精品解析：2025年青海省海东市中考二模数学试卷

海东市2024—2025学年九年级模拟考试数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）. 1. 在实数中，最小的数是（ ） A B. C. 0 D. 3 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为边的三等分点，为边的三等分点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5. 图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一把两边都带有刻度直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度−时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（ ） A. 冰的整个熔化过程持续了 B. 第时，冰仍在熔化，处于固液共存状态 C. 由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D. 由图像可知，冰的熔点是 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 的绝对值是______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是___________． 11. 如图是一个正八边形，连接，则的度数为_____． 12. 如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 13. 不等式组的最小整数解为______________． 14. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 15. 如图，点在上，，垂足为，若．则为_______． 16. 如图1是小区围墙上花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中只能在中选一个使原式有意义数代入求值． 19. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点． （1）求的值和点的坐标； （2）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 20. 小亮想利用刚学过的测量知识来测量校园的一棵树的高度（如图），由于护栏的保护不能直接到达树底部，于是他设计出以下方案来计算树的高度．如图，小亮在处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点），然后沿射线方向后退0.8米到点处，此时从镜子中恰好看到树梢，然后小亮在原地利用测角仪从点处测得树顶的仰角为，已知小亮的眼睛到地面的高度是米，求树的高度．（参考数据：，，） 21. （1）解方程：； （2）若在平面直角坐标系中，点的横坐标与纵坐标分别为（1）中方程的两个根，且点在第二象限，求点坐标，及点到坐标原点的距离． 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，的延长线与的切线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 某校为了解学生体质健康情况，随机抽取，两组学生（每组人）的体质测试成绩（满分分），制作成如下统计图表： 组别 平均数 众数 中位数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）由图表信息得：______，______，______； （2）由图表信息得：______（选填“”“”或“”）； （3）结合以上图表的统计量，请你对两组测试成绩进行评价，并说明理由（写出一条即可）. 24. 如图1是某公园内的一座拱桥，如图2是其桥拱的截面示意图，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只高为，宽为的打捞船径直向桥驶来，请问这只船能否通过这座桥，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 25. 问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，点是内任意一点，连接，．证明：； 深入探究 （2）如图2，在等腰直角和等腰直角中，，连接，．说明与的数量关系，并求出与所夹锐角的度数； 方法应用 （3）如图3，在等腰直角中，，是的中位线，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．当点，，在同一直线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海东市2024—2025学年九年级模拟考试数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）. 1. 在实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数． 【详解】解：∵-3＜-1＜0＜3， ∴最小的是-3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，整式的乘法，幂的乘方，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算积的乘方，然后再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 故选：C． 4. 如图，在中，为边的三等分点，为边的三等分点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、平行的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得、，再证明 先证明可得，易得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵为边的三等分点，为边的三等分点， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即． 故选：A． 5. 图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像， 分和两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一，二，三象限，正比例函数经过第二，四象限； 当时，一次函数的图像经过第二，三，四象限，正比例函数经过第一，三象限， 所以C符合题意． 故选：C． 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 7. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的倍，且乘公交车平均每小时走x千米， ∴电动汽车的平均速度是千米/小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 8. 小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度−时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（ ） A. 冰的整个熔化过程持续了 B. 第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态 C. 由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D. 由图像可知，冰的熔点是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像，从函数图像中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、冰的整个熔化过程持续了；原说法正确，不符合题意； B、第时，冰已经全部熔化，处于液体状态；原说法错误，符合题意； C、由图像可知，冰在第时全部熔化成水；原说法正确，不符合题意； D、由图像可知，冰的熔点是；原说法正确，不符合题意； 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 的绝对值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反，的绝对值是0．直接利用绝对值的性质得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了6，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：∵平移后对应点C的坐标为， ∴点的横坐标加上了6，纵坐标加1， ∵， ∴点坐标为， 即， 故答案为：． 11. 如图是一个正八边形，连接，则的度数为_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆及圆周角性质，熟练掌握正多边形与圆及圆周角性质是解题的关键．作正八边形的外接圆，连接，先求出正八边形每条边所对的圆心角度数为，可得，再由圆周角性质可得出答案． 【详解】解：如图，作正八边形的外接圆，连接， ∵正八边形每条边所对的圆心角度数为， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 不等式组的最小整数解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解和解一元一次不等式组，解题的关键在于求出不等式组的解集． 先解不等式组求出其解集，再判定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ∴， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 14. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 15. 如图，点在上，，垂足为，若．则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．利用“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得到，结合垂直关系，即可求出答案． 【详解】解：∵圆心角和圆周角所对的弧是，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 16. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中只能在中选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后从所给数中选一个使分式有意义的数代入求值． 【详解】解： ， ∵时分式无意义， ∴， ∴原式． 19. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点． （1）求的值和点的坐标； （2）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，求反比例函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点在反比例函数和一次函数图象上，得出，，即可得到反比例函数解析式为，一次函数的解析式是，联立联立，即可求出点的坐标； （2）运用数形结合思想，根据已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，且点B的坐标是，点，即可作答． 【小问1详解】 解：点在反比例函数和一次函数图象上， ，， 解得，， 反比例函数解析式为，一次函数的解析式是． 联立， 解得：或， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：由图象得，不等式的解集是或． 20. 小亮想利用刚学过的测量知识来测量校园的一棵树的高度（如图），由于护栏的保护不能直接到达树底部，于是他设计出以下方案来计算树的高度．如图，小亮在处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点），然后沿射线方向后退0.8米到点处，此时从镜子中恰好看到树梢，然后小亮在原地利用测角仪从点处测得树顶的仰角为，已知小亮的眼睛到地面的高度是米，求树的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点数形结合是解题的关键．先证明，得到，推出，过点作，垂足为，在，，利用，算得答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， 如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， ， ， ． ． （米）， 答：树的高度约为米． 21. （1）解方程：； （2）若在平面直角坐标系中，点的横坐标与纵坐标分别为（1）中方程的两个根，且点在第二象限，求点坐标，及点到坐标原点的距离． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，坐标系中两点距离计算公式，正确求出方程的两个解是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据（1）所求结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到点A坐标，再根据两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：（1） 移项得， 配方得， 整理得， 直接开方， 解得，； （2）因为第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正， 所以点的坐标为 ∴点到坐标原点的距离为． 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，的延长线与的切线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键． （1）由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，再由圆周角定理求解； （2）利用（1）的结论和切线的性质，解直角三角形的相关知识来求解． 【小问1详解】 证明：是的切线， ． 是直径， ， ， ， ． ， ； 【小问2详解】 解：， ． 是的切线， ，． ， ， ． 23. 某校为了解学生体质健康情况，随机抽取，两组学生（每组人）的体质测试成绩（满分分），制作成如下统计图表： 组别 平均数 众数 中位数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）由图表信息得：______，______，______； （2）由图表信息得：______（选填“”“”或“”）； （3）结合以上图表的统计量，请你对两组测试成绩进行评价，并说明理由（写出一条即可）. 【答案】（1），，； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、众数、中位数、方差． 根据算术平均数的定义计算出组数据的平均数即可；把组学生的成绩从小到大排列，中间的一个数据就是组数据的中位数；组学生的成绩出现次数最多的是，所以组数据的众数是； 由折线统计图可知由折线图可知，组成绩波动明显大于组成绩波动，方差表示数据的波动情况，方差越小，波动越小，数据越稳定，所以； 因为组学生体测成绩和组学生体测成绩的平均数相同，但是组学生体测成绩的方差小于组学生体测成绩的方差，故组学生体测成绩较为稳定． 【小问1详解】 解：， ； 组学生的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，位于中间的数据为， ； 由折线统计图可知：组学生的成绩出现次数最多的是， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：方差表示数据的波动情况，方差越小，波动越小，数据越稳定， 由折线图可知，组成绩波动明显大于组成绩波动， ； 故答案为：； 小问3详解】 解：组学生体测成绩较为稳定，理由如下： 组学生体测成绩和组学生体测成绩的平均数相同，但是组学生体测成绩的方差小于组学生体测成绩的方差，故组学生体测成绩较为稳定．（合理即可） 24. 如图1是某公园内的一座拱桥，如图2是其桥拱的截面示意图，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只高为，宽为的打捞船径直向桥驶来，请问这只船能否通过这座桥，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2）这只船无法通过，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出a的值即可； （2）时，，求出解，再得，即可得出结论． 小问1详解】 解：由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：时，， 解得：，， ， 这只船无法通过． 25. 问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，点是内任意一点，连接，．证明：； 深入探究 （2）如图2，在等腰直角和等腰直角中，，连接，．说明与的数量关系，并求出与所夹锐角的度数； 方法应用 （3）如图3，在等腰直角中，，是的中位线，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．当点，，在同一直线上时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；（3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）如图，在上取一点，使点，，在同一直线上，设交于点，证出点为的中点，结合旋转证明，设，则，解直角三角形求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：在等边和等边中， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：；直线与直线相交所夹锐角的度数为； 理由如下： 如图，设交于点G，交于点， 在等腰直角和等腰直角中，， ，，即， ， ， ，， ， ， 与相交所夹锐角的度数为； （3）如图，在上取一点，使点，，在同一直线上， 设交于点， 在等腰直角中，，是中位线， ，， ∴， 点为中点， 又绕点逆时针旋转得到，且点C，P，D三点共线， ， ∴，， ， ， ， 设，则， ，， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$