精品解析：2025年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学（黑卷 ）数学试卷

2025年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学（黑卷） 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵(−)×(−)=1， ∴−的倒数是−. 故选D. 2. 鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可，注意存在能看见的用实线，存在看不见的用虚线． 【详解】解：观察可知，主视图为： 故选A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意． 故选：C． 4. 为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（ ） A. 59 B. 67 C. 82 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是求解中位数，把数据从小到大排序，根据处在最中间的数或最中间的两个数的平均数可得中位数，从而可得答案. 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：59,67,72,82,86,91,94， 最中间的数是， ∴这组数据的中位数是82． 故选：C 5. 如图， 是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图，连接 ∵ 是的直径， ， ∴． 故选：D． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是 人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗，列出方程即可． 【详解】解：设客人是 人，由题意，得：； 故选B． 7. 如图， 和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，证明即可求出结论． 【详解】解：和均为等腰直角三角形， ， ，即， ， ， 故选：A． 8. 已知拋物线的顶点坐标为，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，二次函数有最小值为3 C. 当时， 随 的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据顶点坐标可把解析式化为顶点式，再由当时，，可判断A；根据函数开口向上结合顶点坐标可判断B、C；求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可判断D． 【详解】解：在中，当时，， 根据题意可知，抛物线的函数表达式为，将代入，可得，故A错误； 由顶点坐标和知，抛物线开口向上， 当时，二次函数有最小值为，故B错误； 由抛物线的顶点坐标知对称轴为直线，由知抛物线开口向上， 当时， 随 的增大而增大，故C错误； 令，则，则或 或 抛物线与 轴的交点坐标为和 结合拋物线的图象知当时，，故D正确． 故选：D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 10. 若有意义，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 11. 如图，在 中，的平分线 交 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得，连接，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 证明，推出，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】如图，取 的中点，连接， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和点 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，交于点，交于点 ，连接 ．若，则的周长为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活应用线段的转换是关键．根据垂直平分线的性质，得，，在中，根据勾股定理求出，得出，，再根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得，， 在中，， ， ， 的周长为． 故答案为：26． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元一次不等式组，掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，有理数的乘方，化简绝对值和特殊角的三角函数值，再进行加减计算； （2）分别求解每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式①，去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解不等式②，去分母，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 原不等式组的解集是． 15. 成都某中学准备每年组织开展“风筝节”“我运动，我快乐”“跳蚤书市”“校园十佳歌手大赛”“元旦文艺晚会”等课余活动，让学生劳逸结合．该校采用随机抽样调查的方式对部分学生个人最喜爱的一项课余活动进行了调查，并根据收集到的信息分为：风筝节；：我运动，我快乐； ：跳蚤书市； ：校园十佳歌手大赛； ：元旦文艺晚会共五组进行统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“”对应的扇形圆心角的度数为________； （3）本次调查中，最喜爱“我运动，我快乐”中有品学兼优的两男和三女共5名学生，若从中随机抽取两名学生作为该活动的主持人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）300， 补全条形统计图如图； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据选择“ ”的人数与占比求得接受调查的学生人数，进而求得选择“”的人数，即可补全统计图； （2）根据的人数占比乘以，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解： 选择“ ”的人数有75人，在扇形统计图中的占比为 ∴接受调查的学生共有（人）． 选择“”的人数为（人）． 故答案为：． 【小问2详解】 选择“”的人数为66人， “”在扇形统计图中的占比为 扇形统计图中“”对应的扇形圆心角的度数为． 故答案为：． 【小问3详解】 将该5名学生分别记作：男1、男2、女1、女2、女3，根据题意，列表如下： 第二次 第一次 男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男2，男1） （女1，男1) （女2，男1） （女3，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） （女3，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） （女3，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） （女3，女2） 女3 （男1，女3） （男2，女3） （女1，女3） （女2，女3） 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有12种， ∴P（恰好抽到一名男生和一名女生） 16. 三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世界同时期体型最大的青铜器．小明与同学去三星堆博物馆研学，想实地测量神树的高度．他在地用测角仪测得神树顶部 的仰角为，再向前走1米到达地，再次用测角仪测得神树顶部 的仰角为，其中测角仪离地面1.2米，点在同一直线上，所有点在同一平面上，通过查阅资料获知青铜神树的高度为3.96米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】误差为米，建议：多次测量取平均值，可以减小误差 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形中三角函数（正切函数）的应用以及矩形性质的运用．解题关键在于通过作辅助线构建直角三角形，利用仰角得到三角函数关系，结合已知线段长度建立方程求解未知线段长度，进而求出物体高度．根据在不同位置测量神树顶部的仰角以及两点间距离和测角仪高度，需要通过构建直角三角形，运用三角函数关系求出神树高度，再与实际高度对比计算误差． 