第04讲 证明三角形全等的五种基本模型-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第04讲 证明三角形全等的五种基本模型 【苏科版】 ·模块一 平移模型 ·模块二 轴对称模型 ·模块三 旋转模型 ·模块四 一线三等角模型 ·模块五 混合模型 ·模块六 课后作业 模块一 平移模型 【例1.1】（2023八年级·湖南长沙·期末）如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【例1.2】（2023八年级·重庆·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 【例1.3】（2023八年级·山西·期末）如图，已知在Rt△ABC中，，将Rt△ABC沿AC所在直线平移得到Rt△FDE，使平移的距离，连接BF，过点C作于点G，连接DG，EG． 求证：． 【变式1.1】（2023八年级·全国·单元测试）将沿直线向右平移个单位得到，若，，且，求． 【变式1.2】（2023八年级·全国·期末）已知，，将沿方向平移得到．如图，连接、，则__________（填“>”“<”或“=”），并证明． 【变式1.3】（2023八年级·全国·期末）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    模块二 轴对称模型 【例2.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，，；，求证：． 【例2.2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知于点于点交于点E． (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【例2.3】（2023八年级·山西太原·期末）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【变式2.1】（2023·云南昆明·八年级期末）如图，是的平分线，于E，于点F．求证：． 【变式2.2】（2023八年级·山西太原·期末）如图，点，在上，，，．试说明．    【变式2.3】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点D是的中点，于点E，于点F，且．求证：． 模块三 旋转模型 【例3.1】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：．    【例3.2】（2023·江苏南通·八年级期末）如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【例3.3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 【变式3.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，，过点在上方作线段，使，连接，，试说明．    【变式3.2】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 【变式3.3】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知：在等腰中，，把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点A，的对应点．    (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， ①如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； ②设，请直接用含的式子表示； (3)如图，若，请直接写出的度数． 模块四 一线三等角模型 【例4.1】（2023八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【例4.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【例4.3】（2023八年级·江苏盐城·期末）如图1，在中，．是经过点A的直线，于D，于E．    (1)求证：． (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：． 【变式4.1】（2023八年级·浙江温州·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【变式4.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 模块五 混合模型 【例5.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【例5.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 【例5.3】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，四边形中，平分，于点D，于点B．    (1)求证：． (2)连接，交于点E，求证：垂直平分． 【变式5.1】（2023·云南文山·八年级期末）如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，求证：． 【变式5.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，已知，于点D，于点E，，求证：． 【变式5.3】（2023八年级·江苏南京期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 模块六 课后作业 1．（2023八年级·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 2．（2023·吉林白山·八年级期末）如图，已知与相交于点，，，求证：． 3．（2023八年级·北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 4．（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知，，，求证：． 5．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 6．（2023八年级·湖北襄阳·期中）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD． 7．（2023·陕西咸阳·八年级期末）将 和 如图放置．已知 ，求证：    8．（2023八年级·四川广元·自主招生）如图，在等边三角形中，点在的延长线上，以为边在射线的右侧作等边三角形，连接，，求证：． 9．（2023·陕西宝鸡·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 10．（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：． 11．（2021·广西百色·八年级期末）如图，在△中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． （1）求证：△≌△； （2）若，且，求的值． 12．（2023·江苏南通·八年级期末）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 13．（2023八年级·广东汕头·期中）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论． 14．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 15．（2023八年级·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式1.2】（2023八年级·全国·期末）已知，，将沿方向平移得到．如图，连接、，则__________（填“>”“<”或“=”），并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】由沿方向平移得到，得到，，即可证明； 【详解】解：． 证明：由沿方向平移得到， 得，． 在和中，， ∴， ∴． 故答案是=． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确分析证明是解题的关键． 【变式1.3】（2023八年级·全国·期末）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 模块二 轴对称模型 【例2.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，，；，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，； ∴， ∴. 【例2.2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知于点于点交于点E． (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论. 【详解】（1）证明: 于点, 于点, ， 在与中， ， ， ； （2）由（1）知, ∴, ∴, ∵, ∴, 在与中, ， ∴, 在与中， ， ∴, 故图中的所有全等三角形有,,. 【例2.3】（2023八年级·山西太原·期末）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 【详解】解：（1）能完全重合． 理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式2.1】（2023·云南昆明·八年级期末）如图，是的平分线，于E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明与，再证明即可得到结论． 【详解】证明： 于E，于点F， ，             是的平分线， ， 在和中， ， ， ． 【变式2.2】（2023八年级·山西太原·期末）如图，点，在上，，，．试说明．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，再结合，，即可证明，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式2.3】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点D是的中点，于点E，于点F，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形全等是解本题的关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可 【详解】证明：为的中点， ， 于点，于点， ， 在与中， ， ， ． 模块三 旋转模型 【例3.1】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质先证明，进而证明，则可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【例3.2】（2023·江苏南通·八年级期末）如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 【例3.3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用互补的性质可得，据此证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，，过点在上方作线段，使，连接，，试说明．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先根据题意，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【变式3.2】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，，说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键． （1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可； （2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，说明如下， ∵由（1）得， ∴， ∵于点，于点， ∴． 【变式3.3】（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知：在等腰中，，把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点A，的对应点．    (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， ①如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； ②设，请直接用含的式子表示； (3)如图，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）由，，可得，根据把． 绕点逆时针旋转得到，可得，又平分，即得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得；设，同的方法可得； （3）在线段上取一点，使，连接，证明，得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【详解】（1）（1），， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）（2）设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：在线段上取一点，使，连接，如图： ，， ∴， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ．    【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 模块四 一线三等角模型 【例4.1】（2023八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 【例4.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【答案】16 【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 【例4.3】（2023八年级·江苏盐城·期末）如图1，在中，．是经过点A的直线，于D，于E．    (1)求证：． (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等推出，由此证明，即可得到结论； （2）根据同角的余角相等推出，由此证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明： ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理并进行推理论证． 【变式4.1】（2023八年级·浙江温州·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】36 【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【详解】解：由题意得，，，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 则两堵木墙之间的距离为， 故答案为：36． 【变式4.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得； （2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 由（1）同理可得， ∴， ∴； （3）存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 模块五 混合模型 【例5.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明， 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【例5.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定， 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ．                 ， ， ．                在和中， ，                     ． 【例5.3】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，四边形中，平分，于点D，于点B．    (1)求证：． (2)连接，交于点E，求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由垂直的定义得到，再由角平分的定义得到，据此证明，即可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，再证明，得到，，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【变式5.1】（2023·云南文山·八年级期末）如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定，根据题意得出，再由全等三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式5.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，已知，于点D，于点E，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，则． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式5.3】（2023八年级·江苏南京期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 模块六 课后作业 1．（2023八年级·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为20， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2023·吉林白山·八年级期末）如图，已知与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是灵活运用全等三角形的判定定理与性质．由平行线的性质可得，，利用即可判定，从而得． 【详解】证明：， ，， 在和中， ， ， ． 3．（2023八年级·北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 【答案】3.5 【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得，继而证明，得到，最后根据线段的和差解题． 【详解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°， 在与中，    ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 利用判定，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 5．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于， ∵平分，， ∴，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴在，中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明． 6．（2023八年级·湖北襄阳·期中）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD． 【答案】证明见解析 【分析】利用AAS证出△BAD≌△CAE，从而得出AB=AC，CE=BD=BC＋CD，根据等边三角形的判定定理可证△ABC为等边三角形，从而得出BC=AC，利用等量代换即可证出结论． 【详解】证明：∵∠1=∠2 ∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE ∴AB=AC，CE=BD=BC＋CD ∵∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形 ∴BC=AC ∴CE=AC+CD． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等边三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的判定及性质是解题关键． 7．（2023·陕西咸阳·八年级期末）将 和 如图放置．已知 ，求证：    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据证明即可得出结论 【详解】证明：∵， ∴， 又 ∴， ∴ 8．（2023八年级·四川广元·自主招生）如图，在等边三角形中，点在的延长线上，以为边在射线的右侧作等边三角形，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据△PAD和△ABC是等边三角形得到∠PAC=∠DAB，进而得到△PAC≌△DAB（SAS），即可求得结果． 【详解】证明：∵△PAD和△ABC是等边三角形， ∴AP=AD，AC=AB，∠PAD=∠BAC=60°． ∴∠PAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠PAC=∠DAB． ∴△PAC≌△DAB（SAS）． ∴CP=BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确利用等边三角形的性质是解题的关键． 9．（2023·陕西宝鸡·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．证明，，根据即可证明． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． ， ． 10．（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据平行线的性质得出，，根据中点的定义得出，即可利用判定． 【详解】证明：∵， ，， 点是的中点， ， 在与中， ， ． 11．（2021·广西百色·八年级期末）如图，在△中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． （1）求证：△≌△； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由中点的含义可得： 再结合已知条件利用证明△≌△即可得到答案； （2）由（1）可得，再由，结合勾股定理用的代数式表示 再利用正弦的含义可得答案． 【详解】证明：（1）证明：∵是的中点， ∴ ∵ ∴△≌△ （2）解：由（1）可知 ∵     ∴ 在Rt△AEF中， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，正弦的含义，掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·江苏南通·八年级期末）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由全等三角形的判定方法可得出结论； （2）证明，得出． 【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误； 故答案为：一； （2）解：， ． ， ． 即． ， 在和中， ， ∴， ． 13．（2023八年级·广东汕头·期中）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】BC＝DC+EC；BD2+CD2＝2AD2，证明见解析 【分析】问题：根据将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE和角之间的关系得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，即可得； 探索：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，即∠DCE＝90°，根据勾股定理得CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，根据AD＝AE即可得． 【详解】解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝EC+CD， 故答案为：BC＝DC+EC； 探索：， 证明：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝90°， ∴， 在Rt△ADE中，， 又∵AD＝AE， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 14．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 15．（2023八年级·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． （3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）仍然成立，理由如下， ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ； （3）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴与的面积之和为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$