精品解析：北京市十一学校石景山实验中学2026-2027学年高一上学期开学测试数学试题

高一数学开学测试 （8.23） 一、单选题（共24分） 1. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】已知方程，对应系数，，， 将系数代入判别式公式得.  根据判别式的性质可得当时，一元二次方程有两个不相等的实数根. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该菱形有一个角为直角，则为正方形，正确； D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，错误. 3. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：是二次函数，故A错误； 对于B：是反比例函数，故B错误； 对于C：是一次函数，故C正确； 对于D：不是一次函数，故D错误. 4. 《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力.如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（ ） A. 中心对称 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 【答案】D 【解析】 【详解】两图形关于图中直线对称，故图片的变换是轴对称变换. 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比，且相似三角形的周长比等于相似比即可得答案. 【详解】因为，对应中线比为， 因此与的相似比为， 又因为相似三角形的周长比等于相似比， 故与的周长比为. 6. 如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得且，从而证得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得答案． 【详解】因为四边形是菱形， 所以 且， 又因为点在边上， 所以 ，  所以． 又因为，   所以， 所以  即. 7. 一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限确定、的符号，进而确定函数的图像分布区域. 【详解】∵一次函数的图像经过第一、二、三象限，∴且． 反比例函数的图象是一三象限双曲线，向左平移个单位得到的图象， A选项符合. 8. 已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】当或时，随着的增大而增大，从而比较出大小关系 【详解】A选项，当时，，故 当时，随着的增大而增大，故，A错误； B选项，当时，，故， 当或时，随着的增大而增大，故，B正确； C选项，当时，，故， 当或时，随着的增大而增大，且，C错误； D选项，当时，，故， 当时，随着的增大而增大，故，D错误 二、填空题（共24分） 9. 已知关于的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的的值：________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 故满足条件的的值可为（答案不唯一，满足即可）. 10. 如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点________，逆时针方向旋转了________度． 【答案】 ①. ②. 90 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转中心到对应点的距离相等，且对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角，通过观察网格中点的位置关系即可确定． 【详解】解：观察图形可知，三角形甲与三角形乙全等． 选取三角形甲的右侧顶点（记为）与三角形乙的上侧顶点（记为）作为一组对应点． 设网格正方形的边长为． 观察点与点、的位置关系： 点位于点的左侧个单位、下方个单位处，则； 点位于点的右侧个单位、下方个单位处，则． 因为，所以点可能是旋转中心． 进一步观察， 向量对应坐标，向量对应坐标， 因为，所以，即． 且从到的方向为逆时针方向． 同理，验证三角形甲的左上顶点与三角形乙的左下顶点，也满足绕点逆时针旋转的关系． 故旋转中心是点，逆时针方向旋转了度． 故答案为：，90． 11. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是________． 【答案】甲 【解析】 【详解】因为，，，所以， 所以小麦长势比较整齐的是试验田甲. 12. 在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点A的坐标：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】在平面直角坐标系中，设点，因为点A到原点的距离等于1， 根据勾股定理，得，令，得，所以点. 13. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长3.8m.当短臂端点下降0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________． 【答案】 【解析】 【详解】设长臂端点上升的高度是m，根据相似三角形对应边成比例得,解得,所以长臂端点上升的高度是1.9m. 14. 如图，中，D为AB的中点，点E在AC上，且，，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则________． 【答案】或 【解析】 【详解】由与有一个公共角，要使和相似， 只需的两边对应成比例，即或， 又，，D为AB的中点， 所以或，解得或. 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边BC交于点D，分别连接AD，OD，则的面积为______． 【答案】 9 【解析】 【分析】利用点坐标，求出面积，利用反比例函数，求出的面积，最终求出的面积. 【详解】过作于点，设， 因为是的中点，所以， 因为的图象经过斜边上的中点A， 所以，所以， 因为点在的图象上，所以， 所以， 所以的面积为. 16. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：，，且，，即. 当，即时，则，即，不合题意； 当，即时，则，即，符合题意； 当，即时，则，即，不合题意. 综上所述：a的取值范围为. 三、解答题（共52分） 17. 解下列一元二次方程. （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 由，可得， 即有， 故. 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆.若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）设下调后售价为未知数，结合“总利润=单辆利润×销售数量”列一元二次方程，再根据让利于顾客的条件取舍根. 【小问1详解】 设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，月份该品牌新能源汽车销售量为， 列方程，即，解得，（销售量增长率为正，负值舍去）. 因此从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为. 【小问2详解】 设下调后每辆汽车的售价为万元， 则单辆汽车的销售利润为万元， 售价共降低万元， 平均每周多售出辆，因此平均每周总销量为辆. 由总利润为万元，列方程：，， 整理得，解得，， 因为要尽量让利于顾客，故选取较低售价，即. 因此下调后每辆汽车的售价为万元. 19. 如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点，连接EF、，垂足为E，且． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）求AB的长． 【答案】（1）连接，点分别是边、的中点，是的中位线， ， 又，， 连接，在平行四边形中，是的中点，是的中点， 是的中位线，， 且，，由于对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故四边形是菱形； （2）5 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，已知 ，， 即； 又因为平行四边形（菱形）的面积 ，。， 联立方程组：，解得：，或， 在菱形中，设交于O，则，，或，， 在直角中，由勾股定理得：， 或， 即的长为5. 20. 主题实践： 生活情境 某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据： 盆栽个数x 2 3 4 5 6 … 护栏总长y（米） 5.4 a 13.8 18 22.2 … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表格中________； （2）若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式． （3）若（2）中函数的图象上有，两点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设，将代入可得 ，解得， 故y与x之间的函数关系为； 【小问3详解】 由题意得，两式相减得. 21. 某公司共有男员工1600名，女员工1000名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． ．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 ．男员工数据在这一组的是： 23.3 23.4 24.1 25.2 25.6 26.3 26.4 27.3 27.8 、女员工数据是： 14.2 16.0 16.1 16.6 17.7 18.0 18.1 18.8 19.1 19.4 19.5 19.9 20.5 21.7 22.1 23.2 24.6 25.2 26.4 27.5 27.8 28.4 29.1 29.3 30.8 ．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； （3）公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． ①估计该公司2600名员工数据的平均数约为________； ②若公司计划对2600名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 【答案】（1）20.5 （2） （3）①23；②280，240. 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义求解即可； （2）根据题意计算，即可比较大小； （3）①根据平均数的定义计算即可求解；②根据题中数据计算数据较大的前的男员工、女员工各自占比，再计算公司2600员工各自人数即可求解. 【小问1详解】 女员工共有25个数据，第13个数据为中位数，所以； 【小问2详解】 由题意可得男员工数据在的人数为22人，占比， 女员工数据在的人数为9人，占比， 因为，所以； 【小问3详解】 ①估计该公司2600名员工数据的平均数约为； ②随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据较大的前的员工约有人， 通过数据知数据大于或等于男员工有5人，女员工有4人， 将男员工、女员工数据在（包含，不包含）按从小到大排列如下： 23.2（女） 23.3（男） 23.4（男） 24.1（男） 24.6（女） 25.2（女） 25.2（男）， 25.6（男）26.3（男） 26.4（女） 26.4（男） 27.3（男） 27.5（女） 27.8（女） 27.8（男）， 其中数据较大男员工有2人，女员工有2人， 所以数据较大的前的员工男员工有7人，占比，女员工有6人，占比， 所以公司计划对2600名员工中数据较大的前的员工进行优先关注， 那么估计被优先关注的男员工约有人，被优先关注的女员工约有人． 22. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滨浦倒影，如诗如画如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】（1） 米 （2） 不需要采取紧急措施 【解析】 【分析】利用勾股定理在条件中构建直角三角形进行计算. 【小问1详解】 连接，由题意得：，， 在中，有，解得米； 【小问2详解】 如图，连接，因为米， 所以在中，，解得米， 因为，所以不需要采取紧急措施. 23. 如图，直线AB经过上的点C，并且，． （1）求证：直线AB是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）连接，如图，作出符合题意的图形， 因为，， 所以是等腰三角形，是底边上的中线， 所以，是的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理即可得到直线是的切线. （2）先通过等腰直角三角形性质求出圆的半径，再用三角形面积减去对应扇形的面积，得到阴影部分的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，，所以是等腰直角三角形， 由勾股定理得，由，得是中点， 因此， 所以是斜边上的中线， 根据等腰直角三角形的性质可得：的半径， 在中，，所以， 圆心角为的扇形的面积为：， 阴影部分面积为的面积减去对应扇形的面积， 可得. 24. 某现代农业基地正在对甲、乙两个不同型号的“智能温室大棚”进行升温性能测试．在清晨气温较低时，两个大棚同时启动加热系统，在加热的初始阶段，这两个大棚内的温度均呈匀速上升趋势，技术员绘制出了甲、乙两个大棚内的温度，与加热时间x（分钟）（）之间的函数图象，如图所示，其中． （1）求与之间的函数解析式，并求在启动加热系统前，甲大棚内的温度； （2）求加热多长时间后，两个大棚内的温度相同； （3）若在加热15分钟后，因为设备故障，甲大棚启动恒温模式（保持此时的温度不变），而乙大棚不受影响．那么在这个时间段内，两个大棚内的温度差能不能达到16℃？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）两个大棚内的温度差不能达到16℃，理由如下： 在加热15分钟后，甲大棚的温度为， 当乙大棚加热30分钟时，乙大棚温度达到最高为， 因为， 所以两个大棚内的温度差不能达到16℃. 【解析】 【分析】（1）由题意设，建立方程组计算求解即可，令，计算可得在启动加热系统前，甲大棚内的温度； （2）设加热（分钟）后，两个大棚内的温度相同，由题意建立方程计算求解即可； （3）计算在加热15分钟后，甲大棚的温度，及乙大棚加热能达到的最高温度，比较即可判断求解. 【小问1详解】 由图可知与成一次函数关系，设， 由图可知过点， 所以，解得， 所以， 令，得， 所以在启动加热系统前，甲大棚内的温度； 【小问2详解】 设加热（分钟）后，两个大棚内的温度相同， 由题意可得，解得， 所以加热分钟后，两个大棚内的温度相同； 【小问3详解】 略 25. 如图，以四边形的边为直径的正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接、、，，． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）当时，求的长． 【答案】（1）因为 ，所以 ， 又因为 ，所以为等腰三角形， 所以 ，因此 ， 根据圆周角定理：相等的圆周角所对的弧相等， 和  分别对应弧、，即，等弧对等弦，因此 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的内错角相等，结合等腰三角形等边对等角，证明圆周角，依据同圆中等圆周角对等弦得到. （2）先由等腰三角形性质求，推导圆心角，代入弧长公式计算对应的弧长. （3）利用切线性质得，结合平行线性质得，通过相似三角形与勾股定理建立方程，求解得到的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，所以的半径， 因为，所以为等腰三角形， 因为，所以， 由三角形内角和定理可得：， 因此， 由可得：， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 所以，由三角形内角和定理可得： 圆心角，根据弧长公式可得. 【小问3详解】 因为是的切线，所以，， 因为，所以，即， 由（1）可知，平分，即， 又因为是直径，所以， 在和中，，，所以， 设，由可得：， 在中，由勾股定理可得：， 同时，由切割线定理可得， 因为，，所以，即，化简可得：， 又因为，所以，即， 由可得：，即， 又因为，所以，，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学开学测试 （8.23） 一、单选题（共24分） 1. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力.如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（ ） A. 中心对称 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共24分） 9. 已知关于的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的的值：________． 10. 如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点________，逆时针方向旋转了________度． 11. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是________． 12. 在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点A的坐标：________． 13. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长3.8m.当短臂端点下降0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________． 14. 如图，中，D为AB的中点，点E在AC上，且，，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则________． 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边BC交于点D，分别连接AD，OD，则的面积为______． 16. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则a的取值范围为________． 三、解答题（共52分） 17. 解下列一元二次方程. （1） （2） 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆.若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 19. 如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点，连接EF、，垂足为E，且． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）求AB的长． 20. 主题实践： 生活情境 某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据： 盆栽个数x 2 3 4 5 6 … 护栏总长y（米） 5.4 a 13.8 18 22.2 … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表格中________； （2）若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式． （3）若（2）中函数的图象上有，两点，求的值． 21. 某公司共有男员工1600名，女员工1000名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． ．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 ．男员工数据在这一组的是： 23.3 23.4 24.1 25.2 25.6 26.3 26.4 27.3 27.8 、女员工数据是： 14.2 16.0 16.1 16.6 17.7 18.0 18.1 18.8 19.1 19.4 19.5 19.9 20.5 21.7 22.1 23.2 24.6 25.2 26.4 27.5 27.8 28.4 29.1 29.3 30.8 ．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； （3）公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． ①估计该公司2600名员工数据的平均数约为________； ②若公司计划对2600名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 22. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滨浦倒影，如诗如画如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 23. 如图，直线AB经过上的点C，并且，． （1）求证：直线AB是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 某现代农业基地正在对甲、乙两个不同型号的“智能温室大棚”进行升温性能测试．在清晨气温较低时，两个大棚同时启动加热系统，在加热的初始阶段，这两个大棚内的温度均呈匀速上升趋势，技术员绘制出了甲、乙两个大棚内的温度，与加热时间x（分钟）（）之间的函数图象，如图所示，其中． （1）求与之间的函数解析式，并求在启动加热系统前，甲大棚内的温度； （2）求加热多长时间后，两个大棚内的温度相同； （3）若在加热15分钟后，因为设备故障，甲大棚启动恒温模式（保持此时的温度不变），而乙大棚不受影响．那么在这个时间段内，两个大棚内的温度差能不能达到16℃？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由． 25. 如图，以四边形的边为直径的正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接、、，，． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $