2025年河北省中考数学对标卷（难卷）

绝密★启用前 2025年河北省中考数学对标卷（难卷） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．|a|＞|c| B．bc＞0 C．a+d＞0 D．b＜﹣2 2．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 3．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是（　　） A． B． C． D． 4．若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（　　） ﹣（﹣6） |﹣6| 3m A．﹣1 B．1 C．3 D．5 5．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，C为线段OA的中点，将线段OA折叠，使CA与CO重合，折痕l与OB交于点D，则△OCD一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 8．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 9．如图，把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，若∠ADE的平分线经过点B，连接EC，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝DE B．DB∥EC C．BD⊥AE D．∠BDE＝∠ACE 10．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　） 方案一 F为DA和CE的延长线上的交点 方案二 F为DC和AG的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 11．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　） A．r＝Rcos36° B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．R＝rsin36° 12．如图，直线AB∥CD，E为AB上的一定点，P为CD上的一动点，Q为平面内直线AB与CD之间的一点（点Q不在直线AB和直线CD上），连接EQ，PQ．在点P的运动过程中，若始终有∠BEQ＝∠DPQ，则下列说法正确的是（　　） 结论Ⅰ：EQ+PQ为定值． 结论Ⅱ：△EPQ的面积为定值． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．若分式的值为正，则实数x的取值范围是　 　 ． 14．学校有一块四边形试验田，分割成A，B两块，由图可知，x﹣y＝　 　 ． 15．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是　 　 ． 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接CD， （Ⅰ）线段CD的长为 　 　 ； （Ⅱ）线段CD交圆于点E，线段AB交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出△ABC的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“+1”，“平方”，“立方”，“﹣4”，“+5”，“﹣6”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为：（10+5）2＝225． （1）开始数字为﹣5，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； （2）开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为﹣27，求m的值． 18．观察下列等式： 第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2 第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 第3个等式 （42﹣1）2+82＝（　 　 ）2 第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　 　 ＝（n2+1）2． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 19．将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm． 计算在图1中，设OP与CD交于点E． （1）求直尺的宽度PE； 操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示． 探究经过上述操作后，在图2中，求： （2）点C在量角器上的读数； （3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14） 20．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题： （1）表格中的a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 　 　 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 　 　 分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 21．如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢ABCD的宽BC＝2m，∠BAC＝30°，卸货时，货厢绕点A处的转轴旋转，点A处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.5m．货厢对角线AC，BD的交点G可视为货厢的重心，卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求AG的长． （2）若∠BAN＝45°，请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 22．