【详解】解：如图，延长交于点 ． 设，由题知于点于点于点于点 ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ． 在中，． 在中，，，即， ． ， ， ， （米）， 误差为（米）， 建议：多次测量取平均值，可以减小误差（答案不唯一）． 17. 如图，在中，，点 在 上，以 为半径的与 相切于点 ，分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD． 是的切线， ， ∴． 由题意可知，是的直径， ， ， ， ， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，根据是的直径得，则，然后根据半径相等以及等边对等角，即可作答． （2）先得由（1）知，故，则，，得，运用勾股定理算，得，再证明，得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的切线， ， ∵， ． 由（1）知， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， 在Rt中，, ． 由（1）知，， 又， ， ． 设， 则， ， 解得或（舍去）， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形的相关运算，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与 轴和 轴分别交于点 和点 ，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． （1）求点的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； （3）是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在满足条件的点，其坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合， （1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标； （2）过点作轴，垂足为．根据已知可得，设，根据图形面积建立方程，求出点M的坐标，然后勾股定理，即可求解． （3）根据角的2倍关系，考虑分类画出图形（点在直线 下方，点在直线 上方），由于是直线 与 轴相交得到的，利用平行线转换到以为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线的表达式，联立反比例函数的表达式求解． 【小问1详解】 解： 在直线上， ，解得， 点的坐标为，直线的表达式为 ． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， 点的坐标为； 【小问2详解】 如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得， ． 轴， ． 点在反比例函数的图象上，轴，轴， ． ， ． 设， 则， 解得或， 经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧， ， ， ； 【小问3详解】 如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点 ，延长CE至点 ，使得． ， ． 由（1）（2）得， ， ， 联立， 解得或， ； 若点在直线 上方，过点 作交的延长线于点 ，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点． ， 联立， 解得， ． 此时， 是GH的中点， ， ， 联立， 解得或， ． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20. 若是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的定义可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 21. 如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影．向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中（落在阴影边线处忽略不计），则飞镖击中阴影区域的概率等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，解题的关键是分别求出阴影部分面积和正方形面积，再根据几何概率公式计算． 设正方形的边长为，则对角线长为，圆弧的半径为，分别计算正方形面积和阴影部分面积，根据几何概率公式，计算镖击中阴影区域的概率． 【详解】如图，设正方形的边长为，则对角线长为，圆弧的半径为， 分别取边的中点，连接， 其中 与 交于点 ，则与交于点 ， 由对称性知阴影图形的面积为， 飞镖击中阴影区域． 故答案为： 22. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为3，那么称为“三九数”，则最大的“三九数”是_______．“三九数”的千位数字与个位数字交换后的数字记为，百位数字与十位数字交换后的数字记为,，当为整数时，则满足条件的的最小值与最大值的和为______． 【答案】 ①. 8916 ②. 10700 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，数字规律探索，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据“三九数”的定义进行求解即可；根据题意得出，根据题意得出，根据，，且为正整数，求出或或或或，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意知，“三九数”的千位数字最大为8，百位数字最大为9，则十位数字为1，个位数字为 ， ∴最大的“三九数”为8916； 由题意可得，， ∴， ∴“三九数”， 则 ， ， ， 当为整数时，则为整数， 的各个数位上的数字均不为， ，，且为正整数， ，且为正整数， 为整数， 或33， 或或或或， ，即满足条件的的最小值与最大值的和为10700． 故答案为：8916；10700． 23. 如图，在矩形中，，动点 从出发沿射线以的速度运动，同时动点 从 出发沿射线以的速度运动， 为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点 在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点 在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元． （1）求每份套餐和每份套餐的售价； （2）为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额． 【答案】（1）每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元 （2）套餐售价为21元，销售额最大，为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设每份套餐的售价为 元，每份套餐的售价为 元，根据一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元建立方程组求解即可； （2）设销售定价每份降低元，套餐的销售总额为元，根据题意列出W关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每份套餐的售价为 元，每份套餐的售价为 元， 由题知， 解得， 答：每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元； 【小问2详解】 解：设销售定价每份降低元，套餐的销售总额为元， 由（1）知套餐一份售价为26元，每天的销售量为100份， ， 为保证商家至少获得的利润， 商家的最低销售定价为元，每份套餐降价不超过元， ． 又， ∴当时， 随 的增大而增大， 当时，即每份套餐售价为21元，套餐的销售额最大，最大销售额（元）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与 轴交于点（点在点的左侧），与 轴交于点 ，且． （1）求抛物线的函数表达式和对称轴； （2）如图1，直线交 轴正半轴于点 ，把线段沿直线 翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； （3）如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点 为时，直线与直线 交于 点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）先求解，将点代入，可得，再进一步求解即可； （2）如解图①过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ．由，可得 在抛物线对称轴的右侧，证明，可得．过点作交CD于点 ，过点 作于点 ．证明，可得点 与点重合，，再进一步求解即可； （3）设，求解直线的表达式为，如解图②，过点分别作 轴的垂线，垂足分别为．证明，可得，可得：．求解直线 的表达式为，可得，，把代入上式得，可得，即点 为一个定点，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 将点代入，得， 拋物线的函数表达式为， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如解图①过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ． ， ∴ 在抛物线对称轴的右侧， ． 根据翻折的性质可知，， ， ， ， ， ． 过点作交于点 ，过点 作于点 ． 在与中，， ， ， 又， ， ， 点 与点重合， ， 将点代入中，得， 解得； 【小问3详解】 解：是定值．理由如下： 设， 设直线MN的表达式为， ， 得：， ∵， 解得， 把代入①得： ， 直线的表达式为， 如解图②，过点分别作 轴的垂线，垂足分别为． ∴， 同理可得：， ∴， ， 即， 整理得：． 由直线 过点，得， 直线 的表达式为， 联立， 整理得，， 把代入上式得， ． ， ，即点 为一个定点， ． ， 轴， ∴， ， ， 为定值，定值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数，一次函数的解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，在平行四边形中，对角线 与相交于点 ，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】 （1）如图，当点和点 重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图 ，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在点平移到与点 重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形得，再根据三角函数和勾股定理求出 ，进而得解； （2）连接，设与交于点 ，证明，得到，，再证明，得到，，进而求出和，从而得解； （3）由是等腰三角形，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，点和点 重合， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，设与交于点 ， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的值是； （3）①当时，如图，连接，交AC于 ， 由（2）知：四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，作射线， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，当时，最小， 此时四边形仍为菱形， 由①知：， ∴， ∴， ∴不成立； ③当时，点在CD的垂直平分线上， 如图，过点作于点 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴点在上， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，姜形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学（黑卷） 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是 A. B. C. D. 2. 鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（ ） A. 59 B. 67 C. 82 D. 86 5. 如图，是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知拋物线的顶点坐标为，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，二次函数有最小值为3 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解=______． 10. 若有意义，则的取值范围是_____． 11. 如图，在 中，的平分线 交于点，在 的延长线上取一点，使得，连接，则的值是_______． 12. 已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可） 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 成都某中学准备每年组织开展“风筝节”“我运动，我快乐”“跳蚤书市”“校园十佳歌手大赛”“元旦文艺晚会”等课余活动，让学生劳逸结合．该校采用随机抽样调查的方式对部分学生个人最喜爱的一项课余活动进行了调查，并根据收集到的信息分为：风筝节；：我运动，我快乐；：跳蚤书市；：校园十佳歌手大赛；：元旦文艺晚会共五组进行统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“”对应的扇形圆心角的度数为________； （3）本次调查中，最喜爱“我运动，我快乐”中有品学兼优的两男和三女共5名学生，若从中随机抽取两名学生作为该活动的主持人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 16. 三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世界同时期体型最大的青铜器．小明与同学去三星堆博物馆研学，想实地测量神树的高度．他在地用测角仪测得神树顶部的仰角为，再向前走1米到达地，再次用测角仪测得神树顶部的仰角为，其中测角仪离地面1.2米，点在同一直线上，所有点在同一平面上，通过查阅资料获知青铜神树的高度为3.96米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 17. 如图，在中，，点在上，以为半径的与 相切于点，分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． （1）求点的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； （3）是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 化简：________． 20. 若是一元二次方程的两个根，则________． 21. 如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影．向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中（落在阴影边线处忽略不计），则飞镖击中阴影区域的概率等于________． 22. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为3，那么称为“三九数”，则最大的“三九数”是_______．“三九数”的千位数字与个位数字交换后的数字记为，百位数字与十位数字交换后的数字记为,，当为整数时，则满足条件的的最小值与最大值的和为______． 23. 如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元． （1）求每份套餐和每份套餐的售价； （2）为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的函数表达式和对称轴； （2）如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线 翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； （3）如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线 交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 26. 如图，在平行四边形中，对角线 与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图 ，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $