期末复习必考解答压轴题二十大题型总结-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

期末复习必考解答压轴题二十大题型总结 【华东师大版】 【题型1 利用分式性质求值问题】 1 【题型2 与分式有关的材料题】 6 【题型3 由分式方程解的情况求值】 13 【题型4 分式方程的实际应用】 19 【题型5 一次函数与几何变换】 24 【题型6 一次函数与动点最值】 38 【题型7 一次函数中的定值问题】 49 【题型8 一次函数中的探究题】 60 【题型9 一次函数中的存在性问题】 72 【题型10 分段函数与绝对值函数】 83 【题型11 一次函数的应用】 95 【题型12 求反比例函数的比例系数】 103 【题型13 反比例函数中的定值问题】 113 【题型14 反比例函数中的最值问题】 127 【题型15 反比例函数中的存在性问题】 136 【题型16 反比例函数的应用】 148 【题型17 四边形中的最值问题】 153 【题型18 四边形中的动态问题】 166 【题型19 四边形中的存在性问题】 177 【题型20 四边形中的探究问题】 190 【题型1 利用分式性质求值问题】 【例1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，，，求的值． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得， ，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简． 【变式1-1】（24-25八年级·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， 将其代入，可得 原式 【点睛】本题主要考查整式混合运算，解题关键是熟练使用整式运算法则及因式分解完成整式化简． 【变式1-2】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？ 【答案】 【分析】根据，得出，也即，同理可得出，，继而得出，通分可得到，倒过来即是. 【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴. 【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系. 【变式1-3】（24-25八年级·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 【题型2 与分式有关的材料题】 【例2】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【变式2-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）仿照例题将分解为，求出a、b的值即可得到答案； （2）将分解为，得到，求出m、n，整理后即可得到答案. 【详解】（1）由分母为x-1，可设=， ∵=， ∴ ∴，得， ∴===； （2）由分母为，可设=， ∵= ∴=， ∴，得， ∴==. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键. 【变式2-2】（24-25八年级·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【详解】（1）解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； （2） 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解： ， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 【题型3 由分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 【变式3-1】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)4． (2)． (3)． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． （2）解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． （3）解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 【变式3-3】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2． (2) (3)或，最小值为或 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）根据题意得到即可解答； （2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解； （3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）， ∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∴， 得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴或， ∴或， ∴，或 ∴最小值为或． 【题型4 分式方程的实际应用】 【例4】（24-25八年级·辽宁大连·期末）某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨． （1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？ （2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是　 　吨，现在小麦的平均每公顷产量是　 　吨；（用含a、m的式于表示） （3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？ 【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2），；（3）两组一起收割完这块麦田需要小时． 【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨， 根据题意可得： 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨， 答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨． （2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨， 根据题意得： 解得；y＝， 经检验：y＝是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是: 故答案为:，； （3）根据题意得： 答：两组一起收割完这块麦田需要小时． 【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键. 【变式4-1】（24-25八年级·福建福州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 【变式4-2】（24-25八年级·山东泰安·期末）2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数． 【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天 【分析】（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改进后每天施工（a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a值，再将其代入中可求出施工天数． 【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米， 依题意，得：， 解得：， ． 答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米． （2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米， 依题意，得：乙工程队施工天数为天， 甲工程队技术改造前施工天数为：天， 技术改造后施工天数为：天． 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出施工天数；找准等量关系，正确列出分式方程． 【变式4-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 【答案】(1)楼梯有54级 (2)198级 【分析】本题考查应用类问题，分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． （1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，可得方程组即可求解； （2）由（1）先求出男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分，设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次．由此列方程求出，进而根据中必有一个为正整数，且，求出解． 【详解】（1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，有： ① 两式相除，得 ， 解方程得即可． 因此楼梯有54级． （2）设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次． 将代入方程组①， 得，即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分． 于是有 从而， 即． 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时， 中必有一个为正整数，且， 经试验知只有符合要求． 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是： (级)． 【题型5 一次函数与几何变换】 【例5】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点A的坐标得到的长，则可求出的长得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线和直线解析式求出点D坐标，则可求出，进而可得，再根据三角形面积计算公式求出的长，从而得到点P的坐标；作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长，再求出直线的解析式，进而求出点E坐标即可； （3）先求出直线的解析式；如图所示，取，连接，可证明，即是等腰直角三角形，则，即点M即为直线与直线的交点，求出直线解析式为，联立，解得，则点M的坐标为；如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且，则，则点M为直线与直线的交点，同理求出此时点M的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的坐标为； 如图所示，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：∵将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式； 如图所示，取，连接， ∵， ∴，． ， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点M即为直线与直线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点M为直线与直线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【变式5-1】（24-25八年级·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 【详解】（1）解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． （2）解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． （3）解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题考查了直线过定点，一元一次方程有无数解，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，平移，熟练掌握待定系数法，平移，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级·福建泉州·期中）已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 或   【分析】（1）将点代入中，求出，再联立，求出点的坐标即可； （2）分两种情形或分别构建方程解答即可； 当点落在轴正半轴上（即为点）时，过点作，，垂足分别为点、，由翻折的性质得，所以，由（2）知，即，所以，由勾股定理得，求得，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 直线的函数表达式为； 联立， 解得：， ， 故答案为：，； （2）解：直线将的面积分为两部分， 或， 在中，当时，， ， 在中，当时，， ， ， 如图中，过点作轴于点，则， ， 或， 设，由题意知， 过点作轴于点，则， 或， 解得：或， 当时，；当时，， 的坐标为或； 存在，点的坐标为， 当点落在轴正半轴上（即为点）时，如图： 过点作，，垂足分别为点、， 由翻折得， ， 由（2）知，即， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 点的横坐标为， 在中，当时，， ， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两个一次函数的交点坐标，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，翻折的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 【题型6 一次函数与动点最值】 【例6】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 【变式6-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴负半轴上，，点，点中的m、n是方程组的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（______，______），B（______，______）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，与的面积相等． 【答案】(1)0，4；2，0 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，勾股定理： （1）解出关于m，n的方程，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点P在x轴的正半轴，当时，点P在x轴的负半轴， （3）先求出分两种情况讨论：当点M在上时，当点M在上时，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 当时，点P在x轴的正半轴，此时， ∴； 当时，点P在x轴的负半轴，此时， ∴； 终上所述，； （3）解：当时，，此时， ∵点B的坐标为，， ∴， 如图，当点M在上时， ∴， 即，解得：， 此时点M运动的时间为； 如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即， 根据题意得：， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点M运动的时间为； 综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等． 【变式6-2】（24-25八年级·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．    (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式为______； (2)若点是直线上一动点，且，求点的坐标； (3)点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒2个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】(1)先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； (2)设点P坐标为，先求出点C坐标，再求出的面积，表示出的面积，根据， 列方程求解即可； (3)根据点M在第二象限，当时，可知点M在线段 (不含端点)上运动，作点B关于线段的对称点．连接，交线段于点M，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得t的最小值． 【详解】（1）解：点在轴上，直线过点， 点坐标为， 将点和点代入直线， 得， 解得 ， 直线的函数表达式为， 故答案为： ，； （2）解：设点P坐标为，直线过点，与轴交于点， 令，得， 点坐标为， 点，点， ，，， ， ， ， 解得或， 或， 点的坐标为或； （3）解：点在第二象限，当时，如图，    在过点且平行于的线段 (不含端点)上， 直线的函数表达式为， ， ， ， 作点关于线段的对称点，连接，，，交线段于点，连接，则的最小值即为的长， ，，， ， ， ， ， 点的运动速度始终为每秒2个单位长度， 运动的总时间为 (秒)， 的最小值为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键 【变式6-3】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在；或 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型7 一次函数中的定值问题】 【例7】（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，点为y轴正半轴上一点，且． (1)三角形是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为中点，点P为y轴上一点，当三角形周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示） (2)在（1）的基础上，延长至点E；使点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在上，且 交于点N． ①求证：三角形是等边三角形； ②求证：； ③点P在运动过程中，的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是；； (2)①见解析②见解析③的值是定值，为4． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键，难点在于根据边的长度相等得到相等的边． （1）由两点间距离公式求出，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，由直角三角形两锐角互余得出，可判断出是等边三角形，由中点坐标公式求出，连接，得的最小值为，求出，，从而可求出的周长最小值，运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出，可得点P的坐标； （2）①由（1）知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再求出，从而得到，可得，结合即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，即可得证； ③由是等边三角形可得，然后求出，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； ∵，，为的中点， ∴，即， 连接交轴于点，则， 根据两点间距离最短得的最小值为，即， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为； 设直线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，求出， ∴点的坐标为； 故答案为：是；；； （2）解：①证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； ②证明：由三角形的外角性质得，，， 所以，； ③∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的值是定值，为4． 【变式7-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，的度数为 【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得； （3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； （2）解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，       ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图：    设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，        ∵，， ∴， ∵， ∴，      ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①，理由见详解② 【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线． （1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，可得，由此即可得 ，，将， ，代入即可求解； ②当时，，即可求得点，然后利用两点之间线段最短即可求得的最小值为． 【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4， ， 点E在直线上， ， 直线与x轴交于点D， ； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图： ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, , ，， ， ， ， ， ， ②解：如图所示， 过点作轴于点， 则， ∴ ∴ 由①可得， ∴在上时， 设且， 依题意，当重合时，最小， 此时在原点，点，则的最小值为． 【变式7-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图1，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C．    (1)求一次函数的解析式及点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点C作轴于点D，轴于点H，点E是线段OD上一动点，F是线段OH上一动点，且，连接EF，请判断的周长是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由． 【答案】(1)一次函数表达式为：，点 (2)点P的坐标为或或或 (3)是定值，值为4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分①、②、②三种情况解答即可； （3）过点作交轴于点，使，过点作轴，根据正方形的判定与性质可得，再利用全等三角形的判定与性质得，设，，由三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 一次函数， 与函数的图象交于点， ， ， 当时，， 点的坐标． （2）解：设， ，． ， ， ， 要使是等腰三角形， ①， ， ， 或， 或， 当时与点重合（舍去）， ， ， ②， ， ， 或， 或， 或， ③， ， ， 解得， ． 综上所述，点的坐标为：或或或． （3）解：是定值． 过点作交轴于点，使，过点作轴，    轴，轴，轴，轴， ， 四边形为长方形， ． ， 四边形为正方形， ， 在和中，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ，设，， ，， 的周长 ． 【点睛】本次考查的是一次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、等腰三角形的性质、周长计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 【题型8 一次函数中的探究题】 【例8】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点，若点C为y轴上的点，连接，且的面积是的面积的2倍，求所在直线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某市高新技术开发区的一块空地，已知、、，直线是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得将四边形的面积分成的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为或；（2）点D的坐标为或 【分析】（1）先求出，得出，设点C的坐标为，求出，得出点C的坐标为或，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）设直线与轴交于点E，点D的坐标为，求出的解析式为： ，得出，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 设点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或， 当点C坐标为时，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴此时直线的解析式为； 当点C坐标为时，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴此时直线的解析式为； （2）设直线与轴交于点E，如图所示： ， ， 设点D的坐标为， ∵， ∴设的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 【变式8-1】（24-25八年级·福建莆田·期末）【课本原型】人教版八年级下学期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 【答案】【初步探究】（1）；（2）见解析；【数学思考】BD；【深入探究】 【分析】本题考查利用已学一次函数有关知识，探究求新函数解析式，画函数图象，研究函数的性质，注意数形结合．掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【初步探究】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； 【数学思考】根据所画函数图象，逐项分析解答即可； 【深入探究】由图象知，的图象关于直线对称，易得P、Q两点关于直线对称，由此得，即，代入，得q的取值范围，根据q的范围结合函数图象即可确定m的范围． 【详解】解：【初步探究】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，得：，解得：， 故函数解析式为； 当时，； 故答案为：； （2）根据表中的数据，描点、连线，画图如下； 【数学思考】解：根据所画函数图象 函数图象关于直线对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当时，即，解得：或，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于， 则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确； 故选：BD； 【深入探究】解：由图象知，的图象关于直线对称， 和， P、Q两点关于直线对称， ， 即，代入， 即， 解得：； 当时，；当时，； 而当时，函数有最小值，且， 故m的取值范围为． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】（1）是． （2）或． （3）或． （4）． 【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可； （2）分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （4）特殊点法求一次函数解析式，面积桥求的高，面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）∵点 ， ∴， ∵， ∴， 所以， 则是2的“等垂点”， 故答案 ：是． （2）∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，易证， ∴， ∴， ∴． ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示易证， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案 ：或． （3）设 当时，如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 即 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图过作于点， 同理可得 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 综上所述：或． （4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”， 易求得与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线为， 如图过点分别作， ∵，，， ∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ， 所以． 