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　 　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　 　 ，AH与DE的位置关系为 　 　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和平面内的点C，给出如下定义：若弦AB上存在点P，使得点C绕点P旋转180°后得到的对应点C'在⊙O上，则称点C是弦AB的“伴随点”． （1）如图，点A（0，1），B（1，0）． ①在点C1（3，0），C2（0，﹣2），中，弦AB的“伴随点”是 　 　 ； ②若点D是弦AB的“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为 　 　 ； （2）已知直线y＝x+b与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段EF上任意一点，且存在⊙O的弦MN，MN＝1，使得点Q是弦MN的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形ABCD的顶点，B（0，1），C（0，3），等边三角形OEF的顶点F（0，4），点E在第二象限． （Ⅰ）填空：如图①，点D的坐标为 　 　 ，点E的坐标为 　 　 ； （Ⅱ）将△OEF沿水平方向向右平移，得到△O′E′F′，点O，E，F的对应点分别为O′，E′，F′．设OO′＝t，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分的面积为S． ①如图②，当边E′F′分别与CD，BC相交于点G，P、边O′E′分别与AB，BC交于点H，Q，且△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 2025年河北省中考数学对标卷（难卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C A D D C D D D 题号 12 答案 A 一．选择题（共12小题） 1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．|a|＞|c| B．bc＞0 C．a+d＞0 D．b＜﹣2 【答案】A 【解答】解：A、∵a＜﹣4，0＜c＜1， ∴|a|＞|c|，结论A正确； B、∵b＜0，c＞0， ∴bc＜0，结论B错误； C、∵a＜﹣4，d＝4， ∴a+d＜0，结论C错误； D、﹣2＜b＜﹣1，结论D错误． 故选：A． 2．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 【解答】解：如图所示： 由题意可知：∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， ∴∠A+∠1＝90°， ∴∠1＝90°﹣45°＝45°， ∴∠2＝∠1＝45°， ∵∠α＝∠2+∠D， ∴∠α＝45°+30°＝75°， 故选：C． 3．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种， ∴该赛车从F口驶出的概率为， 故选：B． 4．若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（　　） ﹣（﹣6） |﹣6| 3m A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：∵表格中的四个数满足每列的两个数的和相等， ∴， 整理得6+6＝3+3m， 解得：m＝3． 故选：C． 5．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组得： ； 故选：A． 6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可得， 故选：D． 7．如图，C为线段OA的中点，将线段OA折叠，使CA与CO重合，折痕l与OB交于点D，则△OCD一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解答】解：由题意可得：∠OCD＝∠ACD， ∵∠OCD+∠ACD＝180°， ∴∠OCD＝∠ACD＝90°， ∴△OCD一定为直角三角形． 故选：D． 8．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 【答案】C 【解答】解：由条件可得，， 故选：C． 9．如图，把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，若∠ADE的平分线经过点B，连接EC，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝DE B．DB∥EC C．BD⊥AE D．∠BDE＝∠ACE 【答案】D 【解答】解：∵把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE，，， ∴∠ACE＝∠ADB． ∵DB为∠ADE的平分线， ∴∠BDE＝∠ADB， ∴∠BDE＝∠ACE． 故D选项正确，符合题意． 根据已知条件不能得出A，B，C选项， 故A，B，C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 10．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　） 方案一 F为DA和CE的延长线上的交点 方案二 F为DC和AG的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 【答案】D 【解答】解：方案一：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点， ∴AD∥BC，AE＝BE， ∴∠FAE＝∠CBE，∠AFE＝∠BCE， 在△AFE和△BCE中， ， ∴△AFE≌△BCE（AAS）， ∴AF＝BC， 又AF∥BC， ∴四边形ABFC是平行四边形， 方案二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AC，BD互相平分于点H，如图， 又E为AB的中点， ∴G为△ABC的重心， ∴AI为BC边上的中线，I为BC边的中点， ∵AB∥CF， ∴∠BAI＝∠CFI，∠ABI＝∠FCI， 又BI＝CI， ∴△ABI≌△FCI（AAS）， ∴AB＝CF， 又AB∥CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， 综上，方案一和方案二都正确， 故选：D． 11．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　） A．r＝Rcos36° B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．R＝rsin36° 【答案】D 【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠BOC360°＝72°， ∴∠1∠BOC72°＝36°， R2﹣r2＝（a）2a2， a＝Rsin36°，故B不符合题意； a＝2Rsin36°， a＝rtan36°， a＝2rtan36°，故C不符合题意； cos36°， r＝Rcos36°，故A不符合题意； 故选：D． 12．如图，直线AB∥CD，E为AB上的一定点，P为CD上的一动点，Q为平面内直线AB与CD之间的一点（点Q不在直线AB和直线CD上），连接EQ，PQ．在点P的运动过程中，若始终有∠BEQ＝∠DPQ，则下列说法正确的是（　　） 结论Ⅰ：EQ+PQ为定值． 结论Ⅱ：△EPQ的面积为定值． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】A 【解答】解：如图，过点E作ET⊥CD于点T，延长EQ交CD于点N， ∵∠BEQ＝∠DPQ＝α（α为定值）， ∴当P点运动时，Q点在EQ上运动， ∵AB∥CD， ∴∠BEQ＝∠ENP， 又∵∠BEQ＝∠DPQ＝α（α为定值）， ∴∠QPN＝∠QNP， ∴QP＝QN， ∴EQ+QP＝EQ+QN＝EN， 在Rt△TEN中，， ∵AB∥CD，ET的长为两平行线间的距离，则ET为定值， ∴EN为定值，即结论I：EQ+PQ为定值，正确； 设EQ+PQ＝t， 假设∠BEQ＝45°，则∠EQP＝90°， ∴， 即随着EQ的长发生变化，△EQP的面积也发生变化，结论Ⅱ不正确； 故选：A． 二．填空题（共4小题） 13．若分式的值为正，则实数x的取值范围是　x＞0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由于x2+2＞0， 由于0， ∴x＞0， 故答案为：x＞0， 14．学校有一块四边形试验田，分割成A，B两块，由图可知，x﹣y＝　0°　 ． 【答案】0°． 【解答】解：如图， 根据题意得，x+∠1+∠2+75°＝360°；75°+∠1+∠2+y＝360°， ∴x+∠1+∠2+75°＝75°+∠1+∠2+y， ∴x﹣y＝0°， 故答案为：0°． 15．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：如图， ∵BD∥MC，OD＝4，OC＝3cm，OB＝2cm， ∴，即， ∴OB＝6， ∴点M对应的数是：6， 故答案为：6． 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接CD， （Ⅰ）线段CD的长为 　　 ； （Ⅱ）线段CD交圆于点E，线段AB交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出△ABC的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明） 　取格点G，作射线CG交圆于点K，连接KE，取圆与格线交点J，连接AJ交KE于点O，连接CF交格线于点H，作射线OH交于点M，连接AM交CK于点I，点I即为所求．　 ． 【答案】（I）； （II）取格点G，作射线CG交圆于点K，连接KE，取圆与格线交点J，连接AJ交KE于点O，连接CF交格线于点H，作射线OH交于点M，连接AM交CK于点I，点I即为所求．图见解析． 【解答】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线CG交圆于点K，连接KE，取圆与格线交点J，连接AJ交KE于点O，连接CF交格线于点H，作射线OH交于点M，连接AM交CK于点I，点I即为所求． 由作图得∠KCE＝∠ACB＝90°，即点O为圆心，KC，AJ为⊙O直径， 由网格的特征得H点为CF中点，即FH＝CH， ∴， ∴∠FAM＝∠CAM，即AM是∠BAC的角平分线， ∵∠BCK＝∠ACK＝45°，即CK是∠BCA的角平分线， ∴点I为△ABC的内心． 故答案为：取格点G，作射线CG交圆于点K，连接KE，取圆与格线交点J，连接AJ交KE于点O，连接CF交格线于点H，作射线OH交于点M，连接AM交CK于点I，点I即为所求． 三．解答题（共8小题） 17．数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“+1”，“平方”，“立方”，“﹣4”，“+5”，“﹣6”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为：（10+5）2＝225． （1）开始数字为﹣5，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； （2）开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为﹣27，求m的值． 【答案】（1）75； （2）m＝﹣4． 【解答】解：（1）∵开始数字为﹣5，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6， ∴（﹣5﹣4）2﹣6＝81﹣6＝75； （2）由题意，得：（m+1）3＝﹣27， ∴m+1＝﹣3， ∴m＝﹣4． 18．观察下列等式： 第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2 第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 第3个等式 （42﹣1）2+82＝（　42+1　 ）2 第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　（n2﹣1）2+（2n）2　 ＝（n2+1）2． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）42+1； （2）（n2﹣1）2+（2n）2； （3）196． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，（42﹣1）2+82＝（42+1）2， 故答案为：42+1； （2）用含n（ n 为正整数，且 n＞1 ）的等式表示上述规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故答案为：（n2﹣1）2+（2n）2； （3）由（2）可知（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故存在以n2﹣1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形， ∴当有一个直角边为14的直角三角形时 ∵三个整数能构成直角三角形的三条边长， ∴2n＝14，解得n＝7， ∴直角三角形的另一个直角边是72﹣1＝48， ∴这个直角三角形的面积为． 19．将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm． 计算在图1中，设OP与CD交于点E． （1）求直尺的宽度PE； 操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示． 探究经过上述操作后，在图2中，求： （2）点C在量角器上的读数； （3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14） 【答案】（1）2cm； （2）74°； （3）8.2cm． 【解答】解：（1）∵C，D在直尺上的读数分别为1cm，9cm， ∴CD＝9﹣1＝8（cm）， ∵半圆O与MN相切于点P， ∴OP⊥MN， 又∵CD∥MN， ∴OP⊥CD， ∴， 如图1，连接OD，在Rt△DOE中，， ∴， ∴PE＝OP﹣OE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（cm）； （2）连接OC，如图2，在Rt△DOE中，， ∴∠ODE＝37°， ∴∠AOC＝2∠ODE＝2×37°＝74°， 即点C在量角器上的读数为74°； （3）取半圆弧的中点为Q，连接OQ， ∴∠DOQ＝90°， ∴∠POQ＝90°﹣∠DOP＝∠ODE＝37°， ∴的长度为：3.23（cm）， 即经操作后，点P移动的距离为3.23cm， ∴点P在直尺上的读数为5+3.23≈8.2（cm）． 20．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题： （1）表格中的a＝　5　 ；b＝　2　 ；c＝　75　 ； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 　78　 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 　80　 分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75． （2）78；80． （3）． 【解答】解：（1）由题意得，a＝5，b＝2，c＝75． 故答案为：5；2；75． （2）∵样本数据的中位数为78， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分． ∵平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数最大，为80， ∴如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分． 故答案为：78；80． （3）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中A，B两名队员恰好同时被选中的结果有：（A，B），（B，A），共2种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 21．如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢ABCD的宽BC＝2m，∠BAC＝30°，卸货时，货厢绕点A处的转轴旋转，点A处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.5m．货厢对角线AC，BD的交点G可视为货厢的重心，卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求AG的长． （2）若∠BAN＝45°，请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 【答案】（1）AG＝2m； （2）该货车不会发生车辆倾覆事故，理由见解析． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，货厢对角线AC，BD相交于点G，BC＝2m，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°，， ∴AC＝2BC＝4m， ∴； （2）如图，过点G作GE⊥AN，垂足为E， ∵∠BAN＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝75°， 在Rt△AGE中，， ∴AE＝AG•cos∠GAE≈2×0.26＝0.52（m）， ∵0.52＞0.5， ∴该货车不会发生车辆倾覆事故． 22．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　10　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　　 ，AH与DE的位置关系为 　AH⊥DE　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 【答案】（1）10； （2），AH⊥DE； （3）见解析； （4）CC′的长为24cm． 【解答】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移10cm， 故答案为：10； （2）淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴； ∵拼接图形BCH2H1是矩形， ∴∠BH1D＝90°， 由拼接知：∠AHD＝∠BH1D＝90°， ∴AH⊥DE， 故答案为：，AH⊥DE； （3）补全剪拼过程和剪拼后的矩形ABCD，如图3即为所作； （4）如图4，连接BD，由拼接知BD＝GE＝CC′，设BD与AC相交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴cm，BO＝OD，BD⊥AC， 在Rt△BOC中，BC＝13cm， 由勾股定理得：cm， ∴BD＝2BO＝24cm， ∴CC′＝BD＝24cm， ∴CC′的长为24cm． 23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和平面内的点C，给出如下定义：若弦AB上存在点P，使得点C绕点P旋转180°后得到的对应点C'在⊙O上，则称点C是弦AB的“伴随点”． （1）如图，点A（0，1），B（1，0）． ①在点C1（3，0），C2（0，﹣2），中，弦AB的“伴随点”是 　C1，C3　 ； ②若点D是弦AB的“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为 　﹣1　 ； （2）已知直线y＝x+b与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段EF上任意一点，且存在⊙O的弦MN，MN＝1，使得点Q是弦MN的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①如图，以（0，2）为圆心，1为半径画圆，以（2，0）为圆心，1为半径画圆，作两圆的切线QH，WT， ∵弦AB上存在点P，使得点C绕点P旋转180°后得到的对应点C'在⊙O上， ∴C在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∴C1是弦AB的“伴随点”，C2不是弦AB的“伴随点”； 如图，， ∴C3在直线y＝x上，而直线y＝x垂直AB， ∴AP＝BP， ∵A（0，1），B（1，0）， ∴， ∵C3P＝C'P， ∴， ∴， ∴C'在⊙O上， ∴C3是弦AB的“伴随点”， 故答案为：C1，C3； ②∵点D是弦AB的“伴随点”， ∴由①可得：D在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， 结合图形可得点D的横坐标的最小值为：﹣1， 故答案为：﹣1； （2）如图，MN＝1， 把⊙O分别绕N，M旋转180°得到⊙O'与⊙O''，连接OO'，OO''，O'O''， 此时N在OO'上，M在OO''上，且OO'＝OO''＝O'O''＝2， 作⊙O'，⊙O''的切线，⊙O'，⊙O''外切于K，连接OK，交切线于G， ∴O'K＝O''K＝1，， 此时， 结合（1）的结论可得：弦MN的“伴随点”在以O为圆心，3为半径，为半径的圆环内（包括边界）； 如图， ∵直线y＝x+b与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段EF上任意一点，且存在⊙O的弦MN，MN＝1，使得点Q是弦MN的“伴随点”， ∴Q一定在以O为圆心，3为半径，为半径的圆环内（包括边界）； ∴b≤3，或b≥﹣3， 当直线y＝x+b切小圆于点V时，， ∵△E′OF'，△OVF′都为等腰直角三角形， ∴， 当b＜0时，同理可得：， 综上：此时b的范围为：或． 24．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形ABCD的顶点，B（0，1），C（0，3），等边三角形OEF的顶点F（0，4），点E在第二象限． （Ⅰ）填空：如图①，点D的坐标为 　（2，3）　 ，点E的坐标为 　（﹣2，2）　 ； （Ⅱ）将△OEF沿水平方向向右平移，得到△O′E′F′，点O，E，F的对应点分别为O′，E′，F′．设OO′＝t，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分的面积为S． ①如图②，当边E′F′分别与CD，BC相交于点G，P、边O′E′分别与AB，BC交于点H，Q，且△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）（2，3），（﹣2，2）； （Ⅱ）①St2+4t（t＜2）； ②S≤3． 【解答】解：（Ⅰ）∵，B（0，1），C（0，3）， ∴AB＝2，OB＝1，OC＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴D（2，3）， ∵等边三角形OEF的顶点F（0，4）， ∴OF＝OE＝4， 如图，过点E作EK⊥y轴于点K， ∴FK＝OK＝2，EK2， ∴E（﹣2，﹣2）； 故答案为：（2，3），（﹣2，2）； （Ⅱ）①如图2，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为四边形BCMN， Rt△OBO'中，∠BO'O＝30°，OB＝1， ∴t； ∴△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为六边形时，t＜2， 如图3，由平移得：O'N＝OB＝F'M＝1， ∴MN＝4﹣1﹣1＝2， ∵△O'E'F'是等边三角形， ∴∠F'＝∠HO'N＝60°， ∴∠F'GM＝30°， ∴GMHN， ∴CG＝BH＝t， Rt△CPG中，tan30°， ∴CP（t）＝BQ， ∴S＝S矩形CBNM﹣S△CPG﹣S△BQH ＝2t（t）（t）×2 t2+4t； ②如图4，当t时，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为四边形CBNM， 当t时，S＝2， 当t时，S＝2， ∴当t时，S≤2； St2+4t（t2﹣4t+12﹣12）（t﹣2）2+3 ∴当t≤2时，2S≤3； 如图5，当t＝2时，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为五边形E'NADM， ∴当2t时，S随t的增大而减小， 当t＝2时，S＝2213， 当t时，△O′E′F′与矩形ABCD重叠部分为△PQE'， 如图6，延长DA交OO'于点L， ∵LO'＝t﹣2， Rt△QLO'中，∠LO'Q＝30°， ∴cos30°， ∴， ∴O'Q， ∴E'Q＝4﹣O'Q＝48， ∴SE'Q2（8）2（8）2， ∴当时，S的取值范围是：S≤3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$