陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三第十二次模拟考试数学试题

数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题 基和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位里， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿航 和答题卡上的非答题区城均无败。 4考试结来后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合A在奖，BeN之23，则有B的子集个数为0阳Pg 个一在，众国 长 行0武能士位。水 C15个t0中午， D.16 李一第乙凭，小个用中流从容个：代.个 2已知复数：满足4-3ix=:+21,则： 且，浴一面蒲容的证，数在游帕0辛净注修做，处途中的窄资菲别 A5个州海同不B2表醉油1数C原晶器物脂价打与几巨时架经异 照 3.已知M为△ABC所在平面内的点，且BA+号BC=2BM若CM=mA4nBC;则严) 再怕01一来，1图供产(】 A号 R号 3 D.3 5岁9：C 4已知抛物线Cy=女的焦点为F,其准线与双曲线E后- =1(a>0,b>0)的两条渐近线 分别交于点M,N,若△MNF为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为 A./5 B.2 C.3 D.② x2-2ax+1x<1, 5.已知函数f(x) 是-2 在R上单调递减，则实数a的取值范围是 A(-0∞，2] 1,] C.[1,2 D.[2,+∞) 6.若{a.十n}是等比数列，且a1=2,a:=4,则数列{a.}的前8项和为 A.689 B.716 C.729 D.1597 数学第1页（共4页）】 7.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的制芦，也可称为“葫芦曲线”，它的性质是每经过相同的时间间 隔，它的振幅就变化一次如图所示，某条葫芦曲线的方程为少-(2一[]）1s中r(0< ,z≤2x其中[x]表示不超过x的最大整数，如[一2.1门=-3,1<w≤3且w∈Z),且经过点 M(胥，小，则该条葫芦曲线与直线x=号x交点的纵坐标为 A号 。图心君密运围过，限处竿文B士区代r共 (代1)，2 c D.± 2 G入s.a=0D,8- 14、 =人，中班入四前，明 8.已知定义在R上的函数f八x)满足f1)=合，且VxR,fx+1)≥f(x)大fx十)≤ 团+z+是，则f101) 5mA/人进出四欢() A1364 B.1363 C.1264 D.1263 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 (位2).a 9,由某班数学考试成绩的数据分析可知，男生成绩X与女生成锁X均服从正态分布，且X~ N(100,16),Y~N(100,25),则 点中的0,5认0代9，M.=D A.E(X)=100 B.D(Y)=5 格4而平1G0:班张(D CP(X92)+P(X≤108)=1 PX112)R912》aa直本 10.已知函数f(x)=x十ax2-x一3的图象关于点(-1,0)对称，则 5A1)=0> Bx=I是f(x)的极小值点 C当-1<x<0时，f(x)<f(x-1) D.若f心x)在(-1，m)上有最小值，则m>23-3 (I).TI 11.如图，四棱锥P-ABCD中平面PAD平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，侧 面PAD为正三角形，M是PA的中点，点N满足示=AP元，其中A[O,1门，则- ABM与PC所成角的余弦值为四 :四其图 B不存在点N使得DNLBN 1911淀别精，点两9,9平交)已1处 C若四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为登。 D若入-过点M,N,B的平面与线段PD交于点Q,则品-号 ·数学等第2页（共4页）】 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.精出，的 12若n(+培)门号则如(2a叠)=际 13,已知过点P(-1,1)的直线1与圆Cx2+y2+6z=0交于M,N两点，则弦MN的中点Q的 轨迹方程为 比m空是调，（红异）州 14.从1,2,2024中任取两数a,b(可以相同)，则7+8的个位是7的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 士人 15.(13分) 如图，在四边形ABCD中，A-吾，AB=3,AD-35,CD-3,∠C=2∠CBD, Q)求BD的长八≤（任+八，月3V且，名=八：虽高t八简H9R (2)求四边形ABCD的面积 =(0f)八厦，。81Fm儿℃ ise rn 用 16.(15分) 一 如图，在兰按吾DEF ABC中，C￥面ABC.AB LBC,宜BA已BC,AC2DF-22. CF=2,M,P分别为AC,CF的中点. .(as,00I)V一7，(0！，0I) (1)求证：CD⊥平面PBM: 2=0( 001=6X03人 (2)求直线BE与平面M所成角的正弦值. 1=(801>X)9+(9 眼，得权(0，【一)点干失梁图的E一x一n+. M的（红）1国 17.(15分) ,已知E为椭圆C:后+芳=1(@>6>0)的个焦点，C的长半轴长与焦距相等，且C与直线 y=3相切：，04 (1)求椭圆C的方程： (2)过F的动直线I与C交于P,Q两点，请探究FP|川FQ|与|PQ之间有何关系？并 证明。 数学物第3页（共4页）】 18.(17分) (已知函数faa+e-是(a∈R). (1)当a■1时，求曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线方程， (2讨论f(x)的单调性： (3)证明：当>号时，函数g)=宁a产-f儿)只有-个零点。 19.(17分) 某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位聚客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖 鼠 机会，在一个不透明的盒子中放有3个大小、质地完全相同的小球，小球上分别标有0,2,5三 个数字，抽奖规则为：每个顾客从盒中随机抽取1个小球，抽到标有数字5的中一等奖，抽到 标有数字2的中纪念奖，抽到标有数字0的没有奖，每位顾客只能轴取一次，且每位顾客抽 取的结果相互独立记n位消费者抽取的小球上的数字之和为X,X的不同取值个数为 1)求aaa,的值m-酒背8=4=11日+ 解 (2)当n=5时，求X=10的概率： (3)求数列{1马 的前n项和S 胞 败学第4买（共页）】 数学 参考答案 1.B因为集合A={x-2≤x≤2)，B=(0,1,2},所以A∩B={0,1,2},所以A∩B的子集个数为2=8.故 选B 2D因为4-3孤=计所以：行器1=行引-震-E故选D 3A因为丽=心+CM,所以脑+号成=2丽=2(B心+C,所以Gi=-号店-名武，所以m 一之=一音放只-号放选八 4.A抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=一1，双曲线E的两条渐近线方程为y=土名x,不妨取 M(-1,一名)，N(-1,名)，△MNF为等腰直角三角形，由对称性可知，直线MF的倾斜角为45，则e= 受-1，解得会=2，所以双曲线E的离心率e=台-√+号-厅，故选A 5.B因为≥1时，x)=是-2：单调递减，又fx)在R上单调递减，所以x<1时，fx)=2-2ax+1单调 a≥1， 递减，则只需满足2二2公≥-1.解得1a<受·故选且 6.C设等比数列a,十n的公比为g,则g=当=2，所以a.十n=(a1+1Dg1=3X2,则a,=3×公 a+1 …放数列a,的前8项和为3X二号-1生×8=29.放选C 7.C将点M(号xl)代入葫芦曲线的方程可得(2-[])川sm牙-1，即sm野a-1,由0<<3。 we,可得m=2,因此曲线方程为1=(2-号[=])1如2x,当x=号x时，可得1 3-2是]血(x号训-(-[碧]川血-血-9，所以交点的纵坐标 为士写故选C &D由fx+1≥fx)+号，可得x+1)-x)≥子①，则有fx+2)-fx+1)≥中史@，x+3) x+2≥寸g,f心x+40-f飞x+3≥牛④，将0②③④左右分别相加，得fx+)-fx)≥x+是， 又fx+4)≤fx)+z+是，即fx+4)-fx)x+是，故得fx+4)-fx)=x+是，所以f5)-fI)= 号，9)-f5)=号，13)-9)=号，97)-f93)=1,101)-97)=1号7将以上式子左右 分别加：得不10D一=是十提进士一十婴g一多9 2Z×25=12622,又f1)=2,所以 2 f101)=1263.故选D. 参考答案第1页（共6页） 9.AC由X一N(100,16),得E(X)=100,A正确：由Y~N(100,25),得D(Y)=25,B错误：由于随机变量X 服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：x=100,所以P(X<92)+P(X≤108)=P(X>108)十P(X≤ 108)=1,C正确：因为X~N(100,16),Y~N(100,25),所以P(Y≤112)=P(Y≤100+12)<P(Y≤100+ 15)=P(X≤100+12)=P(X≤112)，D错误.故选AC. 10.ACD因为函数f(x)=x2十ax2一x一3的图象关于点（一1,0）对称，且f(0)=一3，所以f(一2)=3，即一8 +4a+2-3=3,解得a=3,所以f(x)=x2+3x2-x-3,f1)=0,A正确：f(x)=3x2+6x-1,令f(x)> 0,得>25-3或<-2店-3，令(<0，得二2有-3<r<253,所以函数f)在区间 (-,二2-3)，(25-3，+)上单调递增，在区间（仁2-3,25）上单调递减，所以r 2一3是函数x)的极小值点，B错误；当-1<<0时，>x一1，且函数在区间（一2,0）上单调递 减，所以fx)<x-1),C正确：由上知，f(x)在(-1，m上有最小值，则m>25-一3，D正确.故选ACD 11.ACD取AD中点O,BC中点Z,连接OP,OZ,则OZ⊥AD,OP⊥AD.又平面 PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OPC平面PAD,所以PO⊥ 平面ABCD.因为OZC平面ABCD,所以POLOZ,所以直线OP,OA,OZ两两垂 直，故以O为原点，OA,OZ,OP所在直线为x,y,x轴建立空间直角坐标系，则 A10,0),B1,20,C-1,2,0,P0,0,D(-10,0,M20,号)，D币 10w),元=(-12，-萨=(-1，-23)，i=(-之，-2，号） =威而1-惑离有动平A正： 因为Di=D+Pi-D+AP元=(1-A,2a,3-√3)，BN=B+PN=B驴+aP心=(-1-A,-2+2a, 5-3),若DN⊥BN,则DN.B亦=0，即(1-A,2AW5-5)·(-1-,-2+2A,5-√5)=8- 10以十2=0，解得A=1或A=子，所以存在点N,使得DNLBN,B错误： 设OZ交BD于点O,则可设球心O,为(0,1，)，又OA=0P,所以√++Z=√1十(g3),解得 g-号，所以外接球半径R=√十1+（停=√胥，外接球表面积为R=学，C正确， 设-市，则脑-(-之，-2，)，成=(-是，-1，)，成-+P成-前+P币=(-1-，-2， 5一3).因为M,N,B,Q共面，则B,B成，d共面，故存在唯一实数对(m,),使得B或=mBM+nB成， 即(-1--25-50=m-是-29)+n(-是-1，）=(-之m-是-2m-号m+9), -1-t=-2m-2, 所以-2=一2m一，解得1=号，D正确.故选ACD, --m+, 2-是因为sin(a+晋)=号，所以sim(2a-)=sim[2(a+晋)-吾]=-cos[2(a+晋门]- [1-2sr(a+受)门=-[1-2（号）]=-是 参考答案第2页（共6页 13.(x+2》+(y一之)°=号由直线1过点P(-1,,圆C2+y+6r=0可知，圆心c为(-3,0)，设点 Q(x,y),由题意可知，当点Q与点P不重合时，CQ⊥PQ,则C·P=(x+3,y)·(x+1,y一1)=0，整理 得2+y+4x-十3=0，即(x+2+(y-号)广=，此时点Q的轨迹为圆(x+2+(y-号）}'=号但 不包括点P(-1,1).当点Q与点P重合时，其坐标满足方程(x十2+（一之）'-综上，点Q的轨迹 方程为红+2+(y一子)广=年。 14.是从1,2，…，2024中任取两数a,6(可以相同)，共有2024×2024种不同取法，因为7严的个位数字随着 a从1开始，依次是7,9,3,1,7，…，周期变化，8的个位数字随着b从1开始，则依次是8,4,2,6,8，…，周期 变化，故它们的周期均为4，所以1~2024中，共有4k十1,4十2,4k+3,4k十4(0≤k≤505，k∈N)4种数型， 且每种数型的个数是相同的，都是506个.又？和8的尾数中只有9十8,3+4,1+6三种情形中个位数字 是7，即a=4k+2,b=41+1:a=4k+3,b=41+2:a=4k+4,b=4l+4时，7+8的个位数字是7.又0≤k≤ 505,k∈N:0≤1≤505,1∈N,所以满足7十8的个位数字是7的取法有506×506X3种取法，所以所求概率 为22阁-是 15.解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD=AB十AD一2AB·ADcos A,… …3分 即BD=9+27-2X3X35×号=9， 所以BD=3.44444。 ……5分 (2在△BCD中，由正弦定理，得n2&BD _BD =5,所以sinC=√3si血∠CBD.…7分 因为∠C=2∠CBD,所以co∠CBD-停 49分 又∠CBDe(0,x,所以∠CBD=音，所以∠C=2∠CBD=子，∠BDC=受，…11分 所以四边形ABCD的面积S=合AB:AD:mA+号BD,CD=号×3X35×号+号X厅X3=152 4 4…13分 16.(1)证明：连接DM,则四边形CMDF为矩形. 因为cP=1,CM=E,DM=2,所以m∠CMP-器-号，am∠CDM=别-9。 又∠CMP,∠CDME(o,音)，所以∠CMP=∠CDM, 所以∠CMP+∠DCM=90°，故CDLPM.…2分 因为BA=BC,M是AC的中点，所以BMLAC. 因为CF⊥平面ABC,BMC平面ABC,所以CF⊥BM 又CFNAC-=C,CF,ACC平面ACFD,所以BM⊥平面ACFD.…4分 因为DCC平面ACFD,所以DC⊥BM. 因为BMnPM=M,BM,PMC平面PBM,所以CD⊥平面PBM.·6分 (2)解：因为CF⊥平面ABC,CM,BMC平面ABC,所以CF⊥CM,CF⊥BM, 因为DM∥CF,所以DM⊥CM,DMLBM, 又CM∩BM=M,CM,BMC平面ABC,所以DML平面ABC 由(1)知BMLAC,故以M为坐标原点，以MB,MC,MD所在直线分别为x,y,=轴，建立如图所示的空间直 参考答案第3页（共6页） 角坐标系， 则M0,0,0),B(√2,0,0)，C(02,0),D(0,0,2),F(02,2). 因为AC=2DF,所以由棱台的性质得BC=2E萨=（一2,2,0）， 所u成-(-号号o）所以（停号2），迹-（停号，2）.成-(-号号2).…9分 设平面EFM的法向量为n=(x,y,x), …迹-号+竖+2z- 萨-9+0. 则 取x=1,则y=12=-号，所以n=(.1,-号) …12分 设直线BE与平面EFM所成角为O, 则血0-osm,面1=n… m·1BEx5 2 即直线BE与平面EFM所成角的正弦值为号， 415分 a=2c 17,解：(1)由题意可知，b=√5，解得a=2,b=5,c=1.…3分 a2=8+2, 故椭圆C的方程为号+号-1 5分 21FP11PQ1与1PQ1之比为定值，即lEP9=是 PQI 6分 证明：由(1)，不妨取F(1,0), 当l的斜率为零时，PQ1=2a=4,IFP|lFQ|=(a十c)(a-c)=6=3, 所以印巴=： IPQI 小小8分 当1的斜率不为零时，设1的方程为x=my十1，P(,为)，Q(x,为). 联立方我学+号-1装理得6心+0y十w9-0. x=my+1, 6m 9 所以h十力=一3n干4”=一3m+4 …10分 所以PQ=√+n-为=+m·V+为-为=件m.2更_2r士》 3n2+4 3m2+4 4小444小444…12分 因为F币.F=(-1,)(-1,为)=(m,)(m,为)=(m+1)y为=-9m生 3m2十4 所u中产。-是所以lEP9=是 …14分 综上可证得2- ，15分 18)解：当a=1时，x)=2c-x一是，则f)=2c-l, 所以f0)=,0)）=1, …2分 参考答案第4页（共6页： 所以曲线一f()在点(0f0)处的切线方程为)y一2x,即2x一2+1-0， …3分 (2)解，f(x)=(a十1)e-1. 若a十1≤0，即a≤-1时，f(x)<0,则f(x)在R上单调递减，…5分 若a+1>0,即a>-1时，令fx>0,得>h令f)<0,得x<n。中 所以函数)在区间(n本+)上单稠递增，在区间(-∞，h。中)上单润递减 …7分 综上所述：a≤一1时，函数f(x)在R上单调递减： 。>-1时，函数)在区间(h十十e)止单调递增，在区间（一o,h。)上单调递减…8分 (3证明：由题知函数g)=合ae之-(a+1)口+x+是， 则g(x)=ae2-(a十1)e+1=(ag-1(e-1(a>}）.…9分 若a=1,则g'(x)≥0，所以g(x)在R上单调递增， 此时g(x)=之e之-2C十x十号，g(0)=0,所以g(x)只有-个零点为0： …10分 若号<a1,令ge>0,得x<0或x>lh日令g)<0,得0<血吕 所以函数g(x)在区间(-∞，0)，(n},十e∞)上单调递增，在区间(o,1n)上单调递减， 此时函数g)的极大值为g0)=之-之>0，极小值为s(h)=立-ha一六 …11分 不纺令a)-空-ha-去（日<a<).则a=京-=1是 显然}<a<2时，N(a)>0,此时y=h(a)单调递增，之<a<I时，h'(a)<0,此时)y一ha)单调递减， 易知a(合）=h2-2>hE-=0,h(号)=h3-1>0,h1)=0, 所以g(h子）=2-ha->0,12分 又g-2)=号（危-1）-是-3<0， 所以g(x)只有一个零点，且零点在区间（一2,0）内： …13分 若a>1,令g>0,得>0或x<h己，令g)<0,得1n是<x<0。 所以g(x)在区间(-∞，h）,(0,+∞)上单调递增，在区间(h之，0）上单调递减。 此时极大值为s(h日)=之-ha一六，极小值为g0)=是-a<0 …14分 不妨令pa)=号-ha-云a>1,则p@)=立-士-12是<0， 此时pa)单调递减，又p(I)=0>p试a)=g(n）, g=ae-a+10e+音-a(号-+-心安 -e>0, …4415分 所以函数g(x)只有一个零点，且零点在区间(0,1)内.… …16分 综上所述，当>行时，函数g)只有-个零点.…17分 参考答案第5页（共6页 19.解：(1)①当=1时，X的取值可能为0,2,5，共3个，故a1=3:+*+*1分 ②当n=2时，X的取值可能为0,2,4,5,7,10，故a4=6；… …2分 ③当n=3时，X的取值可能为0,2,4,5,6,7,9,10,12,15，故a=10.…3分 (2)由题意得，每个小球被抽到的概率均为行… 4分 当轴到2个标有数字5的小球，3个标有数字0的小球时，X=10,概率为C×(号)广×（号）广=是： …5分 当抽到5个标有数字2的小球时，X=10,概率为（兮）广一亦 …6分 所以X=10的概率为20+2布一2本 10.111 …7分 (3)当≥4时，根据规则，得分情况如下： 0 2 5 4 7 10 6 9 12 15 …5m-15 …10分 …5n-135m-10 *5n-115m-85n-5 2n2n+32n+62n+9…5n-95n-65n-35H 因为奇数列的得分为偶数，偶数列的得分为奇数，最后一行得分5一9的前一项得分为5一12（第n一3列 最后一个数)，与第n一1列第一个得分5一10，得分恰好差2，所以从4到5m一10刚好连接上来（之间所有 的偶数和奇数没有缺)： 因为最后一行得分5m一9（第一2列最后一个数），与第n列第一个得分5n一5，得分恰好差4，所以连接起 来后恰好缺了得分5n一7，由表知1,3,5m一4,5m-2,5n-1也取不到， 综上，在{0,1,2，…，5n}中不能取到的值构成的集合为1,3,5m一7,5m一4,5m一2,5n一1}，…12分 所以a,=5n十1-6=5(n一1)，n=3也适合 3,n=1, 结合(1)可得a.=6,#=2, 小3分 5(n-1),≥3， 所以当=1时，8=当=2时品=房十动-品， …14分 当≥8时ad片-) 则8=品+[（侵-号）+（号）++（片一）门小-器 44”16分 当-2时，品=品满足上式， m=1, 所以S= 831 (90025m”≥2 参考答案第6页（共6页）.