2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冠卷）

绝密★启用前 2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冠卷） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．如图，若∠AOC＝90°，则边OC可能经过的点为（　　） A．M B．N C．P D．Q 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4 C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D． 3．如图1所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图2所示的几何体，则下列说法正确的是（　　） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三视图均不变 4．一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，则下列拼成的4个四边形中，其面积等于对角线乘积的一半的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为P甲和P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＝PZ B．P甲＜PZ C．P甲＞PZ D．无法确定P甲，PZ的大小 6．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．90 7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AD上的一点（不与点A，D重合），连接CE． 求作：点F，使得点F在BC上，且AF∥CE． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF； 乙：以点A为圆心，CE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF； 丙：以点B为圆心，DE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF． 上述三名同学的作法一定正确的是（　　） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠A的度数为（　　） A．123° B．114° C．113° D．106° 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形ABC与等边三角形BDE是以原点O为位似中心的位似图形，面积比为1：9，点A、B、D均在x轴上，点C的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1＝5，表示该生为5班学生．那么表示9班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE．若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．25π﹣20 C． D．25π﹣18 12．如图，观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．对于样本数据1，2，3，2，2，以下判断：①平均数为2；②中位数为2；③众数为2；④极差为2；⑤方差为2．正确的有 　 　 （只要求填序号）． 14．如图，将反比例函数的图象绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）．旋转后的图象与x轴交于A（10，0）．若，则k＝　 　 ． 15．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为SⅠ，SⅡ，SⅢ．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是75°，最大的内角是120°； ④SⅢ＝2（SⅠ+SⅡ）． 上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，过点E作EH⊥AC于点H，则DH＝　 　 ，当AE取得最小值时，BD的长为　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）分别计算出原点O与点C重合时、与AB的中点重合时p的值． （2）原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会如何变化？当p的值为﹣4时，求原点O的位置． 18．已知：如图，在一个8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D均在格点上，点E、F是线段AC与格线的交点． （1）填空：AE：EF：FC＝　 　 ，S△ABC＝　 　 ； （2）画图：只用无刻度的直尺，画平行四边形ABME和平行四边形CBNF；（保留画图痕迹，不写画法） （3）在（2）的图形中，连接EM、FN，设交点为P，求△PAB的面积． 19．如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 20．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　 　 °． （2）请你将图2的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 21．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　 （填写序号）． （2）如图⑤，已知矩形ABCD，延长CD至点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AE交BC延长线于点F．请你判断四边形ABFE是否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BM＝AB，N为AC上一点，且四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN，则BN的长为　 　 ． 22．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC． （1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由． （2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E． ①求∠E的度数； ②若AB＝10，∠CDB＝30°，求与线段BD的长度，并比较大小． 23．数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究． 已知二次函数与，（a≠0），我们把具有这样特点的函数y1和y2称为互利函数． 【总结归纳】 （1）填空：y1的顶点坐标为　 　 ，y2的顶点坐标为　 　 ； 【知识应用】 （2）求y＝3x2﹣6x﹣1的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设y＝ax2+bx+c的顶点为M． 若a＝1，b＝2． 求证：这两个函数的图象的交点为M，N； 【拓展延伸】 （4）已知二次函数的互利函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．点C在点B的左侧，直线y＝kx+t经过点A，点C关于y＝kx+t的对称点C'恰好在线段AB上，直线CC'与抛物线交于另一点D． ①求点D的坐标； ②点P是直线BD上一点，点Q是互利函数y＝ax2+bx+c在第一象限内的抛物线上一点，始终有S△QAC≤S△PAC'，直接写出点P横坐标的取值范围． 24．【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为BC的中点，连接AD，点E为BD上一动点（不与端点重合），点P为CE的中点，点H为△ABC内一点，连接PH、EH、AH、AE，PH＝PD，∠DPH＝90°，延长EH到点F，使得HF＝HE，连接AF、CF． ①设PD＝m，PC＝n，请用含m、n的式子分别表示线段BD、BE、CF的长； ②判断AH与EF的位置关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，四边形ABCD是农民李大爷家的一块种植地，经测量，BC＝CD，∠C＝60°，为了提高产量，李大爷计划对这块种植地重新进行规划，取BC的中点P，沿DP将四边形ABCD分成两部分，分别用于种植两种不同的作物，在BP上取点E（不与端点重合），将点E和CE的中点G设为两个出入口，沿DE修一条灌溉水渠，在四边形ABCD内部取点H，沿EH修建运输通道，GH是一条小路，根据规划要求，PG＝HG，∠PGH＝120°，根据李大爷的预算，修建运输通道每米的费用是修建灌溉水渠每米费用的2倍，请你计算并说明DE段修建灌溉水渠的总费用与EH段修建运输通道的总费用是否相等？ 2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冠卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C A D C B C C A D 一．选择题（共12小题） 1．如图，若∠AOC＝90°，则边OC可能经过的点为（　　） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【解答】解：连接OM、ON、OP、OQ进行分析如下： A、由图形可知，∠AOM＜90°，不符合题意； B、由图形可知，∠AON接近于90°，则边OC可能经过点N，符合题意； C、由图形可知，∠AOP＞90°，不符合题意； D、由图形可知，∠AOQ＞90°，不符合题意； 故选：B． 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4 C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D． 【答案】D 【解答】解：﹣x2y+2yx2＝x2y， ∴A不正确，不符合题意； 4a2+a2＝5a2， ∴B不正确，不符合题意； （﹣a﹣b）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴C不正确，不符合题意； 4， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 3．如图1所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图2所示的几何体，则下列说法正确的是（　　） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三视图均不变 【答案】B 【解答】解：这两个几何体的主视图改变，左视图不变，俯视图变化， 故选：B． 4．一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，则下列拼成的4个四边形中，其面积等于对角线乘积的一半的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 第1个图：四边都是直角三角形斜边，是菱形还是正方形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第2个图：四边都是直角三角形斜边，是菱形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第3个图：2个30°角所对直角边刚好等于斜边，四边相等，是菱形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第4个图：有两边是长直角边，两边是2个短直角边的和，四边不相等，不是菱形，其面积不等于对角线乘积的一半，不符合题意． 综上所述，面积等于对角线乘积的一半的有3个，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 5．如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为P甲和P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＝PZ B．P甲＜PZ C．P甲＞PZ D．无法确定P甲，PZ的大小 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∴由几何概率模型可知，投中阴影区域的概率P甲＝P乙， 故选：A． 6．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】D 【解答】解：连接AB，BC， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE， ∴∠CAD+∠EBD+∠ACE＝∠CBD+∠EBD+∠ABE＝∠ABC＝90°． 故选：D． 7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AD上的一点（不与点A，D重合），连接CE． 求作：点F，使得点F在BC上，且AF∥CE． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF； 乙：以点A为圆心，CE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF； 丙：以点B为圆心，DE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF． 上述三名同学的作法一定正确的是（　　） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【解答】解：由甲同学的尺规作图方法可得CF＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF∥CE． 故甲同学的作法正确，符合题意； 由乙同学的尺规作图方法可得AF＝CE， 不能得出AF∥CE， 故乙同学的作法不正确，不符合题意； 由丙同学的尺规作图方法可得BF＝DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF∥CE． 故丙同学的作法正确，符合题意． 综上所述，三名同学的作法一定正确的是甲、丙． 故选：C． 8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠A的度数为（　　） A．123° B．114° C．113° D．106° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝67°， ∴∠CED＝∠BCE＝67°， ∵∠CEF＝133°， ∴∠DEF＝133°﹣67°＝66°， ∵AD∥EF， ∴∠D＝∠DEF＝66°， ∵AB∥DE， ∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣66°＝114°， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形ABC与等边三角形BDE是以原点O为位似中心的位似图形，面积比为1：9，点A、B、D均在x轴上，点C的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵正△ABC与正△BDE是以原点O为位似中心，且面积比为1：9， ∴△ABC∽△BDE，且相似比为1：3． ∵点C的坐标为， ∴点E的坐标为，即． 故选：C． 10．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1＝5，表示该生为5班学生．那么表示9班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题知， 0×23+1×22+1×21+0＝6， 即A选项的识别图案表示6班学生． 故A选项不符合题意． 1×23+0×22+1×21+0＝10， 即B选项的识别图案表示10班学生． 故B选项不符合题意． 1×23+0×22+0×21+1＝9， 即C选项的识别图案表示9班学生． 故C选项不符合题意． 0×23+1×22+1×21+1＝7， 即D选项的识别图案表示7班学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 11．如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE．若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．25π﹣20 C． D．25π﹣18 【答案】A 【解答】解：如图，作BH⊥CE于H，则， ∵CD是直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠ECD+∠EDC＝90°， 由条件可知∠BCH+∠ECD＝90°， ∴∠EDC＝∠BCH， ∵BC＝CD，∠BHC＝∠CED＝90°， ∴△BCH≌△CDE（AAS）， ∴DE＝CH， ∴， 设DE＝x，CE＝2x， 由勾股定理得x2+（2x）2＝102， ∴x2＝20， ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn， ∴令x＝n，可得：An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为﹣an， ∴，BnPn＝an， ∴， ∴， ∴ ， 当n＝2024时，原式， 故选：D． 二．填空题（共4小题） 13．对于样本数据1，2，3，2，2，以下判断：①平均数为2；②中位数为2；③众数为2；④极差为2；⑤方差为2．正确的有 　①②③④　 （只要求填序号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①1，2，3，2，2的平均数为2，正确； ②1，2，3，2，2的中位数为2，正确； ③1，2，3，2，2的众数为2，正确； ④1，2，3，2，2的极差为2，正确； ⑤1，2，3，2，2的方差为0.4，故本选项错误． 故答案为：①②③④． 14．如图，将反比例函数的图象绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）．旋转后的图象与x轴交于A（10，0）．若，则k＝　30　 ． 【答案】30． 【解答】解：将OA绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）， 则其对应点A′在函数y的图象上， 过点A′作x轴的垂线，垂足为M， ∵A（10，0）， ∴OA＝OA′＝10， 在RT△A′OM中，tanα，OA′＝10， ∵OM2+A′M2＝OA′2， ∴A′M，OM＝3， 即A′（，3）， 又点A′在函数图象上， ∴k330． 故答案为：30． 15．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为SⅠ，SⅡ，SⅢ．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是75°，最大的内角是120°； ④SⅢ＝2（SⅠ+SⅡ）． 上述结论中，所有正确结论的序号是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：根据正六边形的定义可知：Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形， 故①结论正确； 如图2，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形， 故②结论正确； Ⅲ中最小内角是：120°﹣30°﹣30°＝60°， 故③结论错误； 如图1，正六边形可分为如图所示的6个全等三角形， 则SⅢ＝2（SⅠ+SⅡ）， 故④结论正确， ∴正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，过点E作EH⊥AC于点H，则DH＝　2　 ，当AE取得最小值时，BD的长为　　 ． 【答案】2，． 【解答】解：由题意可得：∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD， ∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°， ∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°， ∴△BDC≌△DEH（AAS）， ∴EH＝CD，DH＝BC＝2， ∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣2﹣CD＝2﹣CD， 由勾股定理可得：AE2＝AH2+EH2＝（2﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣1）2+2， ∵2＞0， ∴当CD＝1时，AE2最小，则AE也最小， 由勾股定理可得：， 故答案为：2；． 三．解答题（共8小题） 17．如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）分别计算出原点O与点C重合时、与AB的中点重合时p的值． （2）原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会如何变化？当p的值为﹣4时，求原点O的位置． 【答案】（1）﹣10；5； （2）p的值将会增加3；原点O与点B重合． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝8﹣2＝6，BC＝10﹣8＝2，AC＝6+2＝8， 当原点O与点C重合时，OA＝8，OB＝2，OC＝0，点A、B、C所表示的数分别为﹣8，﹣2，0，则p＝（﹣8）+（﹣2）+0＝﹣10； 当原点O与AB的中点重合时，AB＝3，此时OA＝3，OB＝3，OC＝5，点A、B、C所表示的数分别为﹣3，3，5，则p＝﹣3+3+5＝5； （2）原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会增加3； 当原点O与点C重合时，p＝﹣10，当p＝﹣4时，﹣4﹣（﹣10）＝6，6÷3＝2， ∴原点O从点C向左移动2cm，此时原点O与点B重合． 18．已知：如图，在一个8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D均在格点上，点E、F是线段AC与格线的交点． （1）填空：AE：EF：FC＝　1：3：2　 ，S△ABC＝　　 ； （2）画图：只用无刻度的直尺，画平行四边形ABME和平行四边形CBNF；（保留画图痕迹，不写画法） （3）在（2）的图形中，连接EM、FN，设交点为P，求△PAB的面积． 【答案】（1）1：3：2；． （2）见解答． （3）． 【解答】解：（1）由图可得，AE：EF：FC＝1：3：2． S△ABC． 故答案为：1：3：2；． （2）如图，平行四边形ABME和平行四边形CBNF即为所求． （3）由图可得，△PAB的面积等于， ∵S四边形ABDC＝2S△ABC＝23， ∴S四边形ABME， ∴△PAB的面积等于． 19．如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，压杆CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，AB∥MN，求压杆端点F到底座MN的距离； （2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE＝15°，求压杆端点F到底座MN的高度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图2，过点F作FP⊥MN于点P， 延长DC交FP于点Q，则PQ＝BC+EG＝3.5cm， 在Rt△CFG中，CF＝6cm，∠FCQ＝180°﹣150°＝30°， ∴FQCF＝3cm， ∴FP＝FQ+QP＝6.5cm， 即压杆端点F到底座MN的距离为6.5cm； （2）如图3，过点F作FP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥FP于点Q，过点C作CK⊥MN于点K，在Rt△BCK中，BC＝2cm，∠BCK＝∠ABM＝15°， ∴CK＝cos15°•BC≈1.94（cm）， 在Rt△CFQ中，CF＝6cm，∠FCQ＝360°﹣150°﹣90°﹣90°﹣15°＝15°， ∴FQ＝sin15°•CF≈1.56（cm）， ∴FP＝FQ+PQ≈3.5（cm）， 即压杆端点F到底座MN的高度约为3.5cm． 20．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　144　 °． （2）请你将图2的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）利用扇形图可以得出： “7分”所在扇形的圆心角＝360°﹣90°﹣72°﹣54°＝144°； （2）利用扇形图：10分所占的百分比是90°÷360°＝25%， 则总人数为：5÷25%＝20（人）， 得8分的人数为：203（人）． 如图； （3）根据乙校的总人数，知甲校得9分的人数是20﹣8﹣11＝1（人）． 甲校的平均分：（7×11+9+80）÷20＝8.3分； 中位数为7分． 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好． （4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校． 21．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　图②④　 （填写序号）． （2）如图⑤，已知矩形ABCD，延长CD至点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AE交BC延长线于点F．请你判断四边形ABFE是否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BM＝AB，N为AC上一点，且四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN，则BN的长为　2　 ． 【答案】（1）图②④； （2）四边形ABFE是邻等对补四边形； （3）2 【解答】解：（1）图①中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°+45°＝135°，因此图①不是邻等对补四边形； 图②中，AD＝CD，AB≠BC，∠B+∠D＝90°+90°＝180°，∠BAD+∠BCD＝30°+45°+45°+60°＝180°，因此图②是邻等对补四边形； 图③中，AD＝AB，CD≠BC，∠A+∠C＝90°+60°＝150°，∠ADC+∠ABC＝30°+45°+45°+90°＝210°，因此图③不是邻等对补四边形； 图④中，AD＝AB，BC＝CD，∠B+∠D＝90°+90°＝180°，∠BAD+∠BCD＝30°+30°+60°+60°＝180°，因此图④是邻等对补四边形； 故答案为：图②④； （2）四边形ABFE是邻等对补四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠ECF＝180°﹣90°＝90°，∵EC＝BC， ∴EC＝AD， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°＝∠AED+∠CEF， ∵∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CEF， ∴△ADE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF， 又∵∠B+∠AEF＝90°+90°＝180°，∠F+∠BAE＝180°，而AB≠BF， ∴四边形ABFE是邻等对补四边形； （3）如图⑥，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8， ∴ABAC＝4，BCAC＝4， ∴MC＝BC﹣BM＝44， 又∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ∴∠A+∠BMN＝180°，∠ABM+∠ANM＝180°， ∵∠ABM＝90°， ∴∠ANM＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝30°，MC＝44， ∴MNMC＝22， 过点N作ND⊥BC， 在Rt△DMN中，MN＝22，∠DMN＝90°﹣30°＝60°， ∴DMMN1，DNMN＝3， ∴BN ＝2． 故答案为：2． 22．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC． （1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由． （2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E． ①求∠E的度数； ②若AB＝10，∠CDB＝30°，求与线段BD的长度，并比较大小． 【答案】（1）点D在半圆O所在的圆上，见解析； （2）①∠E＝90°；②，见解析． 【解答】解：（1）点D在半圆O所在的圆上． 理由如下：如图，连接OD． ∵DC＝AC，∠OCD＝∠OCA，OC＝OC， ∴△OCD≌△OCA（SAS）， ∴OD＝OA， ∴点D在半圆O所在的圆上； （2）①∵点D在半圆O所在的圆上， ∴∠CDE＝∠CAB． 由条件可知∠CDE＝∠OCD， ∴OC∥DE， 由条件可知∠OCE＝90°， ∴∠E＝90°； ②由题意，得∠CAB＝∠CDB＝∠OCA＝∠OCD＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴BC的长度为， 由条件可知∠ACB＝90°， ∴，∠BCD＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠OCD＝30°， ∴∠BCD＝∠CDB， ∴BC＝BD＝5． ∵， ∴． 23．数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究． 已知二次函数与，（a≠0），我们把具有这样特点的函数y1和y2称为互利函数． 【总结归纳】 （1）填空：y1的顶点坐标为　（﹣m，n）　 ，y2的顶点坐标为　，（m，﹣n）　 ； 【知识应用】 （2）求y＝3x2﹣6x﹣1的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设y＝ax2+bx+c的顶点为M． 若a＝1，b＝2． 求证：这两个函数的图象的交点为M，N； 【拓展延伸】 （4）已知二次函数的互利函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．点C在点B的左侧，直线y＝kx+t经过点A，点C关于y＝kx+t的对称点C'恰好在线段AB上，直线CC'与抛物线交于另一点D． ①求点D的坐标； ②点P是直线BD上一点，点Q是互利函数y＝ax2+bx+c在第一象限内的抛物线上一点，始终有S△QAC≤S△PAC'，直接写出点P横坐标的取值范围． 【答案】（1）（﹣m，n），（m，﹣n）； （2）y＝﹣3（x+1）2+4； （3）见解析； （4）①； ②P横坐标的取值范围为． 【解答】（1）解：已知二次函数与，（a≠0）， ∴y1的顶点坐标为（﹣m，n），y2的顶点坐标为（m，﹣n）， 故答案为：（﹣m，n），（m，﹣n）；． （2）解：y＝3x2﹣6x﹣1＝3（x﹣1）2﹣4， ∴y＝3x2﹣6x﹣1互利函数解析式为y＝﹣3（x+1）2+4； （3）证明：已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设y＝ax2+bx+c的顶点为M．a＝1，b＝2． ∴， 设的顶点为M，则函数的顶点坐标为M（﹣1，c﹣1）， ∴的互利函数（x﹣1）2+1﹣c，则函数的顶点坐标为N（1，1﹣c）， ∵二次函数经过N（1，1﹣c），将点N的坐标代入得： 1﹣c＝12+2×1+c， 解得：c＝﹣1， ∴点M的坐标为（﹣1，﹣2），点N的坐标为（1，2）， ∴， 当x＝﹣1时，得：y＝﹣22+2＝﹣2， ∴经过M（﹣1，﹣2）， ∴这两个函数的图象的交点为M，N； （4）解：P横坐标的取值范围为．理由如下： 已知二次函数的互利函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．点C在点B的左侧，直线y＝kx+t经过点A，点C关于y＝kx+t的对称点C'恰好在线段AB上， ∵的互利函数为， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣4，0）． 当x＝0时，得：y＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， ∴OA＝2，OC＝1，OB＝4，BC＝5， ∴， ∴BC2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∵直线y＝kx+t经过点A，点C关于y＝kx+t的对称点C′恰好在线段AB上， ∴直线y＝kx+t是∠BAC的角平分线， ∴， ∴C′是AB的中点， ∵A（0，﹣2），B（﹣4，0）， ∴C′（﹣2，﹣1）， 设直线CC′的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C′，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CC′的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； ②设直线AC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点A、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝2x﹣2， 设直线BD的解析式为y＝mx+n，将点B，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BD的解析式为． 过点P作PQ∥AC，连接PC，PA，QC，QA，设AC与BD交于点P′，如图， 联立， 解得：， 则； 当PQ在直线AC上方时，存在S△QAC＝S△PAC， 如图当Q′在PQ下方时，存在S△Q′AC＜S△PAC， 当PQ在直线AC的下方时，不一定存在S△QAC≤S△PAC， 综上所述，P横坐标的取值范围为． 24．【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为BC的中点，连接AD，点E为BD上一动点（不与端点重合），点P为CE的中点，点H为△ABC内一点，连接PH、EH、AH、AE，PH＝PD，∠DPH＝90°，延长EH到点F，使得HF＝HE，连接AF、CF． ①设PD＝m，PC＝n，请用含m、n的式子分别表示线段BD、BE、CF的长； ②判断AH与EF的位置关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，四边形ABCD是农民李大爷家的一块种植地，经测量，BC＝CD，∠C＝60°，为了提高产量，李大爷计划对这块种植地重新进行规划，取BC的中点P，沿DP将四边形ABCD分成两部分，分别用于种植两种不同的作物，在BP上取点E（不与端点重合），将点E和CE的中点G设为两个出入口，沿DE修一条灌溉水渠，在四边形ABCD内部取点H，沿EH修建运输通道，GH是一条小路，根据规划要求，PG＝HG，∠PGH＝120°，根据李大爷的预算，修建运输通道每米的费用是修建灌溉水渠每米费用的2倍，请你计算并说明DE段修建灌溉水渠的总费用与EH段修建运输通道的总费用是否相等？ 【答案】（1）①BD＝m+n，CF＝2m，BE＝2m； ②AH⊥EF，见解析； （2）DE段修建灌溉水渠的总费用与EH段修建运输通道的总费用相等． 【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，点E为BD上一动点（不与端点重合），点P为CE的中点，延长EH到点F，使得HF＝HE， ∴PH为△ECF的中位线，PE＝PC， ∴CF＝2PH， ∵点D为BC的中点，PD＝m，PC＝n，PH＝PD， ∴BD＝CD， ∴PH＝m，PE＝PC＝n，BD＝CD＝m+n，CF＝2m， ∴BE＝BD﹣DE＝（m+n）﹣（n﹣m）＝2m， ②AH⊥EF；理由如下： ∵PH为△ECF的中位线， ∴CF∥PH， ∴∠BCF＝∠DPH＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACF＝45°＝∠ABE， 由①得BE＝CF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵点H为EF的中点， ∴AH⊥EF； （2）BC＝CD，∠BCD＝60°，连接BD、DH，延长EH到点F，使得HF＝HE，连接DF、CF，如图2， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝BC，∠CBD＝∠CDB＝60°， ∵点G、H分别为CE、EF的中点， ∴GH为△ECF的中位线， ∴CF∥GH，CF＝2GH， 设PG＝m，CG＝n，则GH＝m，CF＝2m，EG＝CG＝n， ∴BE＝BP﹣PE＝CP﹣PE＝（m+n）﹣（n﹣m）＝2m， ∴BE＝CF， ∵CF∥GH， ∴∠BCF＝∠EGH＝120°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠DCF＝60°＝∠DBE， 在△DBE和△DCF中， ， ∴△DBE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠EDC+∠BDE＝∠BDC＝60°， ∵点H为EF的中点， ∴DH⊥EF，， ∴在Rt△DEH中，DE＝2EH， 设EH＝a，则DE＝2a， 设修建灌溉水渠每米费用为b元，则修建运输通道每米费用是2b元， ∴DE段修建灌溉水渠的总费用为2ab元，EH段修建运输通道的总费用为2ab元， ∴DE段修建灌溉水渠的总费用与EH段修建运输通道的总费用相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$