【点睛】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． 【变式8-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，D为的边的中点，连接，若的面积为4，则的面积为______． 【问题探究】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B．若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，点，，．为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D；再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8 （2） （3）存在，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 【分析】（1）利用三角形中线平分三角形的面积即可求解； （2）利用勾股理得出，进而得出，，，利用三角形同高等底面积相等得出，代入的函数表达式可得出，利用待定系数法即可得出直线l的函数表达式； （3）过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，延长、交于点N，，先证出，利用三角形面积相等得出直线的函数表达式为，由直线经过的中点E，可证出，从而得出，再利用待定系数法即可得出直线的函数表达式． 【详解】解：（1）点D为的边的中点， ∴． （2）轴于点B， ， ，即， ， ，，． 设直线l与的交点为C，如图②， 则，即， ． 设直线函数表达式为， 把代入，得， ∴直线的函数表达式为， 在中，令，得， ； 设直线l的函数表达式为． 将点，代入，得： ， 解得； 直线的函数表达式为； （3）过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，延长、交于点N，如图③． ∵，，， ， ， ，．， ， ， 直线经过点B，且点D与点B重合， 设直线的函数表达式为， 把代入，得， 直线的函数表达式为， 直线将的面积分为相等的两部分， ∴由（1）可知，直线经过的中点E， 连接，则， ， ， 在中，令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得： ， 解得； 直线的函数表达式为． ∴存在，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，利用三角形中线求三角形面积，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【题型9 一次函数中的存在性问题】 【例9】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，若点是直线上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图2，若点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）设，则，表示出，分两种情况：当点在轴左侧时，当点在轴右侧时，用三角形面积公式即可得出结论； （3）设，则，分点在轴左侧和右侧，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， 解得：， ，， 点与点关于轴对称， ， 设直线的函数解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）设，则， 当点在轴左侧时，， ， 解得：， ； 当点在轴右侧时，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）存在， 设，则， ， ，，， ，，，， ，，， 点与点关于轴对称， ， ， ， ， 当点在轴左侧时， 轴， ，即， ， ， ， ， 解得：， ； 当点在轴右侧时， 轴， ，即， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 【变式9-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，求出点、点的坐标，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）根据解析式求得点，点，点的坐标得，，，可得，设点的坐标为，且，根据，且，列出方程求出点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称可知，则，当点在上时取等号，即的最小值为，结合勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，根据对角线互相平分，结合中点坐标公式，列方程即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得，解得， ∴直线的解析式为； （2）对于直线，当时，，当时，， 即点的坐标为，即点的坐标为， ∴，，则， 对于直线，当时，，即点的坐标为，则， 设点的坐标为，且， ∵，且 ∴，解得：， ∴点的坐标为， 作点关于轴的对称点，连接，， 由轴对称可知， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为； （3）设点的坐标为，点的坐标为， 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，坐标与图形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 【变式9-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 【题型10 分段函数与绝对值函数】 【例10】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）某数学兴趣小组想探究函数的图象与性质． (1)根据绝对值的意义将函数F的解析式化简： 当时，函数解析式为________， 当时，函数解析式为________； (2)在下边的平面直角坐标系中直接画出函数F的图象； (3)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线（m为常数）与y轴交于点C． ①若直线l与函数F的图象交于P，Q两点（P在Q左侧），且，求m的值； ②若直线l与函数F的图象恰有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由绝对值的意义即可求解； （2）按照画一次函数力图象的方法，分两段画图即可； （3）①求出直线l与函数F的图象的交点坐标，利用面积相等建立方程即可求得m的值； ②分两种情况：时，考虑l与射线平行的情况；时，考虑l与射线平行的情况；还有一种特殊情况：直线l过点A． 【详解】（1）解：当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 故答案为：； （2）解：函数F的图象如下： （3）解：①如图，连接，过Q作轴于Q，如图； 由题意知，； 解，得； 即； 同理得； ， ，； ， ，， ； ， ， 即， ，而， ， 解得：； ②如图，当时，若直线l与射线平行；此时， 故当时，直线l与F只有一个交点； 如图，当时，若直线l与射线平行；此时， 故当时，直线l与F只有一个交点； 还有一种特殊情况：直线l过点A，此时与F恰好有一个交点， 把点A的坐标代入直线l的解析式中，得， 即； 综上，m的取值范围为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，画一次函数的图象，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 【变式10-1】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据图形即可得到结论； （2）根据函数图形平移的规律即可得到结论； （3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，函数的对称轴为； （2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象； 将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象； （3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象． 所画图象如图所示，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． (1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．    (2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； (3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)当时，没有交点；当时，1个交点；当时，2个交点 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握描点法画函数解析式，利用数形结合的思想解决不等式以及图像的交点问题． （1）列表，描点，连线画出函数图像，根据图像写出函数的两条性质即可； （2）利用交点求出的值，进而求出两个函数图像的另一个交点，图像法求不等式的解集即可； （3）求出函数图像经过两点时的值，画出图像，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】（1）当时，， 列表如下： 0 1 2 3 作图如下：    由图可知：性质1：当时，随的增大而增大； 性质2：当时，函数有最小值2． （2）∵正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴正比例函数的图像与函数的图像交点为，，    由图可知：时，或； （3）∵， ∴当时，， ∴函数图像一点过点， 如图，当与交于点时，，解得：， 当与交于点时，，解得：，    由图可知：当时，与没有交点， 当时，与有1个交点， 当时，与有2个交点． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①，．②；③ (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数得图象和性质、正方形的性质等内容，数形结合是解题的关键． （1）根据表格中数据描点连线即可； （2）①根据图象观察或者求出值、值比较即可； ②根据对称性可知这两点关于直线对称，进而即可得解； ③根据图象找到对应范围，进而即可得解； （3）根据图象画出符合题意的图形，找出临界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据描点连线作图如下． （2）解：①由题意，点，在函数图象上， 根据图象可得，，． ． 又令，结合图象， 有三种情形，且均大于， 又令， 结合图象，． ． 故答案为：，． ②由图象可知，当时，能满足值相等的两个点是在这一段， 且这两点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③如图，当时，取值为黑色加粗这段， 此时最小值为0，最大值为6， 所以， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为，将和坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 设直线于线段交于点，则， ， 当时，， ， 设与交点为点，则， 根据图象可知，当点运动到点右边时，此时正方形与没有交点， ； ①当时，如图所示，此时点在上， ， ， ， 此时， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， 由图很明显可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点， ； ②当时，如图所示，点在直线上，并且在点下方，则， ， 若，则，此时点，，满足两个交点，符合题意， 同①方法讨论1个交点情况，找出临界值， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， ； ③当时，此时点在直线上且在点上方，则， ， 由点和点坐标可知直线解析式为， 若点在线段上，此时正方形与线段只有一个交点， ， ， 此时， ， ， 解得， 由图很明显可知可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点，直到点与点重合， ； 综上，的取值范围为或． 【题型11 一次函数的应用】 【例11】（24-25八年级·河北保定·期末）为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为______； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ (4)直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 【答案】(1) (2) (3)函数表达式为，一次项系数的实际意义是：1号气球每秒下降6米 (4)45秒 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，并用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意求出1号气球到达的高度，再求出2号气球达到同样高度时的所用的时间，即可求出点坐标； （2）根据路程速度时间，即可得； （3）根据题意求出点的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可； （4）根据题意分时段讨论，求出两球高度之差小于或等于60米时的取值，即可求出总时长． 【详解】（1）解：1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为：（米）， ∵气球是从海拔10米的处出发， ∴点的纵坐标为（米），横坐标为30秒，即点坐标为， ∵2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达点250米高度所需时间为：（秒）， ∴点坐标为． （2）解：∵2号气球从海拔10米处出发，速度为6米/秒， ∴根据路程速度时间，可得． （3）解：∵1号气球从40秒时开始匀速下降，又过了40秒降落到出发点， ∴点的横坐标为（秒），纵坐标为10，即，， 设，把，，代入得： ， 解得，， ∴线段对应的函数表达式为， 由题意可知，一次项系数的实际意义是1号气球在40秒到80秒之间匀速下降的速度为6米/秒． （4）解：∵1号气球从海拔10米处出发，其中以8米／秒的速度匀速上升， ∴根据路程速度时间，可得， 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， ∴在这个时间段内两球高度之差都小于或等于60米，时长为30秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 当时，，，两球高度之差， 令，即，解得， 又∵， ∴在这个时间段内两球高度之差小于或等于60米的时长为秒； 综上，两球高度之差小于或等于60米的总时长为秒． 