专题04 二元一次方程组（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

专题04 二元一次方程组 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 【考点2】二元一次方程的解★ 【考点3】解二元一次方程组★★ 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 知识点 1：二元一次方（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 知识点2：解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点3：二元一次方程（ 组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则k的值为 ． 【考点2】二元一次方程的解★ 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若是方程的一个解，则的值为 ． 【考点3】解二元一次方程组★★ 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程组： (1) (2) 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）解方程组：． 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）解方程组： (1)； (2)． 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知方程组，则 ． 3．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 2．（22-23八年级上·四川达州·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 3．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值． 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在解关于、的二元一次方程组时，解得，则代表的数是（   ） A．5 B．1 C． D．3 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解满足，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 1．（21-22七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优惠方式如下： 邮购册数 100以上（含100） 邮寄费 总书价的 免费邮寄 优惠方式 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？ 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由，可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是，宽是）分别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是的正方形小洞，图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 【考点2】二元一次方程的解★ 【考点3】解二元一次方程组★★ 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 知识点 1：二元一次方（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 知识点2：解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点3：二元一次方程（ 组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．方程两边都是整式，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程二元一次方程．根据二元一次方程的定义，即可判断答案． 【详解】解：A、是二元一次方程，所以选项A正确，符合题意； B、的最高次数是2次，不是二元一次方程，所以选项B错误，不符合题意； C、最高次数是2次，不是二元一次方程，所以选项错误，不符合题意； D、中含有分式，不是二元一次方程，所以选项D错误，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，由定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、，未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D、，含未知数项的最高次项是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此得到，，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点2】二元一次方程的解★ 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．将，代入计算得到x为正整数即可． 【详解】解：方程， 解得：， 当时，；时，；时，， 则方程的正整数解有3个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入得：， 解得， 故答案为：． 【考点3】解二元一次方程组★★ 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法是解本题的关键． （1）把方程①化为，再利用代入法求解即可； （2）由先求解y，再求解x即可． 【详解】（1）解：， 由①，得．③ 将③代入②，得， ， ， ． 将代入③，得． 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， ． 将代入①，得， ． 所以原方程组的解是． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组； （2）用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： 由①得：③ 将③代入②，得： 将代入③，得：， ∴方程组的解为：． （2）解： ，得：， 化简得： 将代入①，得： ∴方程组的解为：． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得： 将③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴该方程组的解为：． 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，选择合适的方法是快速解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 因此该方程组的解为； （2）解： ，得：， 将代入，得：， 解得， 因此该方程组的解为． 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组的解是解题的关键．仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】解：关于，的方程组 变形为， 关于，的方程组的解是， ，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知方程组，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． （）根据题意，利用例题方法求解即可； （）根据题意，利用例题方法求解即可得． 【详解】（1）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 2．（22-23八年级上·四川达州·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组；把 代入方程组的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于，的方程组，解方程得出，的值，然后代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：将代入得，， 解得： 将代入得，， 解得： ∴， ∴原方程组为： 得： ③ 得， ∴ 将代入②得， 所以原方程组的解为 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ，即， 得：，解得：， 将代入，得， 解得： 解得：． 3．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义．根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， ． 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，掌握以上知识是解题的关键； 根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：由题意可知方程组的解和关于的二元一次方程组的解相同． 解方程组得：， 将代入方程组得：， 解得：， 所以； 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先求出方程组的解，再把代入得出，求出、的值，最后把、的值代入(     即可得解． 【详解】解：关于，的方程组和有相同解， 解方程组解得：， 把代入得：， 解得：， ． 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入原两个方程组即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴x，y满足， 由①得③， 将③代入②得， ∴， 将代入方程组与可得到， 由得， ∴， ∴． 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在解关于、的二元一次方程组时，解得，则代表的数是（   ） A．5 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先把代入原方程，得出一个新的二元一次方程组，再利用加减消元法即可得出答案． 【详解】解∶把代入原方程组得： 用①②得： ， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法求出，再由得到，解方程即可． 【详解】解： 得：， 即， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出．根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 1．（21-22七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得： ； 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键．根据题意列出方程组进行解题即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】(1) (2)这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可； （2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或， 所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优惠方式如下： 邮购册数 100以上（含100） 邮寄费 总书价的 免费邮寄 优惠方式 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？ 【答案】两次分别邮购杂志80册、120册 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．首先判断出两次购买数量的范围，设一次邮购纪念册x（）册，第二次邮购纪念册册，根据两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，建立方程组求解即可． 【详解】解：若每次都购买100本，则 ， ∴一次购买少于100本，另一次购买多于100本， 设一次邮购纪念册x（）册，第二次邮购纪念册册， 由题意，得， 整理得：， 解得， 答：两次分别邮购杂志80册、120册． 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 (2)有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨； (2)①有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲型车租14辆，乙型车租3辆；②当租用型车4辆，型车9辆时，租车费最少为元； 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜吨，吨，然后根据表格所给数据列出方程组求解即可； （2）①设计划同时租用甲型车辆，乙型车辆，根据题意可得，然后求出a、b的范围结合a、b是正整数即可得到答案；②根据①所求代入进行求解即可． 【详解】（1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨； （2）解：①设计划同时租用甲型车辆，乙型车辆， ， 则有； 为正整数， ∴只能为3的倍数， ∴ ，9，4， 有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲型车租14辆，乙型车租3辆； ②甲型车每辆需租金1000元次，型车每辆需租金1200元次， 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）． 当租用型车4辆，型车9辆时，租车费最少． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由，可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程，移项即可得到，据此求解即可． 【详解】解：由，可以得到用x表示y的式子是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”、解一元一次方程，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于，的方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，根据剩余列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程，根据互换其中一件，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．根据题意得到关于x、y的二元一次方程组求解，再代入求出a的值即可． 【详解】解：由题意得，解得：， 将代入得， 解得：， 故答案为：1． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是，宽是）分别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是的正方形小洞，图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图①可得，小长方形宽的2倍减去长是中间正方形小洞的边长，由图②可知小长方形的长的3倍等于宽的5倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由图①可知，，由图②可知， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解方程组：， 解：①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解是； （2）解：解方程组： 解：①＋②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 【答案】(1)台梅每千克36元，乌梅每千克16元 (2)50千克 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可； （2）设最多能购买台梅千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，再建立不等式即可． 【详解】（1）解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则 ，     解得：， 答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元； （2）设最多能购买台梅千克，则 ， ∴， 解得：， 答：最多能购买台梅50千克． 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【详解】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$