精品解析：广东省湛江市第二十中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试（5月）数学试题

2025年春季学期高二级第二次阶段性考试 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 命题人：林颖 做题人：刘晓宏 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，则该数列的第n项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可 【详解】设该数列为， 则 以此类推可得， 故选：D 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 3. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 4. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值. 【详解】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 5. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，“3个人都没去A景点且甲独自去一个景点”，甲与乙丙看作两组安排到2个景点有2种方法， “甲独自去一个景点”，甲在3个景点任选一个，其它两人在余下的2个景点任选， 又3人在3个景点任选有种，所以，， 所以. 故选：B 6. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列有界的定义，结合公式法求和及裂项相消法求和逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，即存在正数， 使得恒成立，因此数列是有界的，A错误； 对于B，由，得， 则， ， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，B正确； 对于C：由，则当时，；当时，；则， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，C正确； 对于D，， 则， 又，则，即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，D正确. 故选：A 7. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再结合极大值点的意义列出不等式求解. 【详解】当时，，由在区间上存在唯一个极大值点， 得，解得， 所以m的最大值为. 故选：A 8. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ，， 观察可得， 所以， 所以， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】依题意，有， ，化为：，， 即，， ． 由，得，由，可得，故，故C正确； 则，所以等差数列是单调递减的，故A不正确； 则，故B正确； 又时，，时， 所以中最大的是，故D正确. 故选：BCD． 10. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 被16除的余数是15 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的性质，通过赋值法来求解各项系数的值，再根据余数的定义判断被16除的余数. 【详解】已知， 令，可得，即，所以选项错误.  展开式的通项为. 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 令，则，即，所以选项正确.  令，则. 又因为，所以，所以选项正确.  .根据二项式定理展开可得： . 所以. 则被16除的余数是1，所以选项错误.  故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案； 【详解】的展开式的通项公式 当和时，可得展开式中常数项为， 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题. 14. 若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对求导可得，由正弦函数的图象可知成立， 根据函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】设，，则， 则，，由于恒成立 故有如下性质：. 则， ∴的最大值为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； （2）利用全概率公式可求出所求事件的概率. 【小问1详解】 解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为. 【小问2详解】 解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”， 记事件为“这道题被答对”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得. 16. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 17. 如图，正四棱柱中，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小的正切值. 【答案】（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系. 依题设，，，，. ，，， 因为，， 故，. 又，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系，求出，，，证明，即可； （2）求出两个平面的法向量，即可根据向量求出二面角的余弦值，进而求出正切值. 【详解】（1）略 （2）设向量是平面的法向量， 则，. 故，. 令，则，，. 是平面的法向量， ，∴， 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的大小的正切值为. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上有解，求的取值范围； （3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 【答案】（1） （2） （3）2019 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先不等式变形为，转化为二次函数在区间内的最值问题，即可求解； （3）首先根据定义求函数的对称中心，再根据对称性求和. 【小问1详解】 因为 所以所求切线的斜率又因为切点为 所以所求的切线方程为 . 【小问2详解】 因为，所以 因为在上有解， 所以不小于在区间上的最小值. 因为时，， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以. 令可得，所以函数的对称中心为， 即如果，则， 所以. 19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”： ①； ②. （1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； （2）若某21阶“期待数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式； （3）记阶“期待数列”的前项和为，试证：. 【答案】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列， （2） （3）证明如下： 当时，显然：成立； 当时，根据条件①得， 即， . 【解析】 【分析】（1）根据“期待数列”的定义求解即可； （2）根据“期待数列”的定义，结合等差数列的性质、等差数列基本量运算，利用等差数列的通项公式求解即可； （3）讨论当时、当时，分别求出的值或者取值范围，从而可得结论. 【小问1详解】 数列，0，为三阶期待数列， 数列，，，为四阶期待数列， 【小问2详解】 设该21阶“期待数列”的公差为， 因为， ， 即， ， 当时，据期待数列的条件①②可得， ，. 该数列的通项公式为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期高二级第二次阶段性考试 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 命题人：林颖 做题人：刘晓宏 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，则该数列的第n项为（ ） A. B. C. D. 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 4. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 7. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 8. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 10. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 被16除的余数是15 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答） 14. 若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 16. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 17. 如图，正四棱柱中，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小的正切值. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上有解，求的取值范围； （3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”： ①； ②. （1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； （2）若某21阶“期待数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式； （3）记阶“期待数列”的前项和为，试证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $