精品解析：2025年广东省东莞市三校九年级第二次模拟联考数学试题

2025年广东省初中毕业生学业模拟考试（一） 数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 5. 如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 7. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 9. 利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的边，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题： ①若，则的面积为； ②若，则点C关于直线的对称点在x轴上； ③满足题设的k的取值范围是； ④若，则； ⑤连接，则直线． 其中正确的命题个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 13. 若，，则代数式的值为______． 14. 如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是_____． 15. 在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为________． 三、解答题（一）（3小题，16题6分，17题7分，18题8分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 18. 电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】（1）小明共调查了________辆A型纯电动汽车，并直接补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角为________； 【分析数据】 （3）由下表填空：________，________； 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【判断决策】 （4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 四、解答题（二）（3小题，每题9分，共27分） 19. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 21. 图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 计算 （1）求点A的竖直高度； 操作 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 探究 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：） 五、解答题（三）（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标； （3）如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中毕业生学业模拟考试（一） 数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：580万亿； 故选C． 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，合并同类项，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，运用相关知识计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A.，计算正确，符合题意； B.与不能运算，故此选项错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 5. 如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 7. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求． 【详解】解：如下图所示，连接BC， ∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3， ∴根据勾股定理可得：， 又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角， ∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案． 8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 9. 利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的乘方及用数字表示事件，理解题中所给身份识别系统是解题的关键．根据题中所给身份识别系统，依次求出选项中识别图案所表示的班级即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，即A选项的识别图案表示6班学生． 故A选项不符合题意． ，即B选项的识别图案表示10班学生． 故B选项不符合题意． ，即C选项的识别图案表示9班学生． 故C选项符合题意． ，即D选项的识别图案表示7班学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，矩形的边，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题： ①若，则的面积为； ②若，则点C关于直线的对称点在x轴上； ③满足题设的k的取值范围是； ④若，则； ⑤连接，则直线． 其中正确的命题个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算的值判断①；根据证明直线与的关系，可判断②；由点F不经过点，可得，即可求出k的取值范围判断③；先求出直线的关系式，可得点D，G的坐标，进而说明的位置关系，再求出线段的长度，然后利用算式可得，求出k的值判断④⑤． 【详解】解：∵， ∴点， ∴， ∴ ． 所以①正确； ∵， ∴点， ∴． 如图，过点E作于点M， 则． 在线段上取一点N，使得，连接， 在中，由勾股定理，得， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴点N与点C关于直线对称． 所以②正确； 由题意，得点F与点不重合， ∴， ∴． 所以③不正确； 设，则， 设直线的关系式为，则 ， 解得， ∴. 令，得， ∴点． 令，得， ∴点． 可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 过点E作轴于点M，则， 在中，， 由勾股定理，得， 在中，， 由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 所以④正确，⑤正确． 可知正确的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形，求反比例函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求一次函数关系式，理解三角形的面积等于矩形的面积减去几个三角形的面积是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件得，利用分式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：，且， 故答案为：且． 12. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种， 到达“－－－”上方的由2种， 故则“馬”随机移动一次， 到达的位置在“－－－”上方的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 若，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是_____． 【答案】2＜x≤4 【解析】 【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意， 得：， 解得：2＜x≤4． 故答案为：2＜x≤4． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组． 15. 在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用，化为最简二次根式．当点M和点N都在正半轴上时，此时点Q在第一象限，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可． 【详解】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限， ∵， ∴， ∴，即， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上， 坐标为和， ∴此时点Q的运动路径长为； 同理，点Q可能在第二、三、四象限， 综上分析可知，点Q运动路径的长为． 故答案为：． 三、解答题（一）（3小题，16题6分，17题7分，18题8分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： 17. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，切线的判定， 对于（1），作线段的垂直平分线，交于点E，作直线； 对于（2），根据“等边对等角”得，，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，则答案可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：是的切线，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 18. 电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】（1）小明共调查了________辆A型纯电动汽车，并直接补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角为________； 【分析数据】 （3）由下表填空：________，________； 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【判断决策】 （4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20，见解析；（2）72；（3）430，450；（4）B型号，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， “”的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 故答案为：20； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：； 故答案为：72； （3），． 故答案为：430；450； （4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠；所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 四、解答题（二）（3小题，每题9分，共27分） 19. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米 （2）此时水桶B上升的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【小问1详解】 解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 21. 图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 计算 （1）求点A的竖直高度； 操作 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 探究 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：） 【答案】（1）点A的竖直高度为，见解析；（2）点A的竖直高度升高了，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长即可解题； （2）过点作于点，根据列方程解题即可； （3）根据解直角三角形得到，进而得到圆心角的度数代入弧长公式即可解题． 【详解】（1）过点作于点C交于点D，则为切点， ∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的竖直高度； （2）过点作于点， 则A点到地面的距离为长，设，则， ∴，即， 解得， ∴点A的高度升高为； （3）如图，， ∴， ∴， ∴圆心O运动的路径长为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角函数，弧长公式，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 五、解答题（三）（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 【答案】问题情境：，；思考尝试：，理由见解析；实践探究：；拓展迁移： 【解析】 【分析】问题情境：证明，得到，进而推导出，得到，即可得到； 思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到， 实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到， 拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：问题情境：∵等腰和等腰， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 思考尝试：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 实践探究：如图3，过点作，并使得，则，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 拓展迁移：∵， ∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大， ， ∴此时最小，即的长最小， ， ， ， ， ， ， ∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆相关知识点，掌握以上知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标； （3）如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围． 【答案】（1） （2）点Q的坐标为或或 （3） 【解析】 【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再把坐标代入函数关系式，可得答案； 对于（2），先求出直线的解析式， 再结合关系式设，，可表示，，根据等腰三角形的性质得，再分三种情况讨论：当邻边时；当邻边时；当时，画出图形求出解即可； 对于（3），将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，可得，进而得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，再求出点，即可得出，接下来求出的最大值为，的最小值为，则答案可得． 【小问1详解】 解：令，则， ． 令，则， ， 将点，代入， 得， ， ； 【小问2详解】 解：令，即，解得：，， ． 将点，代入直线的关系式中， ， 解得， 直线的解析式为：． 点M在抛物线上，点N在直线上， 设，则， ， ∵， ， ∴． ⅰ．如图1，当邻边时，， 解得：，（舍去）， ． 与平行， ； ⅱ．如图2，当邻边时， 则， ，则， 解得或（舍去），即M与A重合， ，； ⅲ．如图3，当时，， ，即M与N关于x轴对称， ， 解得或（舍）， ，． 综上：点Q的坐标为或或； 【小问3详解】 解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，， ，， ． ，， ， ． ， ， 在以为圆心，2为半径的圆上运动， ，， ． ， ， ， 的最大值为，的最小值为， ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数关系式，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，理解用点的坐标表示线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $