13.2.1 三角形的边（解析版+原卷版）-2025-2026学年八年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

13.2.1 三角形的边 知识点一 三角形的三边关系 1．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（　　） A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝3t，b＝2t，c＝t 2．（2023春•子洲县校级期末）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．3 C．7 D．8 3．（2023秋•海兴县期中）王老师有两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒正中间剪一刀 B．b小棒正中间剪一刀 C．a小棒任意剪一刀 D．b小棒任意剪一刀 4．（2022春•高昌区校级期末）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为 　 ． 6．（2025•武昌区模拟）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 知识点二 三角形的稳定性 7．（2023春•嵩县期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　） A．A、G两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间 8．（2025•唐山校级二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（　　） A．2 B．3 C．4或5 D．6 9．（2024秋•汇川区期末）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 10．（2024秋•宜州区期末）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 11．（2025•涿州市一模）下列五边形具有稳定性的图形是（　　） A． B． C． D． 【易错警示】 易错点：忽视三角形三边关系而导致 12．（2022秋•平城区校级期中）用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？为什么？ 13．（2023•桥西区三模）如图，数轴上﹣6，﹣3与6表示的点分别为M、A，N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数不可能的是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 14．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．（2024•裕华区一模）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　） A．7 B．10 C．11 D．14 16．（2024•邗江区一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（　　） A．0＜a＜4 B．2＜a＜8 C．2＜a＜4 D．4＜a＜8 17．已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M 　 　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 18．（2023•海淀区校级开学）若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1986＜m＜2022，则这样的三角形有 　 个． 19．（2021•康巴什一模）已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（2022秋•禹城市期末）九年级2班学生小茗家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和7km，那么他们两家的直线距离不可能是（　　） A．1km B．2km C．3km D．10km 21．（2022秋•崇川区校级月考）等腰三角形的周长为20，腰长m的取值范围是 　 ． 22．已知a，b，c是三角形的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 23．（2024秋•惠城区校级期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边为6，8，10的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在△ABC中，AB＝2，BC＝4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； （2）【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC＝4，若AB的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2.1 三角形的边 知识点一 三角形的三边关系 1．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（　　） A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝3t，b＝2t，c＝t 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 【详解】解：A、设a，b，c分别为x，2x，3x，则有a+b＝c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误，不符合题意； B、当a+b＝4时，c＝5，4＜5，不符合三角形任意两边大于第三边，故该选项错误，不符合题意； C、当a＝3，b＝4，c＝5时，3+4＞5，故该选项正确，符合题意； D、a＝3t，b＝2t，c＝t，则c+b＝a，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，当三条线段成比例时可以设适当的参数来辅助求解．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可． 2．（2023春•子洲县校级期末）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．3 C．7 D．8 【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：由图可知，三角形的两边的长分别为：3，4， ∴4﹣3＜第三边的长＜3+4，即：1＜第三边的长＜7， ∴该三角形第三边的长可能是3． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 3．（2023秋•海兴县期中）王老师有两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒正中间剪一刀 B．b小棒正中间剪一刀 C．a小棒任意剪一刀 D．b小棒任意剪一刀 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断． 【详解】解：∵b＞a， ∴由三角形三边关系定理得到：b小棒正中间剪一刀，3根小棒一定能围成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 4．（2022春•高昌区校级期末）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】首先求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：方程组的解为：， ∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数， ∴2＜第三边长＜6， ∴第三边长可以为：3，4，5． ∴这样的三角形有3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 5．若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为 　22　 ． 【分析】根据题意分情况讨论：①当腰长为4时，舍去；②当腰长为9时；求得周长即可． 【详解】解：由题可知：①当腰长为4时，4+4＜9，不能组成三角形； ②当腰长为9时；则另一边长为6， 此时等腰三角形的周长为：9+9+4＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握“三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边”是解题的关键， 6．（2025•武昌区模拟）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】因n段之和为定值144cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列． 【详解】解：∵每段的长为不小于1（cm）的整数， ∴最小的边最小是1， ∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形， ∴第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55， 再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件． 上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56， 这时n的值最大，n＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是保证前两项最短的情况下，使第三项等于前两项之和，这样便不能构成三角形． 知识点二 三角形的稳定性 7．（2023春•嵩县期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　） A．A、G两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间 【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性对选项一一判断是否组成三角形． 【详解】解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在E、G两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在E、G两点之间． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 8．（2025•唐山校级二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（　　） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【分析】设第三根小棒的长度是x，根据题意，可得3＜x＜17，再由图中挡板高度进一步确定3＜x≤5，结合选项即可得到答案． 【详解】解：设第三根小棒的长度是x，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知10﹣7＜x＜10+7， 即3＜x＜17， 再由图中挡板高度为5，则3＜x≤5， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系是解题的关键． 9．（2024秋•汇川区期末）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形具有稳定性． 10．（2024秋•宜州区期末）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形具有稳定性． 11．（2025•涿州市一模）下列五边形具有稳定性的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性，进行解答即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性， 综上所述，只有D选项中的图形都是由三角形构成，所以此选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具有稳定性． 【易错警示】 易错点：忽 12．（2022秋•平城区校级期中）用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】分8是底边和腰长两种情况讨论求解． 【详解】解：分两种情况讨论． （1）如果8cm长的边为底边，设腰长为xcm，则有x+x+8＝36， 解得x＝14， （2）如果8cm长的边为腰，设底边为xcm，则有8+8+x＝36， 解得x＝20． 因为8+8＜20，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是8cm的等腰三角形． 由以上讨论可知，可以围成底边长是8cm的等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 13．（2023•桥西区三模）如图，数轴上﹣6，﹣3与6表示的点分别为M、A，N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数不可能的是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】利用两点间的距离，三边关系，推出第三边条的取值范围即可． 【详解】解：可设B表示的数为x，x＞0， 则BN＝6﹣x，AB＝x﹣（﹣3）＝x+3， ∵△ABC中，AC＝AM＝﹣3﹣（﹣6）＝3；BC＝BN＝6﹣x， ∴AC+BC＞AB， ∴3+6﹣x＞x+3， ∴0＜x＜3， 故选：D． 【点睛】本题考查的数轴上的点表示的数，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 14．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解：解不等式①，可得x＜a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴a＞5， 又∵存在以3，a，7为边的三角形， ∴4＜a＜10， ∴a的取值范围是5＜a＜10， ∴a的整数解有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，关键是求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15．（2024•裕华区一模）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　） A．7 B．10 C．11 D．14 【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：∵其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8， ∴任意两颗螺丝的距离的最大值是4+6＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 16．（2024•邗江区一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（　　） A．0＜a＜4 B．2＜a＜8 C．2＜a＜4 D．4＜a＜8 【分析】本题实际上是长为8的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围． 【详解】解：长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为8﹣2a． 由题意得， 解得2＜a＜4． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题． 17．已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M 　＜　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】根据三角形的三边关系，结合有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解：∵a、b、c是△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＜0， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查三角形的三边关系及有理数的乘法法则，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 18．（2023•海淀区校级开学）若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1986＜m＜2022，则这样的三角形有 　11　 个． 【分析】首先根据连续自然数的关系可设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，根据题意可得1986＜x﹣1+x+x+1＜2022，再解不等式即可． 【详解】解：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得： 1986＜x﹣1+x+x+1＜2022， 解得：662＜x＜674， ∵x是自然数， ∴x是663，664，665，666，667，668，669，670，671，672，673， 即这样的三角形有11个， 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 19．（2021•康巴什一模）已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据三角形三边的性质得到第三边的取值范围，然后根据“＞向右，＜向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将第三边的取值范围在数轴上表示出来，再比较得到结果． 【详解】解：根据三角形三边长度的关系得： a＞8﹣4，a＞4； a＜8+4，a＜12； 所以a的取值范围为：4＜a＜12． 在数轴上表示为：． 故选：A． 【点睛】首先考查三角形三边长度的关系，其次考查不等式的解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 20．（2022秋•禹城市期末）九年级2班学生小茗家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和7km，那么他们两家的直线距离不可能是（　　） A．1km B．2km C．3km D．10km 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：依题意，设小茗家和李锐家的直线距离为d， 则7﹣5≤d≤7+5， 即2≤d≤12． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号． 21．（2022秋•崇川区校级月考）等腰三角形的周长为20，腰长m的取值范围是 　5＜m＜10　 ． 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得两腰长的和大于周长的一半，然后解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，m+m＞20﹣2m， 解得m＞5， 又∵m+m＜20， ∴m＜10， 所以5＜m＜10． 故答案为：5＜m＜10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于m的不等式是解题的关键． 22．已知a，b，c是三角形的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 23．（2024秋•惠城区校级期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边为6，8，10的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在△ABC中，AB＝2，BC＝4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； （2）【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC＝4，若AB的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”． 【分析】（1）先根据三边关系求出AC的范围，再根据新定义，确定AC的长即可； （2）设AB＝x（x为偶数），则BC＝12﹣x，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出x的取值范围，根据AB的长为偶数，求出AB的长，进而求出BC的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在△ABC中，AB＝2，BC＝4， ∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB， ∴4﹣2＜AC＜4+2， ∴2＜AC＜6， ∵△ABC为“好运三角形”， ∴AC为偶数， ∴AC＝4； （2）已知△ABC的周长为16，AC＝4，AB的长为偶数，设AB＝x（x为偶数），则BC＝12﹣x， 依题意得： 解得4＜x＜8， ∴AB＝x＝6． ∴BC＝12﹣6＝6， 又∵AC＝4， ∴△ABC是“好运三角形”． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$