精品解析：2025届宁夏回族自治区银川市金凤区宁夏六盘山高级中学模拟预测数学试题

宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第二学期高三第四次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内． 2．选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 ． 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，由此根据复数的模的定义求得的值. 【详解】由，得， 所以. 故选：D． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，求复数的模，属于基础题. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再由补集与并集运算可得. 【详解】由题意得，, 则，或， 则，或， 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，可求得向量，利用平面向量的模长公式可求得结果. 【详解】由题意可得，解得，所以，， 因此，. 故选：A. 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（ ） A. 两组数据的平均数都是6分 B. 两组数据的中位数都是6分 C. 两组数据的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性. 【详解】甲组数据的平均数分. 乙组数据的平均数分. 所以两组数据的平均数均为分，A选项正确.  将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分. 将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.B选项错误.  甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分. 乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分. 所以两组数据的极差相等，C选项正确.  对于甲组数据，，，则. 对于乙组数据，，，则. 因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确.  故选：B. 5. 在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】分析：先找到与平面所成角，与平面所成角，再设出长方体的边长找到异面直线与所成角，最后利用余弦定理求异面直线与所成角的余弦值. 详解：由题得∠设AD=1,则 在△中，由余弦定理得. 因为,所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为. 点睛：（1）本题主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 异面直线所成的角的求法,方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量. 6. 若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数和的对称性求得，消元后结合二次函数与不等式的性质得取值范围． 【详解】，， 可以看作是直线与函数和交点的横坐标， 作出图象，如图， 与互为反函数，图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此直线与和图象交点也关于直线对称， 所以，由图象知． ， 又，，所以， ， 所以所求范围是． 故选：C． 7. 已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由，可求得，进而可得，可求E的离心率. 【详解】设，，由双曲线和抛物线的对称性知， ，解得．E的渐近线方程为：，即， ∴，所以E的离心率为． 故选：D. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性求得的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围． 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①， 所以，即②， 联立①②可解得，， 所以不等式可化为， 因为，则，故， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又因为在时是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以． 所以正实数a的取值范围是. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的各项系数之和为4096 B. 展开式中含项的系数为45 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第6项的系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意得，求出，令，求出各项系数之和，判断A；求出通项，令，判断B；令，求出，判断C；展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的系数最大，判断D. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得，解得， 令，得，即展开式的各项系数之和为1024，故A错误； 由通项，令，解得， 所以展开式中含项的系数为，故B正确； 若展开式中存在常数项，令，解得，故C正确； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的系数最大，故D正确. 故选：BCD. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的范围，三角函数的奇偶性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误. B选项， ， 所以为奇函数，B选项正确. C选项， ， 所以的图象关于直线对称，C选项正确. D选项，，所以在区间上递增， 令，， 令，， 其中， 所以， 所以在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确. 故选：BCD 11. 数列 满足 ，且 ，数列的前 项和为 ，从 的前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列的前 项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，即可判断A，B；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断C；理解数列的前n 项积的概念，并通过运算即可判断D． 【详解】对于A ，当时，，即 ， 又因为 的偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由选项A得的奇数项所成的数列是以首项为，公差为的等差数列， 偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列， ，故C错误； 当时， ， 又 , 所以 ，故D正确. 故选：AD． 【点睛】思路点睛：利用数列的递推关系得出的偶数项和奇数项均为等差数列，根据组合数以及概率的计算公式表达出是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 则． 故答案为：. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由等差中项性质可求，又依据等差数列的前n项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由有，而 ∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式 即可得 故答案为：1 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n项和公式、通项公式求公差 14. 若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到的表达式，通过构造函数，再利用导数的性质进行求解即可. 【详解】设是曲线上一点，由，因此过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，即， 设是曲线上一点， 由，所以过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而， 即，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有： ，因为，所以 设函数，， 因为，所以，所以函数是减函数， ，当时，，因此， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义和构造函数是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，， 由已知得，，平面 又平面BDE，， 又，，平面 （2） . 【解析】 【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果． 【详解】（1）略 2在图2中，，，，即面DEFC， 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE， 由题意得，，由勾股定理可得，则，， 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ． 设平面ACD的一个法向量为， 由得,取得， 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为， ． 所以 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 16. 在三角形中，角的对边分别为，已知. （1）若三角形的面积为，且，求； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合正弦定理边角互化可得，然后由三角形面积公式可得答案； （2）因，设，则，然后由余弦定理用两种方式表示，据此可得答案. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得 即 因为所以，即 又，即， 又，所以 则 【小问2详解】 因为，设，则 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 所以，则. 17. 中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体､预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机构为了解草药A对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下： 未患病 患病 合计 服用草药 48 12 60 未服用草药 22 18 40 合计 70 30 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效； （2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有效 （2） 【解析】 【分析】（1）由列联表中数据求得的值，再与临界值表对照下结论； （2）分别求得患者未服用草药A和已服用草药A”的概率，利用全概率公式求解. 【小问1详解】 解：由列联表中数据得：， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 即认为草药对预防该疾病有效； 【小问2详解】 设事件M表示“草药B的治疗有效”，事件表示“患者未服用草药A”，事件表示“患者已服用草药A”， 则， ， 所以由全概率公式得：， . 18. 已知圆与椭圆相交于点，且椭圆的离心率为 （1）求r的值和椭圆C的方程； （2）过M点的直线l交圆O和椭圆C分别于两点. ①若，求直线l的方程； ②设直线MA的斜率为k，直线NA的斜率为，过M点斜率为的直线交椭圆C于异于M的P点，若，则直线PB是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①，②过定点， 【解析】 【分析】（1）通过公共点求出，即可得到椭圆的方程 （2）①设出直线的方程，求出与椭圆和圆的交点坐标，表达出和，通过两向量的关系即可求出直线l的方程 ②表达出两点的坐标，设出直线的方程，通过斜率之间的关系解方程，得出直线的方程，即可得出过的定点. 【小问1详解】 由圆，与椭圆相交于点， 所以，又离心率为且，所以， 所以椭圆， 【小问2详解】 ①因为过点的直线交圆和椭圆分别于两点， 所以直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 由，得，则可得， 同理，由，解得， 又点，则，， 因为，则， 因为，所以，即直线的方程为 ②过定点，证明如下 根据题意可知，则，又由可得， 由①知，同理得， 由题意，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，且是方程的两个根， 即是的两个根，所以， 则设直线的方程为， 所以，直线过定点 19. 已知函数，其中． （1）若是偶函数，求； （2）当时，讨论在上的零点个数； （3）已知，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在有两个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质建立等式，求出； （2）代入，得到，求导得，令后再求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）分与两种情况讨论，结合三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以. 即，， 所以， 所以，所以，又，所以. 【小问2详解】 当时，，，可得， 令，则. 当时，，所以， 当时，，所以在单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. 【小问3详解】 当时， 若时，，所以， 若时，若，则成立； 只需考虑，此时令， 则，在递增， 又，， 所以存在，使得， 可得， 若，则，在递减； 若，则，在上递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第二学期高三第四次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内． 2．选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 ． 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（ ） A. 两组数据的平均数都是6分 B. 两组数据的中位数都是6分 C. 两组数据的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 5. 在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 6. 若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的各项系数之和为4096 B. 展开式中含项的系数为45 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第6项的系数最大 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 11. 数列 满足 ，且 ，数列的前 项和为 ，从 的前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列的前 项积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为___________． 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则_________. 14. 若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 16. 在三角形中，角的对边分别为，已知. （1）若三角形的面积为，且，求； （2）若，且，求. 17. 中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体､预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机构为了解草药A对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下： 未患病 患病 合计 服用草药 48 12 60 未服用草药 22 18 40 合计 70 30 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效； （2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知圆与椭圆相交于点，且椭圆的离心率为 （1）求r的值和椭圆C的方程； （2）过M点的直线l交圆O和椭圆C分别于两点. ①若，求直线l的方程； ②设直线MA的斜率为k，直线NA的斜率为，过M点斜率为的直线交椭圆C于异于M的P点，若，则直线PB是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由. 19. 已知函数，其中． （1）若是偶函数，求； （2）当时，讨论在上的零点个数； （3）已知，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $