精品解析：上海市金山区（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024学年第二学期七年级数学期中 诊断评估卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列不等式中属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：A．含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意； B．，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； D．，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质、命题与定理，根据平行线的性质，对顶角和垂直的判定解答即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意； 故选：D． 3. 下列条件中能组成三角形的是（　　） A. 5cm, 7cm, 13cm B. 3cm, 5cm, 9cm C. 6cm, 9cm, 14cm D. 5cm, 6cm, 11cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：如果a、b、c是三角形的三边，且同时满足a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，则以a、b、c为边能组成三角形，根据判断即可． 【详解】A选项：∵7+5＝12<13，5cm、7cm、13cm不能组成三角形，故本选项错误； B选项：∵5+3＜9，∴5cm、3cm、9cm不能组成三角形，故本选项错误； C选项：∵9+6〉14，∴6cm、9cm、14cm，能组成三角形，故本选项正确． D选项：∵5+6=11，∴5cm、6cm、11cm不能组成三角形，故本选项错误； 故选C． 【点睛】考查了对三角形的三边关系的应用，注意：若c是最大边，只要满足两最小边a+b＞c即可． 4. 一个三角形中的三条中线（ ） A. 都在这个三角形内 B. 都在这个三角形外 C. 可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D. 可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 5. 如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ） A. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B. 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C. 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】要使直线、直线达到平行的位置关系，则要使（二者是内错角）或（二者是同旁内角），据此逐一判断即可 【详解】解：A、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则此时，则与不平行，不符合题意； B、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转， 则此时，即，则与不平行，不符合题意； C、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，则，则与平行，符合题意； D、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则，即，则与不平行，符不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 6. 关于的方程组，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程组，再转化不等式解答即可． 本题考查了方程组的解法，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组 得， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，把不等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时除以得：， 故答案：． 8. 用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 不等式的非负整数解为______． 【答案】0或1或2或3 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 10. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 11. 要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_________. 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答． 【详解】根据两点确定一条直线． 故答案为两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中． 12. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但，与矛盾， ∴命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，两条中线，相交于点，已知的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图所示，连接，设，，根据三角形中线平分三角形面积得到，，，由此根据三角形面积之间的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设，， ∵的两条中线，相交于点， ∴，，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 16. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 【答案】20或 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解新定义，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴ 解得． 当时， ∵ ∴ 解得． 故答案为：20或． 18. 如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 【答案】62、70、110、118 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质求解． 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共8小题，58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则原不等式的解集为 20. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 故原不等式组的解集是：， 把解集在数轴上表示出来为： ． 21. 按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， （1）过点M画出直线的垂线，交直线于点N； （2）过点M画出直线的垂线，垂足为点F； （3）点M到点N之间的距离是线段________的长； （4）点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【小问1详解】 解：如图所示：直线即为所求： 【小问2详解】 解：如上图所示，直线即为所求： 【小问3详解】 解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， 【小问4详解】 解：点O到直线距离是线段的长， 故答案为： 22. 如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数． 解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题干中的解题过程以及相关性质定理即可求出答案． 【详解】解：因为°（ 三角形内角和等于 ）， 又因为°，°（已知）， 所以 55 ． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角定义以及三角形的角平分线定义．解题的关键在于熟练掌握相关性质定理及定义． 23. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据题意易证，进而推出，得到，由角平分线的定义可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 24. 如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 25. 某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． （1）求每件商品进价及购进商品的数量． （2）已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】（1）商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 （2）；②26或30 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 小问1详解】 解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； 【小问2详解】 解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 26. 【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期七年级数学期中 诊断评估卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列不等式中属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 下列条件中能组成三角形的是（　　） A. 5cm, 7cm, 13cm B. 3cm, 5cm, 9cm C. 6cm, 9cm, 14cm D. 5cm, 6cm, 11cm 4. 一个三角形中的三条中线（ ） A. 都在这个三角形内 B. 都在这个三角形外 C. 可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D. 可能和这个三角形一边重合 5. 如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ） A. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B. 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 6. 关于的方程组，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 不等式的解集是______． 8. 用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 9. 不等式的非负整数解为______． 10. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”形式________． 11. 要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_________. 12. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是______． 13. 如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 14. 如图，如果，与互余，那么的度数是______． 15. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为6，则四边形的面积为______． 16. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 17. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 18. 如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 三、解答题（本大题共8小题，58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解不等式：． 20. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来． 21. 按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， （1）过点M画出直线的垂线，交直线于点N； （2）过点M画出直线垂线，垂足为点F； （3）点M到点N之间的距离是线段________的长； （4）点O到直线的距离是线段________的长． 22. 如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数． 解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 23. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 24. 如图，已知，，，，求的度数． 25. 某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． （1）求每件商品进价及购进商品的数量． （2）已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 26. 【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$