18.2等腰三角形的判定（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

18.2等腰三角形的判定 第2课时 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.会综合运用等腰三角形性质和判定方法，知道等腰三角形中常添加的辅助线； 2．在灵活运用等腰三角形判定方法解决问题过程中，体会从一般到特殊的研究问题方法，感受图形的化归与组合的数学思想. 情景导入 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，那么这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 我们上节课学过等腰三角形的判定方法，那这个判定方法是什么呢？ 新知探究 例 2 如图 ，已知:在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2. 求证:AB=AC. 分析 在△ABD 和△ACD中，虽然有∠1=∠2，AD=AD，BD=CD这三个条件，但不能直接推出△ABD 和△ACD 全等. 证明如图 ，延长AD 至点E，使DE=AD，连接 CE. 在△ABD 和△ECD 中， BD=CD， ∠ADB=∠EDC(对顶角相等)， AD=ED， ∴△ABD≌△ECD(SAS). ∴.AB=EC，∠l=∠E(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠=∠2, ∴ ∠2=∠E. ∴AC=EC(等角对等边). ∴AB=AC. 探究 是否还有其他证明例2的结论的方法? 本题还可以用反证法来证明 例 2 如图 ，已知:在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2. 求证:AB=AC. 如图，若AB与AC不相等，不失一般性，则不妨设AB>AC.在AB上截取AG=AC，连接DG.通过SAS可证△ADG≌△ADC，得到∠3=∠C,DG=DC=BD，从而有∠B=∠BGD，又因为∠BGD+∠3=180°，所以∠B+ ∠C=180°。这与三角形内角和为180°矛盾，因此假设不成立，AB=AC得证. 例题讲解 例3如图 ，已知:在△ABC 中，∠C>∠B. 求证:AB>AC. 证明：如图 ，由∠ACB>∠B，在∠ACB内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D.根据“等角对等边”，有DB=DC. 在△ACD 中，根据三角不等式，有AD+DC>AC，所以AB=AD+DB=AD+DC>AC. 上述结论可以简述为:在三角形中，大角对大边. 讨论 如何用反证法证明例3？ 例3可用反证法简证如下:若AB=AC，则根据“等边对等角”，得∠B=∠C;若AB<AC，则根据“在三角形中，大边对大角”，得∠B>∠C.无论哪种情况，都与已知∠C>∠B矛盾.因此AB>AC. 概念归纳 名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定 等 腰 三 角 形 A B C 有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.等边对等角, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形. 2.等角对等边。 1.两边相等。 1.两腰相等. 在三角形中，大角对大边. 课堂练习 1.如图，已知:在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，∠A=2∠BCD. 求证:AB=AC. 设∠BCD=x°，则∠A=2x°. ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=∠ADC=90°. 又∵∠B+∠BDC +∠BCD=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠B= 90 - x°， ∠ACD=90°-2x°. ∴∠ACB=∠ACD +∠BCD= 90°- 2x°+x°=90°-x°. ∴∠B=∠ACB. ∴AB=AC(等角对等边). 2.如图，已知:在△ABC中，AB=AC，BD、CE 分别是边AC、 AB 上的中线，BD、CE相交于点O.求证:OB=OC. 证明： ∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BE=AB,CD=AC. ∵ AB=AC，∴BE=CD,ZABC=∠ACB(等边对等角). 在△BCE 和△CBD中， BE=CD， ∵ ∠ABC=∠ACB， BC=CB， ∴△BCE≌△CBD(SAS). ∴∠OCB=∠OBC. ∴OB=OC(等角对等边) 3.用例 3 的结论解决以下问题: (1) 在△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，能判定AB、BC、CA的大小吗? (2) 如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗?为什么? (1)能，BC>CA>AB. (2) 一定.根据“三角形中，大边对大角”，最大的边对最大的角.若一个三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形. 习题 1.如图，已知:∠A=∠B，CE // DA，CE交AB 于点E. 求证:CE=CB. 证明：∵CE// DA， ∴∠A=∠CEB(两直线平行，同位角相等). 又∵∠A=∠B, ∴∠CEB=∠B. ∴CE=CB(等角对等边). 2.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE // BC.如果E 是边AC 的中点，AC=5cm，求 DE 的长. 解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD=∠BCD. ∵DE // BC, ∴∠EDC=∠BCD(两直线平行，内错角相等)， ∴∠ECD=∠EDC. ∴EC=ED(等角对等边） ∵点E是边AC的中点，AC=5cm， ∴ CE=AC-x5=2.5 cm. ∴DE=2.5cm. 3.如图，已知:在△ABC 中，点D、E在边BC上，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C. 求证:AD=AE. 证明：∵∠ADE=∠BAD+∠B,∠AED=∠CAE+∠C,∠BAD=∠CAE，∠B=∠C, ∴∠ADE=∠AED. ∴AD=AE(等角对等边). 4.如图，已知:在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，作DE⊥BC，垂足为D，交CA的延长线于点F. 求证:AE=AF. 提示:∠F=∠BED=∠AEF. 5.已知:在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC 于点F. 求证:AE< AF. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB(等边对等角). ∵∠ACB=∠D +∠CFD，∠AEF=∠D+∠B (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠AEF = 2∠D+∠CFD， ∴∠CFD<∠AEF. 又∵∠CFD=∠AFE， ∴∠AFE<∠AEF. ∴ AE<AF(三角形中，大角对大边). 6.如图，已知:在△ABC 中，CD 是△ABC的角平分线，∠A=2∠B.求证:BC=AC+AD. 证明：如图，在BC上截取CE=AC，连接DE. ∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠ECD. 在△ACD 和△ECD中， AC=EC， ∵ ∠ACD=∠ECD， CD=CD， ∴△ACD≌△ECD(SAS).∴∠A=∠DEC，AD=ED. 又∵∠A=2∠B,∠DEC=∠B+∠BDE, ∴∠B=∠BDE.∴EB=ED(等角对等边).∴ EB=AD. ∵BC=EC+EB∴BC=AC+AD. 课堂小结 名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定 等 腰 三 角 形 A B C 有两边相等的三角形是等腰 三角形。 2.等边对等角, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形. 2.等角对等边。 1.两边相等。 1.两腰相等. $$