第一章全等三角形的判定与性质专题：常见的全等模型（全等常见的辅助线）2024-2025学年苏科版（2012）数学八年级上册

初中数学 全等三角形 常见的全等模型 (常见辅助线) 常见的全等模型 (全等三角形常见的辅助线) 【目录】 【模型1 倍长中线(类中线)构造全等】 1 【模型2 截长补短构造全等】 4 【模型3 半角旋转构造全等】 6 【模型4 手拉手模型】 10 【模型5 一线三等角模型(K字型)】 13 【参考答案】 16 【模型1 倍长中线(类中线)构造全等】 ( 【 解题技巧 】 当题目中出现中点或中线时,可以考虑延长中线变为原来的两倍,进而构造全等三角形,然后进行导角和导边,将原来没有关联的条件关联起来。 如图:延长 AD 至点 E ,使得 AD = DE ,链接 CE . 如图:延长 AD 至点 E ,使得 AD = DE ,链接 CE ) 1.对于“全等图形”的描述,下列说法正确的是( ). 【例题1】如图,AD是 ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,则BE+CF与EF的大小关系判断正确的是( ) A.BE+CF<EF B.BE+CF=EF C.BE+CF>EF D.无法确定 【例题2】如图,AD是 ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接CE. (1)证明: ABD≌ ECD; (2)若AB=8,AC=4,设AD=x,可得x的取值范围是 . 【变式训练1】如图,CB是 AEC的中线,CD是 ABC的中线,且AB=AC.求证:①CE=2CD;②CB平分∠DCE. 【变式训练2】如图,在 ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F. 求证:∠AEF=∠EAF. 【变式训练3】如图,在 ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.求证:AD为 ABC的角平分线. 【变式训练4】【观察发现】如图①, ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围. 小明的解法如下:延长AD到点E,使DE=AD,连接CE. 在 ABD与 ECD中 ∴ ABD≌ ECD(SAS) ∴AB= . 又∵在 AEC中EC﹣AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5, ∴ <AE< . 又∵AE=2AD. ∴ <AD< . 【探索应用】如图②,ABCD,AB=25,CD=8,点E为BC的中点,∠DFE=∠BAE,求DF的长为 .(直接写答案) 【应用拓展】如图③,∠BAC=60 ,∠CDE=120 ,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点,求证:AP⊥DP. 【变式训练5】数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在 ABC中,AB=4,AC=8,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围. 【方法探索】(1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图1,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.根据SAS可以判定 ADC≌ EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB、AC、2AD集中在 ABE中.利用三角形三边的关系,即可得出中线AD的取值范围是 ; 【问题解决】(2)由第(1)问方法的启发,请解决下面问题:如图2,在 ABC中,D是BC边上的一点,AE是 ABD的中线,CD=AB,∠BDA=∠BAD,试说明:AC=2AE; 【问题拓展】(3)如图3,点D是BC边上的一点,连接AD,过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,若AD⊥EF,求证:EF=2AD且AD为 ABC的中线. 【模型2 截长补短构造全等】 ( 【 解题技巧 】 截长:例如 a = b + c ,将线段 a 截成两段,一段等于 b ,再证明另一段等于 c 。 补短:例如 a = b + c ,通过延长或者旋转等方法,把 b 和 c 拼成一条线段,再证明和 a 相等。 截长法:在 AC 上截取 AE = AB ,链接 DE 补短法:延长 AB 至点 F ,使得 AF 等于 AC ,连接 DF ) 【题型2 利用全等的性质求度数】 【例题1】如图,在中,,于D,求证:. 【例题2】如图,在 ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C. 【变式训练1】如图,在 ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,过A作AD垂线交CB延长于点E,则下列结论:①AC=AB+BD;②∠E=(∠ABC-∠C);③BE=AB+AC;④AE=2AC,其中正确的结论是 (填写序号). 【变式训练2】如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠B+∠D=180 ,求证:AE=AD+BE. 【变式训练3】如图,在 ABC中,∠B=60 , ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证:AE+CE=AC. 【变式训练4】如图,是等边三角形,是顶角的等腰三角形,以D为顶点作一个角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,求证:. 