精品解析：广东省湛江市雷州市第二中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试题

2024-2025学年度雷州二中高三数学5月适应性考试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若随机变量，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 10. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 11. 已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、 B. 抛物线C在点处的切线方程为 C. 一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为 D. 点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，常数项为________． 13. 若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则________． 14. 已知数列满足，是数列的前n项和且，则______． 四、解答题 15. 已知在中，， （1）求； （2）若，则三角形的面积为，求 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值． 18. 已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求. 19. 一个口袋中有除颜色外其他均相同的2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回袋中），若摸出的2个球颜色相同，则为中奖，否则为不中奖.设一次摸球中奖的概率为. （1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率； （2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取得最大值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度雷州二中高三数学5月适应性考试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数运算求出，写出复数在复平面内对应的点的坐标，即可判断象限. 【详解】解：因为， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤： (1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； (2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复与复平面上的点一一对应. 3. 若随机变量，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据二项分布的期望与方差的相关计算得出结果. 【详解】因为随机变量， 所以，， 所以，，D项错误， 故选：D. 4. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得，结合，利用向量的数量积的运算公式，即可求得的值，得到答案. 【详解】由两个单位向量，可得， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：C. 5. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列的性质计算即可得. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得，所以，所以． 故选：A. 6. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数性质可确定在内的正负；结合在内的正负可确定不等式的解集. 【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称， 当时，；当时，； 若，则或； 当时，；当时，； 的解集为. 故选：C. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】， ， 联立可得， 所以. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差. 【详解】中位数的计算与比较： 由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内， 第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35， 则，解得​， 由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内， 则，解得，所以<​. 平均数的计算与比较： 甲组平均数 ​： . 乙组平均数​： . 所以​. 众数的计算与比较： 由图甲可得甲组众数​； 由图乙可得乙组众数，所以​ . 标准差的比较： 因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以. 对于A，由前面计算可知<且​​，故A 正确； 对于B，因​​且，故B正确； 对于C，由前分析得，，， ，，，故C错误； 对于D ，因，，，则 ，故D正确 . 故答案选 ABD. 10. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断. 【详解】对于A，在四棱台中，， 所以与确定平面， 因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确； 对于B，在正四棱台中，， 所以与确定平面，所以和共面，故B正确； 对于C，因为面，而面，面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误； 对于D，因为在正四棱台中，， 所以与可以确定一个平面， 又因为，所以与交于一点设为， 所以，而平面，所以平面， 又，而平面，所以平面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、 B. 抛物线C在点处的切线方程为 C. 一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为 D. 点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点，根据点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相切时t取最大值，即可求解. 【详解】A选项：由抛物线C的定义知， 解得代入可得， 所以P的坐标为、，故A正确； B选项：由得，， 切线方抛物线C在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，故B正确； C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点， 设正三角形的边长为，则根据对称性可得 且点在抛物线上，所以，解得， 所以这个正三角形的边长为，故C错误； D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D， 如图， 由抛物线的定义知， 当t取最大值时，取最小值， 即直线GH与抛物线C相切. 设直线HG的方程为， 由得， 所以，解得， 此时，即， 所以，故， 所以，故D正确. 故选:ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，常数项为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据，求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为， 又的展开式的通项为， 所以当时， 所以的展开式中常数项为10． 故答案为：. 13. 若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件列出关于的方程，解方程可得的值，由此可得结论. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又为双曲线的一条渐近线， 所以， 设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知数列满足，是数列的前n项和且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，确定是首项为，公差为的等差数列，根据得到，得到通项公式. 【详解】由，得，即， 数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 即． 当n为偶数时，， 所以， 所以，故． 故答案为： 四、解答题 15. 已知在中，， （1）求； （2）若，则三角形的面积为，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）根据三角形面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 根据可得， 即，故, 由于，故 【小问2详解】 由得， 又因为由余弦定理知， 故，结合 解得 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】（1）底面，平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,， ,1,，,0,，,1,， 设平面的一个法向量为,,， 则，取，则，， 平面的一个法向量为,1,， 设直线与平面所成的角为， 则， 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为. 【解析】 【分析】（1）求出即可得到答案； （2）利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此曲线在点处的切线的斜率为1，切线方程为． 【小问2详解】 令，解得：或2． 0 2 0 0 极小值 极大值 所以在、上是减函数，在上是增函数． 因此函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且． 综上：的单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求. 【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程，设抛物线的标准方程为，根据抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上求出的值，由此可求得抛物线的标准方程； （2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得的面积. 【详解】（1）由题意可得，可得，则， 所以，椭圆的标准方程为. 设抛物线的标准方程为， 由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，则，， 因此，抛物线的标准方程为； （2）设点、，可知直线的方程为， 将直线的方程与椭圆方程联立， 消去得，， 由韦达定理得，， 因此，. 【点睛】本题考查椭圆与抛物线标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 19. 一个口袋中有除颜色外其他均相同的2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回袋中），若摸出的2个球颜色相同，则为中奖，否则为不中奖.设一次摸球中奖的概率为. （1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率； （2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取得最大值？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）求出从个球中任选2个的情况，再求出任选的2个球颜色相同的情况即可得出； （2）根据独立重复试验的特点可直接求出； （3）根据题意表示出，利用导数可求解. 【详解】（1）从个球中任选2个，有种选法，任选的2个球颜色相同，有种选法， ∴一次摸球中奖的概率. （2）若，则一次摸球中奖的概率为. 三次摸球是独立重复试验，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是. （3）由题意，得三次摸球恰有一次中奖的概率是，. ， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，取得最大值， 由（1）知（，且）， 得，即时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $