精品解析：吉林省松原市宁江区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

宁江区2024—2025学年度下学期期中教学质量检测八年级数学试题 数学试题共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，公路 互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（ ） A. 3千米 B. 4千米 C. 12千米 D. 距离不确定 5. 如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 如图，的顶点坐标分别是，，，则B点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 9. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 10. 如图，点 是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 11. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 已知，，求代数式的值． 14. 如图，在四边形中，， ．求证：四边形是平行四边形． 15. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）小溪流的长为________千米． （2）求四边形的面积． 16. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，按要求画图： （1）在图①中以A为顶点作面积为4的菱形；（ ） （2）在图②中以A为顶点作面积为5的正方形． 17. 如图是一个滑梯示意图， 是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． （1）若，则________米； （2）若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 18. 如图，在平行四边形中，点 是边的中点，连接并延长，交的延长线于点 ，连接， ． （1）求证：； （2）当四边形 是矩形时，若，求的度数． 19. 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）根据尺规作图，判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求四边形的周长． 20. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） （2）从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ （3）资料显示：伤害无防护人体只需要 的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位： ），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 21. 【感知】如图①，四边形均为正方形．通过证明________________可得 ． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且，求证： ． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点 在边上，点在延长线上，若，，若菱形的面积为，则菱形 的面积为________． 22. 如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以 的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）________，________度； （2）当时， ________，________；（用含t的式子表示） （3）是否存在t值，使以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）当点P关于直线 的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁江区2024—2025学年度下学期期中教学质量检测八年级数学试题 数学试题共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可．最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，公路 互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（ ） A. 3千米 B. 4千米 C. 12千米 D. 距离不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵公路 互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米， ∴千米， 故选：A． 5. 如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 6. 如图，的顶点坐标分别是，，，则B点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对边分别平行，以及考查坐标与图形的性质等知识点；掌握平行四边形的性质和坐标的基本特征是解答该题的关键．根据平行四边形的对边相等，B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标． 【详解】 四边形是平行四边形， ， B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等， O， A，C的坐标分别是，，； B点的坐标为 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数是解题的关键．先求出，，根据，得出即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为： ． 9. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 10. 如图，点 是矩形的对角线 的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【解析】 【分析】先证明是 的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出 的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 是矩形的对角线 的中点，是边的中点， 是 的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 11. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 如图1，图2中，连接 ．在图1中，证 是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接 ． 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形 是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ． 13. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据题意可求出的值，再由代值计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ． 14. 如图，在四边形中，， ．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明得到，，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】证明：在 和 中， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 15. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形）， 是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）小溪流 的长为________千米． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）16平方千米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 ， ∵，千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 16. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，按要求画图： （1）在图①中以A为顶点作面积为4的菱形；（ ） （2）在图②中以A为顶点作面积为5的正方形． 【答案】（1） 如图所示，四边形是面积为4的菱形； （2） 如图所示，四边形是面积为5的正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知正方形和菱形的判定定理是解题的关键． （1）画一个对角线互相垂直平分且对角线的长分别为2和4的四边形即可； （2）画一个边长为的正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形 是矩形．已知米，米． （1）若，则________米； （2）若将滑梯水平放置，则刚好与 一样长，求出的长． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理解三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形的性质可得米，然后通过三角函数的知识即可求解； （2）通过矩形的性质得到米，米，然后设，则，在中，通过勾股定理进行计算，即可求解； 【小问1详解】 解：由题可得， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴米， ∵， ∴， 解得： 米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 四边形 是矩形， ∴米，米， 设，则， 在中，， 即，解得，， ∴米． 18. 如图，在平行四边形中，点是边 的中点，连接 并延长，交的延长线于点，连接 ，． （1）求证：； （2）当四边形 是矩形时，若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，即 ，根据平行线的性质得，又点是边 的中点，所以，然后由三角形的判定方法即可求证； （）由四边形 为矩形，则，，，则，然后由三角形的外角性质和等腰三角形的性质得， 再通过平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ， ∴， ∵点是边 的中点， ∴， 在和 中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形 为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的度数为． 19. 如图，已知： ，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交 于点 ，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）根据尺规作图，判断四边形的形状，并说明理由； （2）若 ，，．求四边形的周长． 【答案】（1）菱形，见解析 （2）25 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据作图得到垂直平分 ， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据作图可得，垂直平分 ， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵ ，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 20. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） （2）从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ （3）资料显示：伤害无防护人体只需要 的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位： ），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）会，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，弄清题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为： 【小问2详解】 解：把代入公式得：， 解得：； 所抛物体下落的高度是 ． 【小问3详解】 解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当 时，． 解得． 把代入公式得，． 质量为的玩具经过落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 21. 【感知】如图①，四边形均为正方形．通过证明________________可得 ． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且，求证： ． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点在边 上，点在 延长线上，若，，若菱形的面积为，则菱形 的面积为________． 【答案】【感知】；【拓展】证明见解析；【应用】 【解析】 【分析】感知：利用正方形的性质可证，可得 ，据此即可求解； 拓展：利用菱形的性质证明，即可求证； 应用：由菱形的性质可得，进而可得，再根据得，即得，最后根据即可求解； 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：感知：∵四边形均为正方形， ∴ ， ，， ∴， 即 ， ∴， ∴ ， ∴通过证明可得 ， 故答案为：， ； 拓展：∵四边形均为菱形， ∴ ， ，，， ∵， ∴ ， ∴， 即 ， ∴， ∴ ； 应用：∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴， 同理拓展可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以 的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）________，________度； （2）当时， ________，________；（用含t的式子表示） （3）是否存在t值，使以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）当点P关于直线 的对称点恰好在直线 上时，请直接写出t的值． 【答案】（1）16，120 （2）， （3）存在，或 （4）1或3 【解析】 【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可得 ，则，即可求解； （2）根据已知和平行四边形的性质可得，，结合已知时间即可知即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，结合平行四边形的性质得；当为对角线时，由平行四边形得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，当点的对称点在线段上时，判定是等边三角形，有；当点的对称点在线段的延长线上时，求得，列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形，，，， ， ，， ，， ， ∴，， 则， 故答案为：16，120； 【小问2详解】 解：∵点P从点D出发沿方向以 的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：存在， 当为边时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动， ∴， ∴， 综上所述：的值为或； 【小问4详解】 解：1）如图，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 2）如图，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，t为1或3，点P关于直线 的对称点恰好在直线 上． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质和对称的性质等知识，利用分类讨论思想和动态的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $