精品解析：上海市崇明区正大中学，东门中学，实验中学 2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（五四制）

2024学年度第二学期七年级期中检测 数学试卷 时间90分钟 满分100分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 在中，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 2. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 3. 如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； B、∵， ∴是的平分线，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，故该选项正确，符合题意； D、∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 4. 如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：， ， ， 折叠凳的宽可能是， 故选：A． 6. 下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 在中，，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形三个内角的和是．根据已知条件和三角形的三个内角的和是求出答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 8. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 9. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 10. 如图，直线，相交于点O，，则的度数为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的含义，角的和差运算，对顶角的性质，先求解，可得，再进一步可得答案. 【详解】解：由图可知：， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵直线，相交于点O， ∴（对顶角相等）， 故答案为：． 11. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 12. 如图，，在边上，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 13. 如图，、分别为的高和中线，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的中线的性质可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：为中线，， ， 为的高，， 故答案为：6 【点睛】本题考查三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的含义，关键是根据三角形的面积等于底与高乘积的一解答半． 14. 如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 15. 将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，推出，得到，据此即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 16. 小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序______． 【答案】③④①② 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和定理相矛盾， ∴， ∴这四个步骤正确的顺序是③④①②． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．也考查了等边对等角，三角形内角和定理． 17. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 18. 如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，分别过作，过作，过作，再根据平行线的性质和角的和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． 设，则， ∵平分， ∴， 设， ∴， 过作，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题7分，第24、25题8分，第26题10分，满分58分） 19. 已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、， 由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ， 所以是等腰直角三角形，, 则 20. 如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： （1）作边上的高； （2）过点作直线的垂线，垂足为； （3）点到直线的距离是线段_______的长度； （4）线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）； （4），； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【小问1详解】 解：如下图所示， 线段即为边上的高； 【小问2详解】 解：如下图所示， 【小问3详解】 解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； 【小问4详解】 解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 21. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴． 22. 如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 按照所给证明思路，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；，；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 23. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 24. 如图，已知为的两条高，点在上，已知． （1）求证：． （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． 【小问2详解】 解：， ． 由（1），知 ， ． ． 25. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 26. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】（1）， （2），；， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【小问1详解】 解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期七年级期中检测 数学试卷 时间90分钟 满分100分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 在中，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 2. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 4. 如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 在中，，，则的度数为________． 8. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 9. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 10. 如图，直线，相交于点O，，则的度数为 _________ ． 11. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 12. 如图，，在边上，，，则的度数为______． 13. 如图，、分别为的高和中线，若，，则的面积为______． 14. 如图，已知，平分，如果，那么_________°． 15. 将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 16. 小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序______． 17. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 18. 如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 三、解答题（本大题共8题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题7分，第24、25题8分，第26题10分，满分58分） 19. 已知△中，，，求、、的度数及的面积． 20. 如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： （1）作边上的高； （2）过点作直线的垂线，垂足为； （3）点到直线的距离是线段_______的长度； （4）线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 21. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 23. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 24. 如图，已知为的两条高，点在上，已知． （1）求证：． （2）若，求的长度． 25. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 26. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $