠EAB=∠EBA(等边对等角). ∴∠CAB -∠EAB =∠CBA-∠EBA， 即∠CAE=∠CBE. 1. 如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ A ＝40°，分别以点 A ， B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M 和点 N ，作直线 MN ，交 AC 于点 D ，连接 BD ，则∠ DBC 的度数是(　B　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° B 基础题 分层练习 2. 如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P ，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 (填序号). ③　 ① PQ 为直线 l 的垂线；② CA ＝ CB ；③ PO ＝ QO ；④∠ APO ＝∠ BPO . 3. [母题·情境题·生活应用 ]作图题：(不写作法，但必须保留作图痕迹)如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路(点 M ， N 表示大学， AO ， BO 表示公路)，现计划修建一座物资仓库，希望物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定物资仓库 P 应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案. 【解】如图所示，物资仓库应该建在 P1或 P2点的位置. 4. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形所组成的7×12的网格中， A ， B ， C ， D 均为格点(网格线的交点). (1)作线段 AB 和线段 CD 的对称轴 l ，并在图中画出直线 l ； 【解】如图，直线 l 即为所求. (2)用无刻度的直尺在 l 上找一点 O ，使得 OB ＝ OC ，保留作图痕迹. 【解】如图，点 O 为所求点. 5. [新视角 实践探究题]我们知道：成轴对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分.如图①， AB 与 A ' B '关于直线 l 对称，则 l ⊥ AA '， l ⊥ BB '， AM ＝ A ' M ， BN ＝ B ' N . (1)【操作与发现】在图①中，连接AB'，BA'，交于点 O ，作出图形，并说说你的发现； 【解】点 O 如图①所示.发现：点 O 在直线 l 上. 综合应用题 (2)【探索与运用】如图②，已知△ ABC 与△A'B'C'关于直线 m 对称.请运用你的发现，只用无刻度的直尺作出直线 m ，并说明作图过程； 【解】如图②，连接AC'，CA'交于点O'，连接CB'， BC'交于点 O ，连接OO'并作直线，直线 m 即为所求. (3)【拓展与应用】如图③，三角形 ABC 是一个以 BC 为底的等腰三角形， AC ＞ BC . 请应用你的方法，通过折叠得到等边三角形 BCD ，并简述折叠的过程. 【解】如图③，△ BCD 即为所求.折叠过程：将△ ABC 对折，使 AC 与 AB 重合，展开，得到折痕 AM ， 再将 BC 折叠，使得点 C 落在 AM 上的点 D 处，连接 BD ， DC ，△ BCD 即为所求. 习题 1.如图，已知线段a、b，求作Rt△ABC，使∠B=90°，且AB=a，BC=b. 解： 2.如图，已知直线MN和直线外的两点A、B，在直线MN上求作一点P，使PA=PB. 解： 3.如图，在△ABC中，∠B=115°.AC的垂直平分线与AB交于点D.连接CD.如果∠BCD与∠DCA的度数比为3:5.那么∠ACB的度数是多少? 解 设∠BCD=3x°，则∠DCA=5x°. ∵D在线段AC的垂直平分线上， ∴.AD=CD. ∴ZDAC=∠DCA=5x°. ∴ZBDC=ZDAC+ZDCA=10x°(三角形的内角和定理的推论). ∵∠BDC+ZBCD+ZB=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴ 10x°+3x°+115°=180°. ∴. x=5. ∴ZACB=ZBCD+ZDCA=8x°=40°. 4.如图，已知:AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AD于点F. 求证:∠CAE=∠B. 证明：∵EF垂直平分AD， ∴EA=ED(线段的垂直平分线上的任意一点到该 线段两个端点的距离相等). ∴∠DAE=∠ADE. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 又∵∠ADE = ∠B +∠BAD(三角形的内角和定理的推论)， ∠DAE=∠CAE+∠CAD， ∴∠CAE=∠B. 5.如图，在△ABC中，∠C=110°，边AB、CB的垂直平分线相交于点连接AP、BP.求∠APB的度数. 解：连接PC. ∵点P是线段AB、CB 的垂直平分线的交点， ∴PA=PB，PB=PC(线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等). ∴PA=PB=PC， ∴∠PAC= ∠PCA，∠PCB=∠PBC. ∠PAC + ∠PBC =∠PCA+∠PCB=∠ACB=110°. ∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°， ∴∠APB=180°+180°-(∠PAB+∠PBA)(∠CAB+∠CBA+∠ACB)= 360°-(∠PAC+∠PBC)-∠ACB=360°-110°-110°=140°. 6.如图，要在某天然气管道MN上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短? 解： 线段垂直平分线的有关作图 尺规作图 作对称轴 属于基本作图之一，必须熟练掌握 (1)将图形对折，找折痕； (2)用尺规作图法； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线 课堂小结 $$