精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高三下学期仿真性考试数学试题

2025届高三年级仿真性考试试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 4. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则 (2)若，则; (3)若，则; (4) ，则. 上面四个命题正确的有（ ） A. (1)，(3) B. (2)，(4) C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4). 6. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 11. 在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若 ，点P为双纽线C上任意一点，则（ ） A. C关于x轴对称 B. 点在C上 C. 直线与C有且仅有两个交点 D. C上存在点P，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距________km．（参考数据：取） 14. 已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是 和 的调和中项. （1）求和的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式. 16. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）记 的极小值为，证明：． 17. 某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （2）由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求． 附：.若，则，，． 18. 如图，已知等腰直角三角形的直角顶点为，斜边 的中点为，将沿翻折得，且. （1）求的长度； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值. 19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程； （3）当时，设椭圆的左顶点为，右顶点为，且椭圆过点作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点 ，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级仿真性考试试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 2. 的虚部为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】， 故复数的虚部为1. 故选：A． 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：D. 4. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 5. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则 (2)若，则; (3)若，则; (4) ，则. 上面四个命题正确的有（ ） A. (1)，(3) B. (2)，(4) C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4). 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）中，若，由面面平行的性质，可得，所以（1）正确； （2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得， 又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确； （3）中，若，则 与 平行或异面，所以（3）不正确； （4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确. 故选：C. 6. 设为偶函数，当时，，则使的 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，做出函数的图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 7. 质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件 ：这两个数都是素数；事件 ：这两个数是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过 的正整数有个，其中素数有共个， 孪生素数有 和 ， 和，和，和，共 组， 所以，， 所以. 故选：B. 8. 已知直线与曲线相交于 两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小有定点与圆心所在直线与 垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设过定点，而， 所以，即定点在圆 内，且圆心为，半径为4， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与 垂直，此时. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】由分位数的计算方法即可判断A；由正态分布曲线的对称性即可判断B；根据条件概率公式及对立事件即可判断C；根据独立性检验即可判断D选项． 【详解】对于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位数据6，故A错误； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，， 由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故选项C正确； 对于D，没有充分证据推断X与Y有关联，故D错误． 故选：BC． 11. 在平面直角坐标系 中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点P为双纽线C上任意一点，则（ ） A. C关于x轴对称 B. 点在C上 C. 直线与C有且仅有两个交点 D. C上存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换 ，可判断A；将点的坐标代入方程，看是否满足方程可判断B；将直线方程与曲线方程联立，解得有三组解，可判断C；利用原点到的距离正好是 ，可知满足题意，可判断D. 【详解】由题知，点到定点的距离之积为1， 可得，整理得， 即曲线 的方程为， 对于A，用代换 ，方程没变，可知曲线 关于 轴对称，故A正确； 对于B，将点代入曲线 的方程，等式成立，所以点在 上，故B正确； 对于C，联立，解得或或， 所以直线与 有三个交点，故C错误； 对于D，原点满足曲线 的方程，即原点 在曲线 上，而， 所以曲线 上存在点与原点 重合时，满足，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令 ，得. 故答案为： 13. 甲、乙骑自行车同时从 地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往 地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往 地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且 地与 地相距10km，则 地与 地相距________km．（参考数据：取） 【答案】 【解析】 【分析】画出示意图，由余弦定理即可求解. 【详解】 由题意可设， ， 由余弦定理可得：， 解得，所以. 故答案为：. 14. 已知曲线 ：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线 上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线 的切线与 轴交于点，过点作 轴的垂线与曲线 相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前 项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出直线方程为，与曲线方程联立利用韦达定理可得，再利用导数的几何意义求点的坐标得到数列的递推关系式，进而得到通项公式，最后根据等比数列的前 项和公式求解即可. 【详解】因为第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线 上，且直线过点， 设直线方程为，联立方程消去 得， 所以， 由求导可得， 由题意可得点在曲线 上，则， 过点的切线方程为，代入整理得， 令解得，根据题意可得，即， 所以数列是公比为的等比数列，同理可得也是公比为的等比数列， 所以，，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前 项和， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称 是 和 的调和中项. （1）求和 的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到 、、 成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案； （2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式. 【小问1详解】 设和 的调和中项为 ，依题意得： 、、 成等差数列， 所以，解得：， 故和 的调和中项为； 【小问2详解】 依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）记的极小值为，证明：． 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增 （3） 由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性. （3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. 【小问3详解】 略 17. 某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （2）由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求． 附：.若，则，，． 【答案】（1）70克，37.5 （2）①0.9545；②95.45 【解析】 【分析】（1）由平均值和方差的计算公式可计算； （2）①，根据参考值即可求解；②可知，即可求解． 【小问1详解】 克； ． 【小问2详解】 ①由（1）知， ； ②由①知，一颗金桔的重量位于区间内的概率为0.9545， 依题意知，所以． 18. 如图，已知等腰直角三角形的直角顶点为 ，斜边 的中点为，将沿 翻折得，且. （1）求的长度； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）证明：因为 为等腰直角三角形，所以， 由于翻折不改变与 的垂直关系，所以， 又因为平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2），，即可求证； （3）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 易得， 因为， 在等腰三角形中， 易得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以点 为坐标原点，方向分别为 轴､ 轴的正方向，垂直于平面于点 作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 故， 又因为，故，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则可得 不妨令，则，故， 设二面角的平面角为， 故， 由题可得二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程； （3）当时，设椭圆的左顶点为 ，右顶点为 ，且椭圆过点 作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在 轴的上方，过点 作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆和椭圆的方程，求两椭圆的长轴长，短轴长，焦距，根据两椭圆相似，结合椭圆相似的定义列方程求关系，由此可得椭圆的离心率； （2）由（1）结合相似比列方程可求，由此可得椭圆方程； （3）设，直线的方程为，联立方程组消 可得关系，再求，再求的值. 【小问1详解】 对于椭圆，则长轴长为，短轴长为 ，焦距为 ， 椭圆的长轴长为 ，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. 【小问2详解】 因为， 由（1），可得， 解得， 所以为； 【小问3详解】 设，由对称性可得， 设，则 由消 得，， 方程的判别式， 由已知为方程的根， 所以， 所以， ，， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $