精品解析：福建省龙岩市二中东山校区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

龙岩第二中学东山校区2024－2025学年第二学期期中测试 八年级数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 二、选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 1.5，2.5，2 C. 4，5，6 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C，，不是勾股数，不符合题意； D，因为，所以是勾股数，符合题意． 故选：D． 3. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为，圆面积为．在等式中自变量是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．可得圆的面积是半径的函数，圆的面积随着半径的变化而变化，则圆的面积是因变量，半径为自变量，据此即可求解． 【详解】解：∵圆的面积是半径的函数，圆的面积随着半径的变化而变化， ∴半径为自变量， 故选：C． 5. 菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 【答案】B 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，四条边都相等，对角相等，邻角互补； 矩形的对角线互相平分且相等，对边相等，四个角都是90°. 菱形具有而矩形不具有的性质是：四条边都相等， 故选B． 6. 下列各图中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图像只会有一个交点． 在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：B． 8. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据数轴得到，继而得到，即可得到． 【详解】解：由数轴得，， ， ， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 10. 在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接，，点为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． 正确有①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键． 三、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质—菱形的四条边都相等即可直接得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为： ， 故答案为：． 12. 函数的自变量的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，二次根式有意义，则被开方数大于等于零 根据题意得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 13. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案： ． 14. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接，根据点是的中点得，根据四边形是长方形得，根据将沿翻折得到得，利用证明，得，设，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，所以再证明∠EPF=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=BE，由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值． 【详解】如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠A=∠D=∠DME=90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM=AD=AB， ∵BF=EG， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM， ∵AB∥CD ∴∠MGE=∠BEG=∠AFB ∵∠ABF+∠AFB=90° ∴∠ABF+∠BEG=90° ∴∠EIF=90°， ∴BF⊥EG； ∵△EIB是直角三角形， ∴OI=BE， ∵AB=6，AE=2， ∴BE=6-2=4，OB=OE=2， ∵OD-OI≤DI， ∴当O、D、I共线时，DI有最小值， ∵IO=BE=2， ∴OD==2， ∴ID=2-2，即DI的最小值为2-2， 故答案为2-2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． （1）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再加减计算即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再根据二次根式相关运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离西安交大的距离是多少？ （2）小华在新华书店停留了多长时间？ （3）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？ （4）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？ 【答案】（1）4800米 （2）小华在新华书店停留了8分钟 （3）450（米/分） （4）6800（米） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，能够看懂图象是解题关键； （1）直接根据起点和终点信息即可解题； （2）找到离家距离不变的时间段即可解题； （3）先算出新华书店去西安交大的路程和时间，再根据速度公式进行计算即可； （4）从家到西安交大发现中间有路程是重复的，把重复的路程加上加到西安交大的距离即可． 小问1详解】 解：根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米； 【小问2详解】 解：（分钟） ∴小华在新华书店停留了8分钟． 小问3详解】 解：小华新华书店去西安交大的路程为米，所用时间为分钟， ∴小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：（米/分）． 【小问4详解】 解：根据函数图象，小华一共行驶了（米）． 19. 小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）当时，对应的自变量是______ 【答案】（1）；4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的函数值或自变量值，画一次函数图象，熟知相关知识点是解题的关键． （1）代入函数解析式即可解答； （2）描点画图即可； （3）把代入函数解析式即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：；4； 【小问2详解】 解：函数的图象如图所示， ， 【小问3详解】 解：当时，可得， 解得， 故答案为：． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用分母有理化的求解方法求解即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 如图，86中学对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】2400元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，判断出是解答的关键．连接，利用勾股定理求得米，再利用勾股定理的逆定理判断出，再利用割补法求得草坪的面积，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴草坪面积为 （平方米）， （元）， 答：该草坪铺满这块空地共需花费2400元． 22. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定方法．熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到，，再结合题目条件，得到且，可证明四边形是平行四边形，再根据得到即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； 23. 如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论． （2）先证明，再证明，可得到． 【小问1详解】 证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 24. 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）由条件可知； 故答案为：； （2） ， 由条件可知，即． （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：4． （4）由条件可转化， ，，， ． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不会变化； (3) 四边形AGFM是正方形 【解析】 【分析】（1）根据对称性及正方形性质可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度数； （2）由(1)知△DFC为等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45º+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45º； （3）证明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º，即可得出结论. 【详解】(1)△FDE与ADE关于DE对称 ∴△FDE≌△ADE ∴∠FDE＝∠ADE＝15º，AD=FD ∴∠ADF=2∠FDE=30º ∵ABCD为正方形 ∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90º ∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60º ∴△DFC为等边三角形 ∴∠DFC=60º ∵∠DFC为△DGF外角 ∴∠DFC=∠FDE+∠DGC ∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15º=45º (2)不变. 证明: 由(1)知△DFC为等腰三角形，DF=DC ∴∠DFC=∠DCF= (180º-∠CDF) =90º-∠CDF① ∵∠CDF=90º-∠ADF=90º-2∠EDF② 将②代入①得∠DFC=45º+∠EDF ∵∠DFC=∠DGC+∠EDF ∴∠DGC=45º (3)四边形AMFG为正方形. 证明: ∵M为Rt△ADE中斜边DE的中点 ∴AM＝DE ∵M为Rt△FED中斜边DE的中点 ∴FM=DE=AM=MD 由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG △ADG与△FDG中， AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG ∴△ADG≌△FDG， 由(2)知∠DGC=45º ∴∠DGA=∠DGF=45º，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90º ∵DB为正方形对角线， ∴∠ADB=∠45º， ∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5º ∵DM＝FM ∴∠GDF=∠MFD=22.5º ∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45º ∴∠GMF=∠DGF＝45º ∴MF=FG ∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º ∴四边形AMFG为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定. 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩第二中学东山校区2024－2025学年第二学期期中测试 八年级数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 二、选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 1.5，2.5，2 C. 4，5，6 D. 9，12，15 3. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为，圆面积为．在等式中自变量是（　　） A. B. C. D. 5. 菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 6. 下列各图中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 8. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C D. 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 10. 在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②③④ 三、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 12. 函数的自变量的取值范围是______ 13. 与最简二次根式能合并，则________． 14. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 15. 如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则______． 16. 如图，在边长为6正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为________. 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离西安交大的距离是多少？ （2）小华在新华书店停留了多长时间？ （3）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？ （4）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？ 19. 小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）当时，对应的自变量是______ 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 21. 如图，86中学对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 22. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 23. 如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 24. 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $