中档大题30题强化训练-决胜2025年高考数学（新高考地区专用）

决胜2025高考数学中档大题30题强化训练 题组一、解三角形 1.在斜三角形中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴. ∵,∴. （2）依题意画图为： ∵ ∴， ∴，即为边上靠近的三等分点. ∵，∴，， ∵ ∴，， 设，则 法一： 在，中，由正弦定理， ， ， ∴，， ∴. 法二： ∵ ， ∴即， ∴， 在中，由余弦定理， ∴， 即 ,∴，，， ∴. 2.记的内角A，B，C的对边分别为．点D在上，且， （1）判断的形状； （2）若四边形满足，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）3 【解析】（1） ，解得， 又，所以，在和中， ，，两式相除得， 又，所以， 即，，所以为等腰直角三角形. （2） 由（1）知为等腰直角三角形，，， 又，所以， 又，所以是以AC为斜边的直角三角形， （当时取等）， ，又， 所以四边形面积的最大值为3. 3.在中，角所对的边分别为． （1）求； （2）若是边BC上一点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题设有即即. 因为，所以， 即， 所以， 又， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以 （2）设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 所以可得所以 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】（1）由及正弦定理得， 整理得，由余弦定理得， 因为，所以， 又，所以，则， 所以A，B，C成等差数列． （2）由（1）可知：及，， 得，即，解得， 在中，由正弦定理得， 中，由正弦定理得， 由得， 所以，即，所以， 设的面积为， 则， 即，又，解得， 所以BD的长为. 5.已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 题组二、空间向量与立体几何 6.已知正四棱柱中，E，F分别为，AB的中点，O为AC，BD的交点． （1）证明：平面平面OEF； （2）若，，G为CD中点，H为中点，如图，是以FG为直径的半圆弧，M为上任意一点（不包括F，G两点），求平面HMG与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）∵正四棱柱底面ABCD为正方形 ∴O为AC，BD中点， ∵E为中点 ∴ ∵平面OEF，平面OEF，∴平面OEF ∵O，F分别为AB，BD中点 ∴ 又 ∴ ∵平面OEF，平面OEF ∴平面OEF ∵，平面， ∴平面平面OEF. （2）∵F为AB中点，底面ABCD ∴ ∴ ∴， 由题意， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴底面ABCD 以O为原点，OG为y轴，OH为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则G（0，2，0）， 设则， ∴ 设平面HMG的一个法向量为 ∴ 取，则， ∴ 又平面的一个法向量是 设平面HMG与平面ABCD夹角为θ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴. 7.如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）在四棱锥中，求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】（1）在等腰梯形中，连，则四边形为菱形， 连交于，则， 在四棱锥中，且都在平面内， 平面，，则平面， 由平面，故； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为， 则，且，所以， 由平面平面，则平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离，距离为； （3）由（1）知平面且平面，所以平面平面， 平面平面，过在平面内作垂直于，垂足为， 平面，所以， 在中，，所以为中点，易知， 所以，而， 所以二面角的平面角为，大小为. 8.如图，直四棱柱中，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）因为， 所以，即， 又，则，，， 又在直四棱柱中，平面， 且平面， 所以， 又平面， 所以平面. （2）由题知，若，且， 所以， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 则，， 解得，， 取， 则， 令平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 9.如图，在直平行六面体中，点在棱上． （1）若平面，证明：； （2）若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为为直平行六面体， 所以为平行四边形，可得为的中点， 所以为的中点，即. （2）因为，所以平行四边形为菱形，所以， 由直平行六面体，可得平面，所以， 又，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，故， 因为，可得为等边三角形，设，则， 所以， 在中，由勾股定理可得，所以， 取的中点，连接，则， 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 又是平面的一个法向量， 因为平面与平面所成角的正弦值为，所以平面与平面所成角的余弦值为， 则，解得，所以． 10.如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点.底面. （1）求证：平面； （2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）连接， 平面，，， ，，， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，. 设，则. 为的中点，，又， ，，则， 又平面，平面 平面. （2）设的重心为，则， ， 平面，又平面， 又，， ，，即， 经检验，当时，在平面内的射影为的重心， 所以. 题组三、数列 11.在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】（1）因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. （2）. 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即取值范围是. 12.已知数列满足，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】（1） （2） （3）12182 【解析】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 13.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 14.已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 15.记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． 题组四、解析几何 16.已知双曲线C：（，）的离心率为2，、分别为双曲线的左、右焦点，到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）设过点的直线l与双曲线右支交于M，N两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）∵双曲线的离心率为2 ∴，即 又点到渐近线的距离为 ∴ ∵ ∴ ∴双曲线的方程为． （2）当直线l斜率存在时，设l方程为， 由题意得，则， 设，， 则，， 由，解得， ， 当直线l斜率不存在时，，，， ∴，（或，）， ∴ ， 综上，． 17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为为上两点，线段AB中点的横坐标为，当轴时，． （1）求的方程； （2）当AB不垂直轴时，设线段AB的中垂线与轴的交点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由题意知，离心率，可得，① 因为轴且线段AB中点的横坐标为， 所以直线AB的方程为， 因为，所以A，B的坐标分别为， 代入的方程，可得，② 联立①②解得， 所以的方程为 （2） 设，线段AB中点为，直线AB的斜率为， 因为，所以， 可得， 即，所以，可得， 因为线段AB的中垂线与轴的交点为，设， 所以，所以， 解得，所以 18.定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为. 【解析】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. 19.已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点． （1）若C的一条渐近线方程为，求C的方程； （2）连接并延长交C于点R，设点P在第一象限，若，求点P的坐标； 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）由双曲线，可得， 因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）①当时，双曲线的方程为， 根据双曲线的对称，可得， 所以，所以，所以， 设，则， 又由方程组，解得， 所以，可得， 20.已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】（1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. （2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. 题组五、导数及其应用 21.已知函数的图象在点处的切线与直线：垂直，记. （1）求实数的值； （2）证明：有两个极值点； 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）因为， 且曲线的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. （2）因为，所以， 所以. 令，， 令，，所以单调递增， 又因为，，所以，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 又因为，，， 所以，，使得， 此时有两个变号零点，所以有两个极值点. 22.已知函数. （1）设是的极值点，求在点处的切线方程； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， ，函数在上单调递增， 当时，；当时，，则是的极小值点，， ， 所以在点处的切线方程：. （2）不等式， 设，求导得，设，函数在上单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 23.已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】（1）当时，， 当时，，所以在上单调递增，所以无极值； 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以的极大值为， 综上可知，当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）设切点为，因为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 因为曲线有三条过点的切线， 所以关于的方程有3个解， 令，则有3个零点， 因为， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以，可得， 所以 24.已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 25.已知函数. （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， 所以， 所以在点处的切线方程为 （2）又， 参变分离得：， 令， 得， 令，， ， 在上单调递增， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 最小值为 所以， 即实数的取值范围是. 题组六、概率 26.某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图. （1）群主预告今天晚上6点将有2个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5元以上金额的红包的概率； （2）群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”， 规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望． 【答案】（1）0.8911； （2），. 【解析】（1）由题知，每个红包抢到5元以上金额的概率为，且2次红包相互独立， 由独立重复试验概率公式，至少一次抢到5元以上金额的概率为. （2）由题意，， 由，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，即， 定义为第轮群主不发红包，为第轮群主发红包， 故服从两点分布：， ，由已知， 则 . 27.某校依托AI技术搭建了智慧题库系统，形成了“A基础筑根—B应用提能—C创新选才”三层动态题库，设该题库中任意一道题被选到的可能性都相同，且A，B，C三层题量之比为． （1）现有3人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道作答，求这3人中至少有2人的选题来自B层的概率； （2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组系统从该题库中选取10道题，进行复赛．参赛选手将有机会回答A，B，C层题目各1题；A，B层题目答对得5分，C层题目答对得10分，答错得0分，选手可自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答，直到3题全部答完；若答错则比赛结束.例如：选手甲可自行按“”顺序答题，甲答对第一题得5分，并继续回答第二题且答错得0分，比赛结束，总分为5分．某同学参加复赛，他答对A，B层题目的概率为，答对C层题目的概率为，每次答题的结果都相互独立，该同学应该用怎样的顺序答题使得分的数学期望更高？请说明理由． 【答案】（1） （2）答题顺序及理由见解析 【解析】（1）设3人中恰有X人的选题来自B层，则 设3人中至少有2人的选题来自B层为事件D ∴ ∴这3人中至少2人的选题来自B层的概率为 （2）设第i道题得分为，第i道题答对的概率为 则，， 设得分为X，则 则， ∴X的分布列为 X 0 P ∴ 设将C层题目放在第i题时的得分为， 则 （也可列三个分布列，分别求，每对一个得3分） 因为 故从得分的数学期望更高的角度考虑，该同学应先回答A，B层的题目，再回答C层题目，即按A→B→C或B→A→C的顺序答题． 28.流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表： 预防药品 甲流病毒 合计 感染 未感染 未使用 24 21 45 使用 16 39 55 合计 40 60 100 （1）根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性； （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】（1）假设：使用预防药品与对预防甲流无效果， 由列联表可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品， 由题意可得， 且， 则， 治疗药品的治愈概率， 则， 所以，， ，， 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 . 29.某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 10 米色内饰 3 5 （1）若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求，并据此判断事件是否相互独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望. 【答案】（1），，不相互独立 （2）分布列见解析，287 【解析】（1）红色外观共有（个），， 米色内饰共有（个），， 是红色外观且是米色内饰的有个，， ， ，、不相互独立. （2）由题意知的所有可能取值为， 且， ， ， 的分布列为 600 300 150 . 30.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入问题表达不清晰”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得， 故智能客服的回答被采纳的概率为. （2）由题意得，的可能取值为，且， ，， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 决胜2025高考数学中档大题30题强化训练 题组一、解三角形 1.在斜三角形中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积． 2.记的内角A，B，C的对边分别为．点D在上，且， （1）判断的形状； （2）若四边形满足，求四边形面积的最大值． 3.在中，角所对的边分别为． （1）求； （2）若是边BC上一点，，求的面积． 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 5.已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 题组二、空间向量与立体几何 6.已知正四棱柱中，E，F分别为，AB的中点，O为AC，BD的交点． （1）证明：平面平面OEF； （2）若，，G为CD中点，H为中点，如图，是以FG为直径的半圆弧，M为上任意一点（不包括F，G两点），求平面HMG与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围． 7.如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）在四棱锥中，求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的大小. 8.如图，直四棱柱中，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 9.如图，在直平行六面体中，点在棱上． （1）若平面，证明：； （2）若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求． 10.如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点.底面. （1）求证：平面； （2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？ 题组三、数列 11.在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 12.已知数列满足，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 13.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 14.已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 15.记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 题组四、解析几何 16.已知双曲线C：（，）的离心率为2，、分别为双曲线的左、右焦点，到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）设过点的直线l与双曲线右支交于M，N两点，求的取值范围． 17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为为上两点，线段AB中点的横坐标为，当轴时，． （1）求的方程； （2）当AB不垂直轴时，设线段AB的中垂线与轴的交点为，求． 18.定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 19.已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点． （1）若C的一条渐近线方程为，求C的方程； （2）连接并延长交C于点R，设点P在第一象限，若，求点P的坐标； 20.已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； 题组五、导数及其应用 21.已知函数的图象在点处的切线与直线：垂直，记. （1）求实数的值； （2）证明：有两个极值点； 22.已知函数. （1）设是的极值点，求在点处的切线方程； （2）若，求实数的取值范围. 23.已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； 24.已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 25.已知函数. （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 题组六、概率 26.某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图. （1）群主预告今天晚上6点将有2个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5元以上金额的红包的概率； （2）群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”， 规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望． 27.某校依托AI技术搭建了智慧题库系统，形成了“A基础筑根—B应用提能—C创新选才”三层动态题库，设该题库中任意一道题被选到的可能性都相同，且A，B，C三层题量之比为． （1）现有3人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道作答，求这3人中至少有2人的选题来自B层的概率； （2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组系统从该题库中选取10道题，进行复赛．参赛选手将有机会回答A，B，C层题目各1题；A，B层题目答对得5分，C层题目答对得10分，答错得0分，选手可自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答，直到3题全部答完；若答错则比赛结束.例如：选手甲可自行按“”顺序答题，甲答对第一题得5分，并继续回答第二题且答错得0分，比赛结束，总分为5分．某同学参加复赛，他答对A，B层题目的概率为，答对C层题目的概率为，每次答题的结果都相互独立，该同学应该用怎样的顺序答题使得分的数学期望更高？请说明理由． 28.流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表： 预防药品 甲流病毒 合计 感染 未感染 未使用 24 21 45 使用 16 39 55 合计 40 60 100 （1）根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性； （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 29.某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 10 米色内饰 3 5 （1）若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求，并据此判断事件是否相互独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望. 30.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$