【变式训练5】正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF=45 ,请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系? 【模型3 半角旋转构造全等】 ( 【 解题技巧 】 当题目中出现过某个角的顶点引两条射线,使得这两条射线的夹角为这个角的一半。中间的 “ 半角 ” 等于旁边两个小角之和,通过旋转变换,将两个小角拼成和 “ 半角 ” 相等的角,构造全等三角形。 将三角形 A DF 绕点 A 顺 时针旋转90 , A D 与 A B 重合, F 点旋转至点G。 ) 【例题1】如图,在 Rt ABC中,AB=AC,D,E是斜边 BC上两点,且∠DAE=45 .若BE=4,CD=3,则AB的长为 。 【例题2】如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF于点H.若EF=BE+DF,那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD;③∠EAF=45 ;④S EAF=S ABE+S ADF;⑤ CEF的周长为2.其中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练1】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90 ,M,N分别是BC上的两点,若BM=3,MN=5,NC=4,则∠MAN的度数为 . 【变式训练2】如图,在 ABC中,∠BAC=120 ,AB=AC,点M、N在边BC上,且∠MAN=60 ,若BM=2,CN=4,则MN的长为 . 【变式训练3】如图,已知在正方形ABCD中,∠MAN=45 ,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N. (1)求证:BM+DN=MN; (2)作AH⊥MN于点H.求证:AH=AB. 【变式训练4】(1)如图1,在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC,点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点,求证:AE=CF; (2)如图2,在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC,点D为BC的中点,∠EDF=90 ,那么BE+CF=EF是否成立?证明你的猜想; (3)如图3,边长为4的等边 ABC外有一点D,∠BDC=120 ,BD=CD,E、F分别是边AB、AC的点,满足∠EDF=60 ,求 AEF的周长. 【变式训练5】我们可以通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可以达到解一题知一类的目的,下面是一个案例: (1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45 ,连接EF,求证:EF=BE+DF,试说明理由. 【思路梳理】 ∵AB=AD ∴把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合. ∵∠ADC=∠B=90 ∴∠FDG=180 ,点F、D、G共线. 根据 ,易证 AFE≌ ,得EF=BE+DF. 请根据以上思路,写出完整证明过程. (2)【类比引申】 如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90 ,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45 ,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 时,仍有EF=BE+DF,试说明理由. (3)【联想拓展】 如图3,在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45 ,若BD=1,EC=2,求DE的长. 【模型4 手拉手模型】 ( 【 解题技巧 】 当题目中出现两个等腰三角形(等边三角形),且有公共顶点,公共顶点的两个顶角相等时,可以添加辅助线构造全等三角形。 如图: AO = BO , CO = DO ,且有公共点 O ,连接 AC , BD 。 ) 【例题1】在 ABC中,AB=AC,点D是线段BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作 ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.①BD=CE;②当∠BAC=90 时EC⊥BC;③AC平分∠BAE;④无论∠BAC怎样变化,始终存在∠BCE+∠BAC=180 ,其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【例题2】如图,在直线AB的同侧作 ABD和 BCE, ABD和 BCE都是等边三角形,连接AE、CD,二者交点为H.求证: (1) ABE≌ DBC; (2)AE=DC; (3)∠DHA=60 ; (4) AGB≌ DFB; (5) EGB≌ CFB; (6)连接GF,则GF∥AC; (7)连接HB,则HB平分∠AHC. 【变式训练1】如图,,,,,与交于点F. (1)求证:; (2)求的度数. 【变式训练2】某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时,把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC. (1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(说明:结论中不得含有未标识的字母); (2)试说明:DC与BE的位置关系. 【变式训练3】如图,在 ABC中,AB=AC,D为线段BC上一动点(不与点B、C重合),连接AD,作∠DAE=∠BAC,且AD=AE,连接CE. (1)如图1,当CE∥AB时,若∠BAD=35 ,则∠DEC 度; (2)如图2,设∠BAC= (90 < <180 ),在点D运动过程中,当DE⊥BC时,∠DEC= .(用含 的式子表示) 【变式训练4】综合与实践:数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地. (1)发现问题:如图1,在 ABC和中,,,连接,延长交于点D.则与的数量关系: , ; (2)类比探究:如图2,在 ABC和中,,连接,延长交于点D.请猜想与的数量关系及的度数,并说明理由. 【变式训练5】在 ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作 ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90 ,则∠BCE= 度; (2)设∠BAC= ,∠BCE= . ①如图2,当点D在线段BC上移动,则 , 之间有怎样的数量关系?请说明理由; ②当点D在直线BC上移动,画图并探究 , 之间有怎样的数量关系? 【模型5 一线三等角模型(K字型)】 ( 【 解题技巧 】 当题目图中出现 “ 一线二等角 ” 的时候,可通过添加辅助线,构建 “ 一线三等角 ” 模型,构造全等三角形。 同侧一线三等角:点 P 在线段 AB 上, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3,且 AP = BD (或 AC = BP 或 CP = PD ) 异侧一线三等角:点 P 在线段 AB 上, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3,且 AP = BD (或 AC = BP 或 CP = PD ) ) 【例题1】如图,在 ABC中,,,点是外部一点,连结,作,,垂足分别为点, (1)求证:; (2)已知,,求的长. 【例题2】在 ABC中,,,直线经过点C,且于D,于E. (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:,,的关系; (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由. 【变式训练1】如图,在 ABC中,∠ACB为钝角,把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90 得AD,把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90 得BE,作DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,若AB=5,EN=2,则DM= . 【变式训练2】如图,∠C=90 ,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交DE于F. (1)求证:∠A=∠EBF; (2)求证:DF=EF. 【变式训练3】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=,以D为旋转中心,将腰DC绕点D逆时针旋转90 至DE. (1)当=45 时,求 EAD的面积; (2)当=30 时,求 EAD的面积; (3)当0 <<90 ,猜想 EAD的面积与大小有无关系.若有关,写出 EAD的面积S与的关系式;若无关,请证明你的结论. 【变式训练4】(1)教材呈现:人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题: “如图1,∠ACB=90 ,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.”请直接写出此题的答案:BE的长为_cm; (2)类比探究:如图2,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是 ABE、 CAF的外角,已知:AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:CF+EF=BE; (3)拓展应用:如图3,在 ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若 ABC的面积为27,则 ABE与 CDF的面积之和为? 【变式训练5】三个等角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角,若为直角,则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件,利用全等三角形解决问题. (1)已知:如图1,在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE. (2)如图2,将(1)中的条件改为:在 ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3)如图3,将(1)中的条件改为:AB=AC,A,E,D三点都在直线m上,且有∠BDF=∠DEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. 【参考答案】 【模型1 倍长中线(类中线)构造全等】 例题1 【答案】C. 【详解】解:延长ED至P,使DP=DE,连接FP,CP, ∵AD是 ABC的中线, ∴BD=CD, 在 BDE和 CDP中, , ∴ BDE≌ CDP(SAS), ∴BE=CP, ∵DE⊥DF,DE=DP, ∴EF=FP, 在 CFP中,CP+CF=BE+CF>FP=EF. 故选:C. 例题2 【答案】(1)见详解;(2)2<x<6. 【详解】(1)证明:∵AD是 ABC的中线, ∴BD=CD, 在 ABD和 ECD中, , ∴ ABD≌ ECD(SAS); (2)解:∵ ABD≌ ECD, ∴CE=AB=8, ∵CE﹣AC<AE<AC+CE, ∴8﹣4<2x<8+4, ∴2<x<6, 故答案为:2<x<6. 变式 训练1 【答案】见详解; 证明:如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF ∴CF=2CD ∵CD是 ABC的中线 ∴BD=AD 在 BDF和 ADC中 ∴ BDF≌ ADC(SAS) ∴BF=AC,∠1=∠F ∵CB是 AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180 ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在 CBE和 CBF中 ∴ CBE≌ CBF(SAS) ∴CE=CF,∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 变式 训练2 【答案】见详解; 证明:如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM ∵D是BC边的中点 ∴BD=CD 在 ADC和 MDB中[ ∴ ADC≌ MDB(SAS) ∴∠1=∠M,AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com] ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 变式 训练3 【答案】见详解; 证明:如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在 CFE和 BME中 ∴ CFE≌ BME(SAS) ∴CF=BM,∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F,∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即AD为 ABC的角平分线 变式 训练4 【答案】观察发现:EC,2,12,1,6;探索应用:17;应用拓展:见解析 【详解】观察发现 解:如图①,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE, 在 ABD与 ECD中, , ∴ ABD≌ ECD(SAS), ∴AB=EC, 在 AEC中,EC-AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5, ∴2<AE<12. 又∵AE=2AD, ∴1<AD<6, 故答案为:EC,2,12,1,6; 探索应用 解:如图2,延长AE,CD交于H, ∵点E是BC的中点, ∴BE=CE, ∵CD∥AB, ∴∠ABE=∠ECH,∠H=∠BAE, ∴ ABE≌ HCE(AAS), ∴AB=CH=25, ∴DH=CH-CD=17, ∵∠DFE=∠BAE, ∴∠H=∠DFE, ∴DF=DH=17, 故答案为:17; 应用拓展 证明:如图3,延长AP到点F,使PF=AP,连接DF,EF,AD, 在 BPA与 EPF中, , ∴ BPA≌ EPF(SAS), ∴AB=FE,∠PBA=∠PEF, ∵AC=BC, ∴AC=FE, 在四边形BADE中,∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360 , ∵∠BAC=60 ,∠CDE=120 , ∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180 . ∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180 , ∴∠ACD=∠DEB+∠EBA, ∴∠ACD=∠FED, 在 ACD与 FED中, , ∴ ACD≌ FED(SAS), ∴AD=FD, ∵AP=FP, ∴AP⊥DP. 变式 训练5 【答案】(1)2<AD<6;(2)见详解;(3)见详解. 【详解】(1)解:在 ABE中,AB=4,BE=AC=8,由三角形三边关系可得:AE﹣AB=4<AE<AB+BE=12,即AE到取值范围为4<AE<12, ∵, ∴AD的取值范围为2<AD<6; 故答案为:2<AD<6; (2)证明:如图2,延长AE至点F,使得EF=AE,连接DF,则AF=EF+AE=2AE, ∵E是BD中点, ∴DE=BE, 在 EDF和 EBA中, , ∴ EDF≌ EBA(SAS), ∴DF=AB=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB, ∵∠CDA=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,∠BDA=∠BAD, ∴∠ADC=∠ADF, 在 AFD和 ACD中, , ∴ AFD≌ ACD(SAS), ∴AC=AF, ∴AC=2AE; (3)证明:如图3,延长DA交EF于点P,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, 由(1)可知, BDM≌ CDA(SAS), ∴BM=AC,∠M=∠CAD, ∵AC=AF, ∴BM=AF, 由(2)可知,AC∥BM, ∴∠BAC+∠ABM=180 ,∠CAD=∠BMD, ∵AE⊥AB、AF⊥AC, ∴∠BAE=∠FAC=90 , ∴∠BAC+∠EAF=180 , ∴∠ABM=∠EAF, 在 ABM和 EAF中, , ∴ ABM≌ EAF(SAS), ∴AM=EF,∠BAM=∠E, ∵AD=DM, ∴AM=2AD, ∴EF=2AD, 在 ADC和 MDB中, , ∴ ADC≌ MDB(ASA), ∴CD=BD,即AD为 ABC的中线. 【模型2 截长补短构造全等】 例题1 【答案】见详解. 【详解】解法一:(截长)在CD上截取,连接AE, ∵,∴, ∴, ∴,, ∴,∴, ∴. 