【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【变式11-2】（24-25八年级·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【答案】(1) (2)商场能获得的最大利润为1820元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． （1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽， 根据题意，， 由题意得：， 解得：， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：设总利润为W，根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为1820， 答：商场能获得的最大利润为1820元； （3）解：设总利润为W元，根据题意得： ， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得：， 综上分析可知，满足条件的m值为2． 【变式11-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）综合实践： 素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地．    素材 月日高铁时刻表 站名 到时 发时 停留 A站 —— 09:00 —— C站 11:00 11:10 10分 B站 12:10 —— ——    1月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 B站 —— 09:00 —— C站 10:30 10:35 5分 A站 12:35 —— —— 问题解决 任务1 收集信息 a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min． 任务2 建立一次函数模型 根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式． 任务3 解决问题 求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围． 【答案】任务：，，；任务：；任务：时分秒到时分秒． 【分析】任务：根据路程、时间、速度之间的关系，结合函数图象即可求解； 任务：利用待定系数法即可求解； 任务：利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，联立由站往站的函数解析式，分两种情况解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出相应的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务：在站停留分钟， ∴用于行驶的时间为分， ∵两地相距千米， ∴的速度为： (千米/分)， ∵走到地用了分， ∴距地的距离为(千米)， 即， ∴离地的距离为(千米)， 即， 故答案为：，，； 任务：设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为， ∵过点，， ∴， 解得， ∴； 任务：设从站到站的函数解析式 ()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 由， 解得， ∵出发， ∴时分秒相遇， 假设在未到达地时，两车相距千米， ∴两车相距的路程等于离开地的距离离地的距离， ∴， 解得，不符合题意； 在在车站停留时两车相距，即离开站， ， 解得，不符合题意； 设从站到站的函数解析式()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 两车相距千米，甲乙两车离开地的距离之和为， ， 解得， 分小时分 ， ∴对应的时刻为：时分秒， ∴月日、两列高铁在相遇后两车之间距离不超过的当日时刻范围在时分秒到时分秒． 【题型12 求反比例函数的比例系数】 【例12】（24-25八年级·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①的面积为；② (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得 ，即可求得答案； ②过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）①当时，， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， 的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则 ，， 点是的中点， 的纵坐标为 化简得，， ， 又点不与点重合， 此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【变式12-1】（2025·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 【变式12-2】（24-25八年级·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【答案】探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【变式12-3】（24-25八年级·四川乐山·期末）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． (1)如图①，若轴，且，．求、的值； (2)如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）连接、，根据反比例函数系数的几何意义以及得到，即①，由②．①②得，，进而求得； （2）作轴于，轴于，则，，根据题意得到，，即可得到，整理得． 【详解】（1）解：如图①，连接、， 轴， ，， ， ，即， ①， ②． ①②得，， ； （2）如图②，作轴于，轴于，则，， 点是线段的中点，且的面积为2， ， 在和中， ， ， ， ， 整理得． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型13 反比例函数中的定值问题】 【例13】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图①，已知点，，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图③），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1) (2)或或 (3)，其值不发生改变，证明见解析 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标； （3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，为中点且点E在y轴上， ， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴ ， ∵C、D都在反比例函数的图象上， ， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，则，    解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，则，    解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，则    解得， ，； 综上所述，满足题意的Q的坐标为或或； （3）解：，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连、、，    ∵M是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ，   ， ，， ∵， ， ∵， ∴， ∴． ， ． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 【变式13-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且． （1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点． ①请求出、的值； ②试求的面积． （2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）①a=24，b=6②；（2）是定值为． 【分析】（1）①把 代入反比例函数即可求出a，根据点为的中点，求出B点坐标，代入即可求出b；②根据k的几何意义求出△AOP的面积，再连接BP，根据中线的性质即可求解； （2）先分析分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支；再利用反比例函数系数k的几何意义，表示S△AOB和S△COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6，即求出答案． 【详解】（1）①把 代入反比例函数，得a=6×4=24 ∵点为的中点， ∴B（3，2） 把B（3，2）代入反比例函数，得b=3×2=6 ②∵S△AOP= S△AON-S△NOP= =9 ∵B点是的中点， ∴BP是△AOP的中线 ∴的面积=×9=； （2）如图，当在的第一象限的图像上时，在的第一象限的图像上时 轴，， ， ， 则点与点重合，点与点重合 即与间的距离为0， 分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支； 如图，延长AB、CD交y轴于点E、F， ∵点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，a＞b＞0，轴， ∵与间的距离为6， ∴OE+OF=6 ∴S△AOE＝＝a＝S△COF，S△BOE＝＝b＝S△DOF， ∴S△AOB＝S△AOE−S△BOE＝a−b＝AB•OE＝OE， S△COD＝S△COF−S△DOF＝a−b＝CD•OF＝OF， ∴S△AOB＋S△COD＝a−b＝OE＋OF＝（OE＋OF）=． ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 【变式13-2】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A的坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【答案】（1）①6，2；②P(，0)；（2）当k＝1时，PD+DE的值为定值1，此时m，n应该满足的条件是0＜m﹣n＜1 【分析】（1）①将点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，结合可得和的值； ②设，根据的面积为6，则，列方程解出可得结论； （2）分两种情况：①如图2，当点在直线的左侧时，即时，②如图3，当在直线的右侧时，即时，根据计算可得结论． 【详解】解：（1）当时，， ①直线与反比例函数的图象交于第一象限的点，且点的坐标为， ，， ， 故答案为：6，2； ②如图1， 当时，， ， 设， 的面积为6， ， ， ， ，； （2）依题意得：，， ， 当时，， ， ，， 如图2，当点在直线的左侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值1； ，，，， ， ； 当时，的值为定值1，此时、应满足的条件是； 如图3，当在直线的右侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值， ，的值为正数， 当不合题意，舍去， 综上，当时，的值为定值1，此时，应该满足的条件是． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用，解题时正确画图是解题的关键． 【变式13-3】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为（1，2）或 (3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值． 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式； （2）设点P坐标为（p，），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可； （3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标； ②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值． 【详解】（1）解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示： 则∠AHO=90°， ∴∠HAO+∠AOH=90°， ∵BC⊥x轴， ∴∠BCO=90°， ∴∠AHO=∠BCO， ∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B， ∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1， ∴∠AOH+∠BOC=90°， ∴∠HAO=∠BOC， ∴△AHO≌△OCB（AAS）， ∴OC=AH=2，BC=OH=1， ∴点B坐标为（2，1）， 将点B坐标代入反比例函数， 得k=2×1=2， ∴反比例函数解析式：； （2）设点P坐标为（p，）， 则S△POC＝×2×=， 当点P在点B左侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(2−p)， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得p1=p2=1， ∴点P坐标为（1，2）； 当点P在点B右侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(p−2)= ， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得（不符合题意，舍去）， ∴点P坐标为， ∴符合条件的点P坐标为（1，2）或； （3）①当m=2时， 根据题意，可得mn=2， 即2n=2， ∴n=1， ∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3）， 设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将点A和点G坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线AG的解析式为y=3x+5， 设直线PQ的解析式为 ， 将点P和点Q坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+5， 联立， 解得， ∴点H坐标为（0，5）； ②（a+2）（b-4）是定值， ∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2）， 设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0）， 代入点A和点G的坐标，得， 解得， ∴直线AG的解析式为， 设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0）， 代入点P和点Q坐标，得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n， 联立， 解得， ∴点H（m-2，n+4）， ∵记H的坐标为（a，b）， ∴a=m-2，b=n+4， ∴（a+2）（b-4）=mn， ∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点， ∴mn=2， ∴（a+2）（b-4）=2． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大． 【题型14 反比例函数中的最值问题】 【例14】（24-25八年级·重庆·开学考试）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)或或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式14-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 【变式14-2】（2025·广东湛江·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D．若点D的坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)直线的解析式为 (3)最大值为 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式： （1）先确定点A的坐标，进而求得点C的坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； （2）由，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论； （3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m函数关系式，即可得出结论； 建立与m的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C，D在双曲线上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，反比例函数解析式为， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，由（2）知，直线的解析式为， 设点， 由（2）知，，， ∴， ∵轴交反比例函数的图像于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，最大，最大值为． 【变式14-3】（2025·江苏徐州·一模）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“合体函数”． (1)①若函数，当时，则函数的“合体函数” ； ②若函数，为常数，求函数的“合体函数”的表达式； (2)若函数 ，求函数的“合体函数”的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例数的性质； （1）①根据题意求得，根据新定义，即可求解； ②分分别求得的值，根据新定义，即可求解； （2）分，，，分别讨论分别求得的值，根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ，当时，，当时， ∴， ∴， 故答案为：． ②当时，函数在的最大值，最小值 ∴ 当时，， ∴ 综上所述， （2）∵， ∴分情况讨论， ①当即时，， ∴函数的最大值为，最小值 ∵， ∴当时，最小，最大，则的最大值为 ②当，即，则， ∴函数的最大值为，最小值 ∵， ∴ ∴最小值 ∴ 即， ③当时， ∵ ∴ ∴此情形不存在， 综上所述，的最大值为 【题型15 反比例函数中的存在性问题】 【例15】（2025·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数 经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． (3)如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) (3)存在，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论； （2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，−），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论； （3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论． 【详解】（1）反比例函数经过点， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为； （2）， ， ， 解得，或 不合题意舍去， ， 如图，过作于， ，， ； （3）存在，理由如下， 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ； 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ， 综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键． 【变式15-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可． (2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可． （3）分，为对角线两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵， 解得或， ∵A在第三象限， ∴，． （2）解：把，分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）存在 分类讨论： 解：①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ， 解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． 【变式15-2】（24-25八年级·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】（1）首先把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把点坐标代入反比例函数解析式中求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是反比例函数的图像在一次函数的图像的上方部分所对应的自变量的范围； （3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 反比例函数的解析式是， 将代入，得： ， 的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为： 或； （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或， 理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论: ①当时， 由，等腰三角形三线合一的性质可得： ， ， ； ②当时， 根据题意，可得：， 在中，由勾股定理可得：， , 解得：， ； ③当时， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息，三线合一，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式并运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式15-3】（24-25八年级·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线． (1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形； (3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)点在反比例函数的图象上，理由见解析 (2)见解析 (3)，和 【分析】（1）求出点B的坐标，判断即可； （2）证明OA=OB，OC=OD，推出四边形ADBC是平行四边形，再证明AB=CD，可得结论； （3）当四边形OBPQ是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P的坐标为，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可． 【详解】（1）结论：点在反比例函数的图象上， 理由如下：∵反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2， ∴把代入中，得， ∴点的坐标是， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴点的坐标是， 把代入中，得， ∴点在反比例函数的图象上； （2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2， ∵过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点， ∴C，D关于原点对称， ∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD， ∵A，B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD=，AB=， ∴AB=CD， ∴四边形ACBD是矩形； （3）设点P的坐标为，如图， 当四边形OBP1Q1是菱形时，可得， ∴，解得， ∴P1； 当四边形OBQ2P2是菱形时，可得， ∴， ∴P2； 当四边形OP3BQ3是菱形时，可得, ∴， 解得， ∴P3， 综上所述，满足条件的点的坐标分别为，和． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【题型16 反比例函数的应用】 【例16】（24-25八年级·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 【变式16-1】（24-25八年级·山西太原·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】(1)y=； (2)半径为28米； (3)最多是0.4厘米． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； （2）当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【变式16-2】（24-25八年级·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 【变式16-3】（2025·山东济宁·一模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 售价(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120 销售量(千克) 30 40 48 50 60 80 96 100 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系． （1）写出这个反比例函数的解析式； （2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ （3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？ 【答案】（1）；（2）20；（3）新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=30和x=400代入求出相对应的x和y； （2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，即为所需要的天数； （3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x． 【详解】（1）设， ∵当x=400时y=30， ∴k=400×30=12000， ∴函数解析式为． （2）2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600． 即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克． 当=150时，=80． 1600÷80=20(天)． 答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出． （3）1600-80×15=400(千克)， 设新确定的价格为每千克x元． ， 解得：x≤60， 答：新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【题型17 四边形中的最值问题】 【例17】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，当点运动到点时，点运动到点，即可求解； （2）根据垂线段最短，可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时，取最小值，且最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长至，使得，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点运动到点时，点运动到点， 则有； （2）由（1）可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时， 取最小值，且最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定等知识，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动是解题的关键． 【变式17-1】（24-25八年级·广东广州·期中）如图1，在正方形中，分别为边上的动点且满足； (1)求证：； (2)若点为的中点，求的长； (3)如图2，若，且点、分别为边、上的动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3) 【分析】（1）通过正方形的性质证得，得到，推出，根据垂直的定义得到结论； （2）过点G作于H，且交于点，则，证明四边形是矩形，运用勾股定理得，根据等面积法得，以及勾股定理得，，，即可得到结论； （3）过点B作，过点M作，两直线交于点P，则四边形是平行四边形，求得，，得到，要求的最小值，即求的最小值，连接，当P，M，E三点共线时，的最小值为的长，根据平行线的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点G作于H，且交于点，则， ∴， 则四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 则， 在中，， ∴， 在中，． （3）解：过点B作，过点M作，两直线交于点P， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 要求的最小值，即求的最小值； 连接，当P，M，E三点共线时，的最小值为的长； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形等面积法，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式17-2】（24-25八年级·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或或． 【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得，，根据等边对等角，三角形的内角和定理可得，，，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，可得是等边三角形，由，可得，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证，得到，如图所示，过点作，，当点三点共线时，时，值最大，由此即可求解； （3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示，，可得，；第二种情况：如图所示，，可得，是等边三角形；第三种情况：如图所示，，设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，可证四边形是矩形，是等边三角形，；由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是“等腰四边形”； ②如图所示，连接， 由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，， 当点三点共线时，时，值最大， 故答案为； （3）解：第一种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形，且， ∴菱形是正方形， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，， ∴， ∵，即，，，即， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【变式17-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)①；②四边形为矩形，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）①根据平移的性质可得从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同，即可求解； ②根据勾股定理逆定理可得，再根据平移的性质可得且，可证得四边形为平行四边形，即可求解； （2）在线段上取一点，使，可证得，从而得到，，再证明，可得，，设，由勾股定理得，用x表示相关线段可得到关于x的方程，即可求解； （3）连接，取的中点连接，，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，再由三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①∵平移至（点与点对应，点与点对应）， ∴从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同， ∵，， ∴点先向左平移个单位，再向上平移得到点， ∵， ∴点； 故答案为：； ②四边形为矩形，理由如下：连接， ∵，，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵平移至， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）∵点，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，在线段上取一点，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 即； （3）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵点，，， ∴，， ∵为的中点，为边的中点， ∴，， ∵， ∴的取值范围为． 的最小值为，最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型18 四边形中的动态问题】 【例18】（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析； (3)当点恰好落在边上时，的值为或． 【分析】（）连接，求出，由勾股定理可得 ； （）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （）分两种情况：当点在上时，求出，知，由 ，可得，故；当点在上时，当，重合时符合题意， 由，有 ，得 ． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：当点在上时，如图， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； 当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 综上，当点恰好落在边上时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 【变式18-1】（24-25八年级·天津·期中）已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． (1)如图1，连接、．求证：四边形为菱形； (2)如图1，求的长； (3)如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，推出四边形为平行四边形，结合即可得证； （2）设菱形的边长，则，由勾股定理计算即可得出答案； （3）分情况讨论可得只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长，则， 在中，，由勾股定理得：， 解得：， ； （3）解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形， ， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒， ，， ， 解得：， 以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 【变式18-2】（24-25八年级·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，，分别在，上，且，，分别是，上的两个动点，点从向移动，点从向移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是______； A．平行四边形  B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)若四边形为菱形，求的值； (3)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)A (2) (3)或 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明和，即可得到结论； （2）根据菱形的性质定理以及勾股定理得到，，即，求出答案即可； （3）过点作，垂足为点，连接，过点作，垂足为点，连接，分两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图1，由题意得：，， 四边形是矩形， ， ， ， 同理可证 ， ， 四边形是平行四边形； 故选：A； （2）解：如图2，四边形为菱形， ， ， ， 由勾股定理可得：，， ， 即：， 解得：， 当时，四边形为菱形． （3）解：如图3，过点作，垂足为点，连接， 过点作，垂足为点，连接， 四边形，四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 在中， ， 当四边形是矩形时， ， 在中， ， ， ， 如图4，在中， ， ， ， ， 四边形为矩形时或． 【变式18-3】（24-25八年级·广东广州·期中）已知如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点在边上运动时，点到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)当的面积取最小值时，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点F到直线CD的距离始终为定值3，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据有一个直角的菱形是正方形，证明，得到，结合，得到，即可得证． （2）过F作，交延长线于M，连接．证明即可得证． （3）设，可得．由，得到，在中，．则，此时，点E与点B重合，过点F作的平行线交的延长线于点，同理可证明：，，最后由即可求解． 【详解】（1）∵矩形，菱形， ∴， 又， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为正方形． （2）解：距离是定值3．理由如下： 过F作，交延长线于M，连接，则， ∵矩形，菱形， ∴，，，， ∴，． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴， 即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值3． （3）解：设，如上图： ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∵ ∴在中，． ∴． ∴ ∴的最小值为，此时，点E与点B重合， 过点F作的平行线交的延长线于点， 则， 同理可证明：，， ∴，，， ∴， ∴ ∴当的面积取最小值时，菱形的面积为． 【题型19 四边形中的存在性问题】 【例19】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． (1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； (2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识． （1）由题意得，，，列出方程，解方程可得出答案； （2）由折叠的性质可知：，，，设，则，，由勾股定理可得出答案； （3）分三种情况，①当、是菱形的边时，②当是对角线，是边长时，③当是对角线，是边长时，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， ∴； （2）解：如图， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形； 分以下三种情况： ①当、是菱形的边时， ∵， ∴， ∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，， ∴， ∴； ③当是对角线，是边长时， 此时， ∴， ∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 【变式19-1】（24-25八年级·浙江温州·期中）如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 【答案】(1) (2)存在，当时，四边形是平行四边形 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和含的直角三角形的性质即可求解； （2）设交于O，当，时，四边形是平行四边形，可得出，可表示出，进而得出，进而求得结果； （3）连接，，，可知垂直平分，则，进而可得，由点在的角平分线上，可求得，则，知，由（1）知，，即，由（1）知，，求得，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，则， ∴， ∵，则 ∴， ∵，即， ∴，即：， ∴； （2）存在，当时，四边形是平行四边形，理由如下： 在矩形中，，则， 由折叠得，，，则， 则与不可能平行， 如图，当，为对角线时， 设交于O，当，时，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，存在，当时，四边形是平行四边形； （3）连接，，， 由翻折可知，，， ∴垂直平分，则， ∵ ∴， ∴ ∵点在的角平分线上， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）知，，即：， 由（1）知，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，轴对称的性质，含的直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，找到边之间的数量关系． 【变式19-2】（24-25八年级·江苏南京·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点O是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点O旋转得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点O也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点O旋转一定的角度得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点O旋转得到，当各边与各边分别交于点G、E、F、H．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点E、F、G、H分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，，由题意得四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）作出如图的辅助线，由题干材料知，四边形是正方形，证明和，同理得到，推出四边形是菱形，再证明，根据正方形的判定定理即可得证； （3）分两种情况讨论，当重合和重合，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得特殊点的情况，即可求解． 【详解】（1）证明：作，，垂足分别为，如图， ∵将绕对称中心点O旋转得到， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：延长交于点，连接，如图， 由题干材料知，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， 同理，， ∵四边形是正方形， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 由全等三角形的性质得， 由对顶角相等知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：当重合时，如图， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当重合时，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，存在正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式19-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图，边长为6的正方形的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点E． (1)当点D坐标为时，求证 (2)若点D坐标为，结论是否成立，请说明理由； (3)在y轴上是否存在点M，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）在上截取，证明即可； （2）同法（1），即可得出结论； （3）过点作，连接，证明，得到，进而得到，推出四边形为平行四边形，根据在中，，得到，得到四边形不是菱形即可． 【详解】（1）证明：正方形， ∴ ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， 在上截取， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： ∵正方形， ∴ ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， 在上截取， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）不存在，理由如下： 过点作，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形为平行四边形， 在中，， ∴， ∴四边形不是菱形， 故不存在点使四边形是菱形． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 【题型20 四边形中的探究问题】 【例20】（24-25八年级·吉林松原·期中）综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）菱形的性质，求出的度数，折叠得到，即可得出结果； （2）根据折叠和中点，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，作，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，三线合一求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故答案为：； （2）为直角三角形，理由如下： ∵翻折， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴为直角三角形； （3）∵折叠， ∴垂直平分， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 【变式20-1】（24-25八年级·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【答案】（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7． 【分析】（1）由分析思路知，只要或，利用（或）从而可证明，进而得到结论； （2）由且得等腰三角形，得，从而判断①；延长至点M，使得，连接，先由证明，再由证明，即可判断②；由且，可得 ，从而，由此即可判断③；假设，则得，从而得，得到矛盾，从而可判断④，最后可得到结论； （3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系； ②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）（或）；（或） 解：（2）①②③， ①∵，且 ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； ②如图，延长至点M，使得，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③∵且， ∴， 又， ∴，即③正确； 假设， 则； ∵平分，且， ∴， ∴， 则； ∵， ∴, ∴， 这与相交矛盾，故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③； 解：（3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 【变式20-2】（24-25八年级·江苏南通·期中）实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠得到，证明，则，而，继而得到四边形是平行四边形，由即可证明菱形； （2）设菱形的边长为，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （3） ①过点Q作，交的延长线于点G，延长交的延长线于点H，可得四边形均为矩形，则6，证明，则，而，那么，故点Q到的距离等于，即点Q在上运动； ②在延长线上截取，连接，则，可得，再证明，则，由于，Q在上运动，故当点重合时，最大，设，则，则，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：当点在上，点N在上时， 由折叠知：是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴.四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长为，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①如图，过点Q作，交的延长线于点G，延长交的延长线于点H， ∵四边形为矩形，， ∴四边形均为矩形， ∴6， 由折叠知， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q到的距离等于，即点Q在上运动； ②如图：在延长线上截取，连接，则 ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，Q在上运动， ∴当点重合时，最大，如图： 设，则， ∴， ∵四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q到直线的最大距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，难度较大，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确添加辅助线． 【变式20-3】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习必考解答压轴题二十大题型总结 【华东师大版】 【题型1 利用分式性质求值问题】 1 【题型2 与分式有关的材料题】 2 【题型3 由分式方程解的情况求值】 4 【题型4 分式方程的实际应用】 5 【题型5 一次函数与几何变换】 7 【题型6 一次函数与动点最值】 9 【题型7 一次函数中的定值问题】 11 【题型8 一次函数中的探究题】 13 【题型9 一次函数中的存在性问题】 15 【题型10 分段函数与绝对值函数】 18 【题型11 一次函数的应用】 21 【题型12 求反比例函数的比例系数】 23 【题型13 反比例函数中的定值问题】 25 【题型14 反比例函数中的最值问题】 28 【题型15 反比例函数中的存在性问题】 29 【题型16 反比例函数的应用】 31 【题型17 四边形中的最值问题】 33 【题型18 四边形中的动态问题】 35 【题型19 四边形中的存在性问题】 36 【题型20 四边形中的探究问题】 39 【题型1 利用分式性质求值问题】 【例1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，，，求的值． 【变式1-1】（24-25八年级·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足． 【变式1-2】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？ 【变式1-3】（24-25八年级·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【题型2 与分式有关的材料题】 【例2】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式2-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 【变式2-2】（24-25八年级·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【变式2-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【题型3 由分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【变式3-1】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【变式3-2】（24-25八年级·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【变式3-3】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【题型4 分式方程的实际应用】 【例4】（24-25八年级·辽宁大连·期末）某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨． （1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？ （2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是　 　吨，现在小麦的平均每公顷产量是　 　吨；（用含a、m的式于表示） （3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？ 【变式4-1】（24-25八年级·福建福州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【变式4-2】（24-25八年级·山东泰安·期末）2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数． 【变式4-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 【题型5 一次函数与几何变换】 【例5】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【变式5-2】（24-25八年级·福建泉州·期中）已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【题型6 一次函数与动点最值】 【例6】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴负半轴上，，点，点中的m、n是方程组的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（______，______），B（______，______）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，与的面积相等． 【变式6-2】（24-25八年级·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．    (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式为______； (2)若点是直线上一动点，且，求点的坐标； (3)点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒2个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 【变式6-3】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 一次函数中的定值问题】 【例7】（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，点为y轴正半轴上一点，且． (1)三角形是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为中点，点P为y轴上一点，当三角形周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示） (2)在（1）的基础上，延长至点E；使点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在上，且 交于点N． ①求证：三角形是等边三角形； ②求证：； ③点P在运动过程中，的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由． 【变式7-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 【变式7-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图1，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C．    (1)求一次函数的解析式及点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点C作轴于点D，轴于点H，点E是线段OD上一动点，F是线段OH上一动点，且，连接EF，请判断的周长是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由． 【题型8 一次函数中的探究题】 【例8】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点，若点C为y轴上的点，连接，且的面积是的面积的2倍，求所在直线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某市高新技术开发区的一块空地，已知、、，直线是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得将四边形的面积分成的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标． 