18.1等腰三角形的性质（第1课时 等边对等角与三线合一）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（

18.1 等腰三角形的性质 第1课时 等边对等角与三线合一 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。 2.理解并掌握等腰三角形的性质。 3.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题。 情景导入 3、在你们的印象里，什么样的三角形叫做等腰三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、上面三个三角形按边分类是什么样的三角形 1、上面三个三角形按角分类是什么样的三角形 新知探究 如图，△ABC是等腰三角形,AB=AC 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1)相等的两条边都叫做腰。 腰 腰 底边 (2)另一边叫底边。 顶角 底角 底角 (3)两腰的夹角∠A叫顶角。 (4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角。 A B C AB=AC 等腰三角形 取一张等腰三角形纸片，把两腰AB、AC叠合在一起，我们发现，两个底角互相重合，这说明等腰三角形的两个底角相等，下面我们来证明这个性质。 定理：等腰三角形的两底角相等 如图，已知：在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 简单的说：等边对等角 由△BAD≌△CAD除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么? 相等的线段 相等的角 　 B C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C. ∠1 ＝ ∠2 A D ∠ADB ＝∠ADC 1 2 ＝ 90° AD是 ； AD是 ； AD是 . 底边上的中线 顶角平分线 底边上的高 三角形的 ， ， 互相重合. 顶角平分线 等腰 底边上的中线 底边上的高 三角形的这个性质可表述为： 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 简单地说：等腰三角形三线合一 上面的证明过程还表明： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 概念归纳 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是△ABC的中线。 （1）求∠1和∠B的度数； （2）求证：AD⊥BC。 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C （等边对等角） 又∵AD是△ABC的中线， ∴∠1=∠BAC（等腰三角形三线合一） ∵∠BAC=110°∴∠1=55° 又∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°） ∴∠B==35° ∴∠1和∠B的度数分别为55°和35° 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是△ABC的中线。 （1）求∠1和∠B的度数； （2）求证：AD⊥BC。 解：（2）∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一） 例2 如图（1），已知：AB=AC，DB=DC。 求证：∠B=∠C。 证明 如图（2），连接 BC. ∵AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角). 同理，∠DBC=∠DCB. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB. ∴ ∠ABD=∠ACD. 分析：从已知条件AB=AC，DB=DC出发，考虑连接BC构造两个等腰三角形. （1） （2） 例题讲解 讨论 例2是否还有其他证明方法？ 答：例2有多种添加辅助线的方法.连接BC，可利用等腰三角形的性质来证明;连接AD，则可利用全等三角形的性质推出结论.教学时，应启发学生猜想、尝试，提出自己的想法，体会辅助线的作用. 概念归纳 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 定理：等腰三角形的两底角相等 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 课堂练习 1.如图，已知: 在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC 上，AD=AE.求证:DE//BC. 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). ∵AD=AE, ∴∠ADE = ∠AED(等边对等角)， 又∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A + ∠ADE +∠AED=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠B=∠ADE. ∴DE//BC(同位角相等，两直线平行). 2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且BD=AD=BC.求△ABC各内角的度数. 解：△ABC的三个内角分别为36°、72°、72°. 3.如图，已知:OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，垂足分别为A、B，点M在线段 CD 上，∠AOM =∠BOM.求证:OM⊥CD. 解：连接OC、OD. ∵OA⊥AC，OB⊥BD，∴∠A=∠B=90°. 在△OAC 和△OBD中， OA=OB， ∠A=∠B, AC=BD, ∴△OAC≌△OBD(SAS). ∴OC=OD，∠COA=∠DOB. 又∵∠AOM=ZBOM,∴∠AOM-∠COA=∠BOM-∠DOB， 即∠COM=∠DOM.又∵OC=OD， ∴OMLCD(等腰三角形三线合一). 知识点1　等腰三角形的“等边对等角”的性质 1. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 边上的一点，若 AB ＝ AC ， AD＝ BD ， ∠ CAD ＝24°，则∠ C ＝ ⁠°. 52　 分层练习 2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 边上的一点，点 E 在 AC 边上， AD ＝ AE ，若∠ BAD ＝20°，则∠ CDE ＝(　A　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° A 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC . 分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 的长为半径作弧，两弧交于点 D ，作直线 AD 交 BC 于点 E ，若∠ BAC 110°，则∠ BAE 的大小为 度. 55　 知识点2　 等腰三角形的“三线合一”的性质 4. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，点 E ， F 在边 AB 上， CE ＝ CF ，延长 CF 至点 D ，使 DC ＝ BC ，连接 BD . (1)求证：△ ACE ≌△ BCF ； 【证明】∵ AC ＝ BC ， CE ＝ CF ， ∴∠ A ＝∠ CBA ，∠ CEF ＝∠ CFE ， ∴∠ AEC ＝∠ BFC ， ∴△ ACE ≌△ BCF ( AAS ). 综合应用题 (2)若∠ ACE ＝20°，求∠ BDC 的度数. 【解】∵∠ ACE ＝20°，由(1)知△ ACE ≌△ BCF ( AAS )， ∴∠ BCF ＝20°，又∵ DC ＝ BC ， ∴∠ BDC ＝ ×(180°－∠ BCF )＝80°. 5.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的角平分线，以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧， AB ， AC 分别交于点 E ， F ，连接 DE ， DF . (1)求证：△ ADE ≌△ ADF ； 【证明】∵ AD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . 由题意知 AE ＝ AF . 在△ ADE 和△ ADF 中， ∴△ ADE ≌△ ADF ( SAS ). (2)若∠ BAC ＝80°，求∠ BDE 的度数. 【解】∵∠ BAC ＝80°， AD 为△ ABC 的角平分线， ∴∠ EAD ＝ ∠ BAC ＝40°.由题意知 AE ＝ AD ，∴∠ AED ＝∠ ADE ， ∴∠ ADE ＝ ×(180°－40°)＝70°. ∵ AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的角平分线， ∴ AD ⊥ BC ，∴∠ BDE ＝90°－∠ ADE ＝20°. 6. [新考法·猜想验证法 ]回顾：用数学的思维思考. (1)如图①，在△ ABC 中， AB ＝ AC . ① BD ， CE 是△ ABC 的角平分线，求证： BD ＝ CE ； ②点 D ， E 分别是边 AC ， AB 的中点，连接 BD ， CE ，求证： BD ＝ CE . (从①②两题中选择一题加以证明) 猜想：用数学的眼光观察. 拓展创新题 【证明】①∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ DBC ＝ ∠ ABC . 同理可得∠ ECB ＝ ∠ ACB ，∴∠ DBC ＝∠ ECB . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( ASA ).∴ BD ＝ CE . ②∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ D 是 AC 的中点，∴ CD ＝ AC . 同理可得 BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( SAS ).∴ BD ＝ CE . (选择其中一题证明即可) (2)经过做题并反思，小明同学认为：在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为边 AC 上一动点(不与点 A ， C 重合)，对于点 D 在边 AC 上的任意位置，在另一边 AB 上总能找到一个与其对应的点 E ，使得 BD ＝ CE . 进而提出问题：若点 D ， E 分别运动到边 AC ， AB 的延长线上， BD 与 CE 还相等吗？请回答下面的问题： 如图②，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母)，使得 BD ＝ CE ，并证明. 【解】(答案不唯一)添加条件： BE ＝ CD . 证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵∠ ABC ＋∠ EBC ＝∠ ACB ＋∠ BCD ＝180°， ∴∠ CBE ＝∠ BCD . 在△ BCD 和△ CBE 中， ∴△ BCD ≌△ CBE ( SAS ).∴ BD ＝ CE . 课堂小结 等腰三角形的有关概念： 性质1：等腰三角形的两底角相等. （等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （等腰三角形的三线合一） 性质2： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是:底边上的中线(或顶角平分线,底边上的高)所在的直线. 性质3： 腰 A B C 腰 底边 顶角 底角 底角 A B C 1 2 D $$