解法二:(补短)延长CB到F,使,连接AF, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴. 例题2 【答案】见详解. 【详解】解:在AC上取点E,使得AE=AB,连接DE, ∵AD平分∠CAB, ∴∠BAD=∠EAD, ∵AD=AD,AB=AE, ∴ ABD≌ AED(SAS), ∴BD=DE,∠B=∠AED, 又∵AC=AB+BD, ∴EC=BD=DE, ∴ EDC是等腰三角形, ∴∠C=∠EDC, ∴∠AED=∠C+∠EDC=2∠C, ∴∠B=2∠C. 变式 训练1 【答案】①②③ 【详解】解:①在AC上截取AF=AB,连接DF,如图1所示: ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2=∠BAC, 在 ADF和 ADB中,, ∴ ADF≌ ADB(SAS), ∴DF=BD,∠3=∠ABC, ∴∠ABC=2∠C,∠3=∠C+∠4, ∴2∠C=∠C+∠4, ∴∠C=∠4, ∴DF=CF, ∴CF=BD, ∴AC=AF+CF=AB+BD, 故结论①正确; ②∵EA⊥AD, ∴∠E=90 ﹣∠ADE, ∵∠ADE=∠C+∠2=∠C+∠BAC, ∴∠E=90 ﹣∠C-∠BAC, ∵∠BAC=180 ﹣∠ABC﹣∠C, ∴∠E=90 ﹣∠C-(180 ﹣∠ABC﹣∠C)=(∠ABC﹣∠C), 故结论②正确; ③取ED的中点H,连接AH,如图2所示: ∵EA⊥AD, ∴AH是Rt AED斜边上的中线, ∴AH=EH=HD, ∴∠1=∠E, ∴∠2=∠1+∠E=2∠E, ∵∠ABC=2∠C,∠E=(∠ABC﹣∠C), ∴∠E=(2∠C﹣∠C)=∠C, ∴∠C=2∠E, ∴∠2=∠C, ∴AH=AC=EH=HD, ∵AC=AB+BD, ∴HD=AB+BD, 即HB+BD=AB+BD, ∴HB=AB, ∴BE=HB+EH=AB+AC, 故结论③正确; ④在 AEH中,AH+EH>AE, ∵AH=EH=AC, ∴2AC>AE, 故结论④不正确, 综上所述:正确的结论是①②③. 故答案为:①②③. 变式 训练2 【答案】见详解. 【详解】:如图,在EA上取点F,使EF=BE,连接CF, ∵CE⊥AB ∴CF=CB ∠CFB=∠B ∵∠AFC+∠CFB=180 ,∠D+∠B=180 ∴∠D=∠AFC ∵AC平分∠BAD 即∠DAC=∠FAC 在 ACD和 ACF中 ∠D=∠AFC ∠DAC=∠FAC AC=AC ∴ACD≌ ACF(AAS) ∴AD=AF ∴AE=AF+EF=AD+BE 变式 训练3 【答案】见详解. 【详解】:由题意可得∠AOC=120 ∴∠AOE=∠DOC=180 -∠AOC=180 -120 =60 在AC上截取AF=AE,连接OF,如图 在 AOE和 AOF中, AE=AF ∠OAE=∠OAF OA=OA ∴ AOE≌ AOF(SAS) ∴∠AOE=∠AOF, ∴∠AOF=60 ∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60 又∠COD=60 , ∴∠COD=∠COF 同理可得: COD≌ COF(ASA) ∴CD=CF 又∵AF=AE ∴AC=AF+CF=AE+CD 即AE+CD=AC 变式 训练4 【答案】见详解. 【详解】:延长AC到E点,使CE=BM,连接DE,由题意可知 ,,,, , , , ,, , , , , . 变式 训练5 【答案】EF=BFDE.理由见详解. 【详解】:在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG 由四边形ABCD是正方形得 ADE=ABG=90 ,AD=AB 又DE=BG ∴ ADE ≌ ABG(SAS) ∴EAD=GAB,AE=AG 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90 =DAG+GAB=DAG+EAD=GAE ∴GAF=GAEEAF=90 45 =45 ∴GAF=EAF=45 又∵AG=AE,AF=AF ∴ EAF ≌ GAF(SAS) ∴EF=GF=BFBG=BFDE 【模型3 半角旋转构造全等】 例题1 【答案】; 【详解】如图,过点 B作 BC 的垂线,垂足为 B,并截取 BF=CD,连接 FE,AF. ∵∠FBE=90 ,FB=3,BE=4, ∴在Rt FBE中,FE =FB +BE =3 + 4 =5 , ∴FE=5. ∵Rt ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45 , ∴∠FBA = ∠FBC-∠ABC = 90 - 45 =45 . 在 AFB与 ADC中, BF=CD,∠ABF=∠ACD=45 , AB=AC, ∴ AFB≌ ADC(SAS), ∴∠2=∠3,AF=AD. 又∠1+∠EAD+∠2=90 ,∠DAE=45 , ∴∠1+∠2=45 , ∴∠FAE=∠1+∠3=45 , ∴∠FAE=∠DAE. 在 AFE与 ADE中,AF=AD, ∠FAE= ∠DAE,AE=AE, ∴ AFE≌ ADE(SAS), ∴FE=DE=5, ∴BC=BE+ED+DC=4+5+3=12. 又∵在 Rt ABC中,AB =BC=12 = 例题2 【答案】D; 【详解】解:如图:把 ABE绕点A逆时针旋转90度,得到 ADG,则 ABE≌ ADG,∠EAG=∠BAD=90 , ∴∠ABE=∠ADG=90 ,AE=AG,BE=DG, ∴∠FDG=∠FDA+∠ADG=90 +90 =180 , ∴F、D、G三点共线. ∵EF=BE+DF, ∴EF=DG+DF=GF. ∵在 AGF与 AEF中, , ∴ AGF≌ AEF(SSS), ∴∠GAF=∠EAF,∠1=∠2, ∵∠GAF+∠EAF=∠EAG=90 , ∴∠EAF=90 =45 ,故③正确; ∵∠1=∠2,AD⊥FG于D,AH⊥EF于H, ∴AD=AH, ∵AD=AB, ∴AH=AB, 又∵AH⊥EF于H,AB⊥BC于B, ∴AE平分∠BEF,故①正确; ∵AE平分∠BEF, ∴∠AEB=∠AEH, ∵∠AEB+∠BAE=90 ,∠AEH+∠HAE=90 , ∴∠BAE=∠HAE, 又∵EH⊥AH于H,EB⊥AB于B, ∴BE=HE, ∵BE=DG, ∴HE=DG, ∵EF=HE+FH,GF=DG+FD,EF=GF, ∴FH=FD,故②正确; ∵ AEF≌ AGF, ∴S EAF=S GAF. ∵ ABE≌ ADG, ∴S GAF=S ADG+S ADF=S ABE+S ADF, ∴S EAF=S ABE+S ADF,故④正确; ∵EF=HE+FH,BE=HE,FH=FD, ∴EF=BE+FD, ∴ CEF的周长=EF+EC+CF=BE+FD+EC+CF=BC+CD=2AB=2,故⑤正确. 故选:D. 变式 训练1 【答案】45 . 【详解】如图,将 ABM绕点A顺时针旋转 90 得到 ACP, 由旋转性质可知∠MAP=90, ACP≌ ABM, 则CP=BM=3,AC=AB, ∴∠ACP=∠B=∠ACB=45 , ∴∠BCP=90 . 连接PN,由勾股定理,得PN=5. ∵AM=AP,MN=PN=5,AN=AN, ∴ AMN≌ APN, 即∠MAN=∠PAN=-∠MAP=45 .故选B 变式 训练2 【答案】. 【详解】∵∠BAC=120 ,AB=AC, ∴ ABM绕点A逆时针旋转 120 至 APC,连接PN, ∴ ABM≌ APC, ∴∠B=∠ACP=30 ,PC=BM=2,∠BAM=∠CAP, ∴∠NCP=60 , ∴∠CPD=30 , ∵∠MAN=60 , ∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60 =∠MAN, ∵AM=AP,AN=AN, ∴ MAN≌ PAN ∴MN=PN, 过点P作BC的垂线,垂足为D, ∴MN=PN= 故答案为:. 变式 训练3 【答案】见详解. 【详解】:(1)如图,延长ND到E,使DE=BM, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=AB. 在 ADE和 ABM中, , ∴ ADE≌ ABM. ∴AE=AM,∠DAE=∠BAM. ∵∠MAN=45 , ∴∠BAM+∠NAD=45 , ∴∠MAN=∠EAN=45 . 在 AMN和 AEN中, , ∴ AMN≌ AEN. ∴MN=EN. ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN. (2)由(1)知, AMN≌ AEN, ∴ S AMN=S AEN, 如图所示, 即AH MN=AD EN. 又∵MN=EN, ∴AH=AD. 即 AH=AB. 变式 训练4 【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)8. 【详解】(1)证明:∵点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点, ∴ ∵AB=AC, ∴AE=CF; (2)解:BE+CF=EF不成立,理由如下: 延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图2所示. ∵D是BC的中点, ∴BD=CD, ∵∠FDC=∠MDB,FD=MD, ∴ BMD≌ CFD(SAS), ∴BM=CF, ∵∠EDF=90 ,DM=DF, ∴EM=EF, 在 BME中,由三角形的三边关系得: BE+BM>EM, ∴BE+CF>EF; (3)解:∵ ABC是边长为4的等边三角形, ∴AB=AC=BC=4,∠ABC=∠ACB=60 , ∵∠DBC=∠BCD=30 , ∴∠DBE=∠DCA=60 +30 =90 , ∵BD=CD,∠BDC=120 , 把 DBE绕点D顺时针旋转120 至 DCM,可使DB与DC重合,如图3, 由旋转得:DM=DE,∠CDM=∠BDE,CM=BE, ∠DCM=∠DBE=∠DCA=90 , ∴点F,C,M在同一条直线上, ∵∠EDF=60 =∠BDC, ∴∠BDE+∠CDF=60 , ∴∠CDM+∠CDF=60 , ∴∠MDF=∠EDF, ∵DE=DM,DF=DF, ∴ MDF≌ EDF(SAS), ∴EF=FM, ∴EF=CM+CF=BE+CF, ∴ AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=4+4=8. 变式 训练5 【答案】(1)SAS, AFG;(2)∠B+∠D=180 ,理由见详解;(3)见详解. 【详解】(1)证明:∵AB=AD, ∴把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合. ∵∠ADC=∠B=90 , ∴∠FDG=180 ,点F、D、G共线. 则∠DAG=∠BAE,AE=AG,BE=DG, ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90 ﹣45 =45 =∠EAF, 即∠EAF=∠FAG, 在 AFE和 AFG中, ∵AF=AF,∠EAF=∠FAG,AE=AG, ∴ AFE≌ AFG(SAS), ∴EF=FG=DG+DF=BE+DF, 故答案为:SAS; AFG; (2)EF=BE+DF,理由如下: 证明:∵AB=AD, ∴把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合.如图2所示: ∴∠BAE=∠DAG,BE=DG, ∵∠BAD=90 ,∠EAF=45 ∴∠BAE+∠DAF=45 ∴∠EAF=∠FAG ∵∠ADG+∠B=180 ∴∠FDG=180 ,点F、D、G共线. 在 EAF和 GAF中, ∵AF=AF,∠EAF=∠FAG,AE=AG, ∴ EAF≌ GAF(SAS), ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF, ∴EF=BE+DF; (3)解:将 ACE绕点A旋转到 ABF的位置,连接DF,如图3, 则∠FAB=∠CAE. ∵∠BAC=90 ,∠DAE=45 , ∴∠BAD+∠CAE=45 , 又∵∠FAB=∠CAE, ∴∠FAD=∠DAE=45 , 在 ADF和 ADE中, ∵AD=AD,∠FAD=∠DAE,AF=AE, ∴ ADF≌ ADE(SAS), ∴DF=DE,∠C=∠ABF=45 , ∴∠BDF=90 , ∴ BDF是直角三角形. ∴BD2+BF2=DF2, ∵BD=1,EC=2, ∴DE=. 【模型4 手拉手模型】 例题1 【答案】C. 【详解】解:①∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠DAC, ∴∠CAE=∠BAD, 在 ABD和 ACE中, AB=AC,∠CAE=∠BAD,AD=AE, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴BD=CE, 故①正确; ②当∠BAC=90 时, ∵AB=AC, ∴ ABC为等腰直角三角形, ∴∠B=∠ACB=45 , 同理可证: ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE=45 , ∴∠BAC=∠ACB+∠ACE=90 , 即EC⊥BC, 故②正确; ③由①可知:∠CAE=∠BAD, 因此当AC平分∠BAE时,则点D于点C重合,这与点D是线段BC上一点(不与B、C重合)相矛盾, 故③不正确; ④无论∠BAC怎样变化,总有 ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B, ∵∠BAC+∠ACB+∠B=180 , ∴∠BCE+∠BAC=180 , 故④正确; 综上所述:正确的有 ①②④, 故选:C. 例题2 【答案】见详解. 【详解】(1)证明:∵∠ABD=∠EBC=60 , ∴∠ABE=∠BCD, ∵BA=BD,BE=BC, ∴ ABE≌ DBC. (2)∵ ABE≌ DBC,∴AE=DC. (3)如图,∵ ABE≌ DBC, ∴∠1=∠2, ∵∠DBH=∠AGB, ∴∠DHA=∠4=60 . (4)如图,∵∠3=180 -∠4-∠CBE=60 , ∴∠4=∠3, ∵∠1=∠2,AB=DB, ∴ AGB≌ DFB. (5)同理(4)可证 EGB≌ CFB. (6)如图①所示:连接GF, 由(4)得, AGB≌ CFB. ∴BG=BF. 又∵∠5=60 , ∴ BGF是等边三角形, ∴∠3=60 , ∴∠3=∠4, ∴GF∥AC. (7)如图②所示: 过点B作BM⊥DC于M,过点B作BN⊥AE于点N. ∵ ABE≌ DBC, ∴S ABE=S DBC. ∴ AE BN= CD BM, ∵AE=CD, ∴BM=BN. ∴点B在∠AHC的平分线上. ∴HB平分∠AHC. 变式 训练1 【答案】(1)见详解;(2) 【详解】(1)证明:∵,, ∴, ∴, ∴, ∵ ∴ ACE≌ BCD(SAS), ∴. (2)设与交于点G. ∵ ACE≌ BCD(SAS) ∴, ∵, ∴, ∴. 变式 训练2 【答案】见解析; 【详解】解:(1) BAE≌ CAD, 理由如下:∵∠BAC=∠EAD=90 , ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD 在 BAE和 CAD中, , ∴ BAE≌ CAD(SAS); (2)DC⊥BE, 理由如下:∵ BAC为等腰直角三角形, ∴∠B=∠ACB=45 , ∵ BAE≌ CAD, ∴∠CAD=∠B=45 , ∴∠ACD=∠ACB+∠CAD=90 , ∴DC⊥BE. 变式 训练3 【答案】(1)=25;(2) ﹣90 . 【详解】解:(1)∵∠DAE=∠BAC, ∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE, ∵CE∥AB, ∴∠BAC=∠ACE, ∴∠BAC=∠B, ∴AC=BC, ∴ ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60 , ∴ DAE是等边三角形, ∴∠AED=60 , ∴∠DEC=180 ﹣35 ﹣60 ﹣60 =25 , 故答案为:25; (2)∵∠BAC= ,AB=AC, ∴∠B=∠ACB=(180 ﹣ )=90 -, ∵∠DAE=∠BAC, ∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE=90 -, ∴∠DCE=2(90 -)=180 ﹣ , ∵DE⊥BC, ∴∠CDE=90 , ∴∠DEC=90 ﹣∠DCE= ﹣90 . 故答案为: ﹣90 . 变式 训练4 【答案】(1);(2),理由见解析. 【详解】(1)解:如图1所示,设与交于点O, ∵, ∴, 即, 在 ABE和 ACF中, , ∴ ABE≌ ACF(SAS), ∴, ∵,, ∴. 故答案为:,30; (2), 理由如下:∵, ∴, 即, 在 ABE和 ACF中, , ∴ ABE≌ ACF(SAS), ∴, ∵, ∴, ∴ 变式 训练5 【答案】(1)90 ;(2)① + =180 ;② = . 【详解】解:(1)∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC. 即∠BAD=∠CAE. 在 ABD与 ACE中, , ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE. ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB, ∴∠BCE=∠B+∠ACB, 又∵∠BAC=90 ∴∠BCE=90 ; 故答案为:90; (2)① + =180 , 理由:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC. 即∠BAD=∠CAE. 在 ABD与 ACE中, , ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE. ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB. ∴∠B+∠ACB= , ∵ +∠B+∠ACB=180 , ∴ + =180 ; ②当点D在射线BC上时, + =180 ; 理由:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE, ∵在 ABD和 ACE中 , ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180 , ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180 , ∴ + =180 ; 当点D在射线BC的反向延长线上时, = . 理由:∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAB=∠EAC, ∵在 ADB和 AEC中, , ∴ ADB≌ AEC(SAS), ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB, ∴∠BAC=∠BCE, 即 = . 【模型5 一线三等角模型(K字型)】 例题1 【答案】(1)证明过程见详解;(2)DE的长为5. 【详解】(1)证明:∵, ∴, ∵,即, ∴, ∴, ∵, ∴,且, ∴ BCE≌ CAD(AAS); (2)解:由(1)可得, BCE≌ CAD, ∴,, 在Rt ACD中,, ∵, ∴DE的长为5. 例题2 【答案】(1),证明见解析;(2)不成立,,理由见解析. 【详解】(1)解:,理由如下: ∵,, ∴,, ∴, 在 ADC与 BEC中, ∵, ∴ ADC≌ BEC(AAS); ∴,, ∵, ∴; (2)解:∵于D,于E. ∴, ∴,. ∴. 在 ADC和 CEB中, ∵, ∴ ADC≌和 CEB(AAS). ∴,. ∴. 变式 训练1 【答案】3. 【详解】解:过点C作CF⊥AB于点F,如图所示: ∵旋转, ∴AD=AC,BE=BC, ∵DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,CF⊥AB于点F, ∴∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE=90 , ∴∠D+∠DAM=90 , ∵∠CAD=90 , ∴∠CAF+∠DAM=90 , ∴∠D=∠CAF, ∴在 DAM和 ACF中, , ∴ DAM≌ ACF(AAS), ∴DM=AF. 同理可证, BFC≌ ENB(AAS), ∴BF=EN=2, ∵AB=5, ∴AF=3, ∴DM=3. 故答案为:3. 变式 训练2 【答案】见详解. 【详解】证明:(1)∵BE⊥AB,BD⊥BC, ∴∠EBA=90 =∠C=∠DBF, ∴∠A+∠ABC=90 =∠ABC+∠EBF, ∴∠A=∠EBF; (2)如图,过点E作EH⊥直线CF于H, 在 ABC和 BEH中, , ∴ ABC≌ BEH(AAS), ∴EH=BC, ∵BD=BC, ∴EH=BD, 在 BFD和 HFE中, , ∴ BFD≌ HFE(AAS), ∴EF=DF. 变式 训练3 【答案】(1)1;(2)1;(3)面积始终为1,与无关. 【详解】过D作DG⊥BC于G,过E作EF⊥AD交AD延长线于F, ∵AD∥BC ∴∠GDF = 90 , ∵∠EDC =90 , ∴∠1 =∠2, 在 CGD和 EFD中, , ∴ CGD≌ EFD, ∴EF=CG, ∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3, ∴BG=AD=2, ∴CG=1, ∴EF=1, ∴S EAD=AD EF=1, ∴ EAD的面积与大小无关. 综上所述,时, EAD的面积都为1. 变式 训练4 【答案】(1)0.8;(2)见解析;(3)18 【详解】解:(1), , . , . 在 CEB和 ADC中, ∴ CEB≌ ADC(AAS), , ; 故答案为:0.8; (2)证明:, , , 在 ABE和 CAF中, ∴ ABE≌ CAF(ASA), , . (3)∵ ABC的面积为27,, ∴ ACD的面积是:, 由(2)中可知, ∴ ABE与 CDF的面积之和等于与的面积之和,即等于 ACD的面积,是18, 故答案为:18. 变式 训练5 【答案】见详解. 【详解】(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠BDA=∠CEA=90 , ∵∠BAC=90 , ∴∠BAD+∠CAE=90 , ∵∠BAD+∠ABD=90 , ∴∠CAE=∠ABD, 在 ADB和 CEA中, , ∴ ADB≌ CEA(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE; (2)解:成立. ∵∠BDA=∠BAC= , ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180 ﹣ , ∴∠CAE=∠ABD, 在 ADB和 CEA中, , ∴ ADB≌ CEA(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE; (3)解:DE=BD+CE不成立,DE=CE﹣BD成立,理由如下: ∵∠DEC=∠EAC+∠C,∠BAC=∠BAD+∠EAC,∠DEC=∠BAC, ∴∠BAD=∠C, ∵∠BDF=∠DEC, ∴∠BDA=∠AEC, 在 ADB和 CEA中, , ∴ ADB≌ CEA(AAS), ∴AD=CE,AE=BD, ∴CE=AD=AE+DE=BD+DE, ∴DE=CE﹣BD. ( 4 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$