【变式8-1】（24-25八年级·福建莆田·期末）【课本原型】人教版八年级下学期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【变式8-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，D为的边的中点，连接，若的面积为4，则的面积为______． 【问题探究】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B．若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，点，，．为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D；再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【题型9 一次函数中的存在性问题】 【例9】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，若点是直线上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图2，若点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【题型10 分段函数与绝对值函数】 【例10】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）某数学兴趣小组想探究函数的图象与性质． (1)根据绝对值的意义将函数F的解析式化简： 当时，函数解析式为________， 当时，函数解析式为________； (2)在下边的平面直角坐标系中直接画出函数F的图象； (3)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线（m为常数）与y轴交于点C． ①若直线l与函数F的图象交于P，Q两点（P在Q左侧），且，求m的值； ②若直线l与函数F的图象恰有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 【变式10-1】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 【变式10-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． (1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．    (2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； (3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【题型11 一次函数的应用】 【例11】（24-25八年级·河北保定·期末）为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米／秒的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为______； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ (4)直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差小于或等于60米的总时长是多少． 【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式11-2】（24-25八年级·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【变式11-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）综合实践： 素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地．    素材 月日高铁时刻表 站名 到时 发时 停留 A站 —— 09:00 —— C站 11:00 11:10 10分 B站 12:10 —— ——    1月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 B站 —— 09:00 —— C站 10:30 10:35 5分 A站 12:35 —— —— 问题解决 任务1 收集信息 a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min． 任务2 建立一次函数模型 根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式． 任务3 解决问题 求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围． 【题型12 求反比例函数的比例系数】 【例12】（24-25八年级·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【变式12-1】（2025·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【变式12-2】（24-25八年级·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【变式12-3】（24-25八年级·四川乐山·期末）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． (1)如图①，若轴，且，．求、的值； (2)如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 【题型13 反比例函数中的定值问题】 【例13】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图①，已知点，，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图③），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【变式13-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且． （1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点． ①请求出、的值； ②试求的面积． （2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【变式13-2】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A的坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【变式13-3】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【题型14 反比例函数中的最值问题】 【例14】（24-25八年级·重庆·开学考试）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【变式14-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2025·广东湛江·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D．若点D的坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 【变式14-3】（2025·江苏徐州·一模）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“合体函数”． (1)①若函数，当时，则函数的“合体函数” ； ②若函数，为常数，求函数的“合体函数”的表达式； (2)若函数 ，求函数的“合体函数”的最大值． 【题型15 反比例函数中的存在性问题】 【例15】（2025·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数 经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． (3)如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】（24-25八年级·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-3】（24-25八年级·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线． (1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形； (3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标． 【题型16 反比例函数的应用】 【例16】（24-25八年级·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【变式16-1】（24-25八年级·山西太原·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【变式16-2】（24-25八年级·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【变式16-3】（2025·山东济宁·一模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 售价(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120 销售量(千克) 30 40 48 50 60 80 96 100 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系． （1）写出这个反比例函数的解析式； （2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ （3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？ 【题型17 四边形中的最值问题】 【例17】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 【变式17-1】（24-25八年级·广东广州·期中）如图1，在正方形中，分别为边上的动点且满足； (1)求证：； (2)若点为的中点，求的长； (3)如图2，若，且点、分别为边、上的动点，且始终满足．求的最小值． 【变式17-2】（24-25八年级·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【变式17-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【题型18 四边形中的动态问题】 【例18】（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【变式18-1】（24-25八年级·天津·期中）已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． (1)如图1，连接、．求证：四边形为菱形； (2)如图1，求的长； (3)如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【变式18-2】（24-25八年级·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，，分别在，上，且，，分别是，上的两个动点，点从向移动，点从向移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是______； A．平行四边形  B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)若四边形为菱形，求的值； (3)若四边形为矩形，求的值． 【变式18-3】（24-25八年级·广东广州·期中）已知如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点在边上运动时，点到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)当的面积取最小值时，求菱形的面积． 【题型19 四边形中的存在性问题】 【例19】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． (1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； (2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式19-1】（24-25八年级·浙江温州·期中）如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 【变式19-2】（24-25八年级·江苏南京·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点O是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点O旋转得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点O也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点O旋转一定的角度得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点O旋转得到，当各边与各边分别交于点G、E、F、H．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点E、F、G、H分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 【变式19-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图，边长为6的正方形的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点E． (1)当点D坐标为时，求证 (2)若点D坐标为，结论是否成立，请说明理由； (3)在y轴上是否存在点M，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【题型20 四边形中的探究问题】 【例20】（24-25八年级·吉林松原·期中）综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 【变式20-1】（24-25八年级·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【变式20-2】（24-25八年级·江苏南通·期中）实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 【变式20-3】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$