专题09 反比例函数与常见几何模型压轴汇编（五大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题09 反比例函数与常见几何模型压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、定值三角形与定值矩形 1 类型二、平行线间定值几何图形 2 类型三、“重叠型”定值矩形/定值三角形 7 类型四、“喇叭三角形” 10 类型六五、中点模型 13 压轴能力测评（9题） 17 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 【模型4：“喇叭三角形”】 【方法点拨】 【模型5：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①▲ACF~▲BDF，且相似比为。本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 类型一、定值三角形与定值矩形 【典例1】如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式1-1】如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 【变式1-2】如图，点在反比例函数的图像的一支上，轴，轴，垂足分别为A、B，矩形的面积为2．求k的值． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为 ． 类型二、平行线间定值几何图形 【典例2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【变式2-1】如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 【变式2-2】如图，是反比例函数 图像上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点，点在轴上，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 类型三、“重叠型”定值矩形/定值三角形 【典例3】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 【变式3-2】如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作轴于点A，交反比例函数的图象于N点，连接，，若的面积为1，则k的值为 ． 【变式3-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【变式3-4】如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 类型四、“喇叭三角形” 【典例4】如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若，，则的值为 ． 【变式4-1】如图，点A，在反比例函数的图象上，连接．过点A作轴于点C，交于点D，若D为的中点，，则m的值为 ． 类型五、中点模型 【典例5】已知：如图，双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为6，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式5-1】如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ． 【变式5-3】如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 2．如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 3．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 二、填空题 4．反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 5．如图，的点在轴上，在轴上，点在某反比函数的图像上，已知的面积为5，则该反比例函数表达式为 . 6．如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ． 7．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D．若D为的中点，的面积为5，点B的坐标为，则m的值为 ．    8．点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若，则k的值为 ；若，则的值为 ． 9．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 反比例函数与常见几何模型压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、定值三角形与定值矩形 1 类型二、平行线间定值几何图形 2 类型三、“重叠型”定值矩形/定值三角形 7 类型四、“喇叭三角形” 10 类型六五、中点模型 13 压轴能力测评（9题） 17 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 【模型4：“喇叭三角形”】 【方法点拨】 【模型5：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①▲ACF~▲BDF，且相似比为。本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 类型一、定值三角形与定值矩形 【典例1】如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解． 【详解】解：由条件可知， 解得：， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键． 根据菱形的面积为20，，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，菱形的面积为20，， ， ， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， 故答案为： 【变式1-2】如图，点在反比例函数的图像的一支上，轴，轴，垂足分别为A、B，矩形的面积为2．求k的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是理解：过反比例函图象上的任意一点线两坐标轴作垂线，所围成的矩形的面积等于．首先根据反比例函数的比例系数的几何意义可得出，然后再根据反比例函数图象所在的位置即可得出的值． 【详解】解：点为在反比例函数的图象上的点，轴，轴，且矩形的面积为4， ， 又反比例函数的图象在第四象限， ． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标． 设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可； 【详解】设 ， ∵轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． 即， 化简得， ． ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 故答案为：4． 1 类型二、平行线间定值几何图形 【典例2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答． 【详解】解：如图，连接，，与y轴交于点M， ∵轴，点A双在曲线上，点B在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力．过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 故答案为：． 【变式2-2】如图，是反比例函数 图像上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点，点在轴上，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义得出是正确解答的关键． 根据反比例函数系数的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得，根据，求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，延长交轴于，则，， 轴， ， 即， ， ， ， 故选：B． 【变式2-3】如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答． 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值． 【详解】∵点P是反比例函数上的点 ∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为， ∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 故选：D． 类型三、“重叠型”定值矩形/定值三角形 【典例3】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据题意可得轴，由点在双曲线上，可求出，进而求出，最后根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 轴， 轴， 又点在双曲线上， ， 的面积为， ， 点在双曲线上， ， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【变式3-2】如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作轴于点A，交反比例函数的图象于N点，连接，，若的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义的应用，利用反比例函数k的几何意义表示出，，结合的面积为1，求出k的值即可． 【详解】解：∵轴，点M在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于N点， ∴，， ∵的面积为1，即， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴． 故答案为：12． 【变式3-4】如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 类型四、“喇叭三角形” 【典例4】如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键；利用，根据题意，即可求解 【详解】解：由题意，知和都是直角三角形， ， ， ， ， 由图，可知， 故答案为： 【变式4-1】如图，点A，在反比例函数的图象上，连接．过点A作轴于点C，交于点D，若D为的中点，，则m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，先根据求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入中，得， ∴， 故答案为：． 类型五、中点模型 【典例5】已知：如图，双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为6，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，过点作轴于点，结合反比例函数图象性质得到四边形的面积为6，设点的横坐标为，则纵坐标为，结合坐标中点的特点，得到点的横坐标和纵坐标，进而建立等式求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， 的面积为6，且与面积相等， 四边形的面积为6， 设点的横坐标为，则纵坐标为， 的中点为， 点的横坐标为，则纵坐标为， ， 解得， 故选：B． 【变式5-1】如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设点的坐标是，则点的坐标为，根据矩形的面积即可求得的值，把点的坐标代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标是，则点的坐标为， 矩形的面积为， ， ， 把点的坐标代入函数解析式，得， ， 故选：B． 【变式5-2】如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合问题， 先作，设点，结合的面积可表示，进而得出点的坐标，再根据两个点都在反比例函数的图象上得出等式，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点D，如图所示， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴设点． ∵的面积为9， ∴， 即， ∴点，． ∵点C是的中点， ∴点C的横坐标为， ∴． ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算，作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出点是的中点，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，则， ， 交双曲线于点， ， ， ， 点为的中点， ， 点是的中点， ， 函数的图象经过点，且轴，函数图象在第一象限， ， 故选：C． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，先根据反比例函数几何意义求出，再根据得到，最后根据求得，从而得到k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，轴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为7，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为7， ， ， 解得：． 故选：C． 3．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证（），得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解． 【详解】解：过点作于，过点作轴于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 4．反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．设的解析式为，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：设的解析式为， 由题意得， ， 解得． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 5．如图，的点在轴上，在轴上，点在某反比函数的图像上，已知的面积为5，则该反比例函数表达式为 . 【答案】 【分析】本题考查反比例函数和全等三角形的判定，熟练掌握反比例函数中面积和系数的关系是解题的关键，利用平行四边形证明，从而得到，进而得到反比例函数解析式． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式：， 故答案为：． 6．如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据即可求出k的值． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知： 的面积为：， ∵的面积为3， ∴的面积为：， 即：， 解得：， 故答案为：2． 7．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D．若D为的中点，的面积为5，点B的坐标为，则m的值为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，利用的面积转化为三角形的面积．应用的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解：为的中点，的面积为5， 的面积为10， ，是反比例函数图象上的两点， ，即， 由函数图象得：，即 ， 解得：． 故答案为：10． 8．点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若，则k的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 27 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，得到，结合阴影部分的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上， ∴， ∴， ∴当，则：， ∴； 当，则：， 则：； ∴； 故答案为：． 9．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何结合．根据题意过点作于点，设，，即可得到，再列出，得到，继而得到本题答案． 【详解】解：过点作于点，    设，， ∴，， ∵的面积等于9， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$