专题15 与等腰三角形有关的分类讨论（5大基本题型）期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题15】与等腰三角形有关的分类讨论（5大基本类型） 【核心知识点总结】 1. 等腰三角形基本性质 （1） 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 （2） 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合 （3） 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在直线 2. 分类讨论的核心场景​​ （1） 边或角的不明确性：当题目未明确边为“腰”或“底”、角为“顶角”或“底角”时需分类讨论 （2） 高、中线或垂直平分线的位置：高可能在三角形内部（锐角三角形）或外部（钝角三角形）；中线分周长需考虑两部分的比例 （3） 动态问题：动点导致三角形形态变化时，需分静止状态和运动状态分析 （4） 构造等腰三角形：通过平行线、角平分线、垂直平分线等辅助线构造等腰三角形 【技巧总结】 1. 边与角的分类讨论技巧 （1） 边不明确时：若等腰三角形两边长为a和b，需分别假设a为腰或底，验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边） （2） 角不明确时：若已知角为，需分情况讨论为顶角或底角，利用三角形内角和计算其余角度 2. 高、中线或垂直平分线的处理技巧​​ （1） 高的位置：钝角三角形的高可能在外部，需结合三角函数计算角度或边长 （2） 中线分周长：若中线将周长分为两部分，需通过方程求解腰和底的长度，并验证合理性 3. 动态问题的分析思路：确定动点轨迹，分析临界状态（如等腰三角形变为等边三角形或退化为线段） 4. 构造等腰三角形的常用方法 （1） 利用平行线：作平行线转移角度，结合“等角对等边”构造等腰三角形 （2） 利用垂直平分线：在垂直平分线上取点，确保到两端点距离相等 （3） 截长补短：在长边上截取线段与短边相等，形成等腰三角形 【易错点】 1. 忽略三边关系：未验证边长组合是否满足三角形三边关系，导致出现矛盾解 2. 高线位置的误判：未考虑钝角三角形的高在外部，导致角度计算错误 3. 中线分周长的比例混淆：未明确中线分成的两部分是包含腰还是底边，导致方程列错 4. 动态问题漏解：未分析动点的所有可能轨迹，导致遗漏等腰三角形形态 5. 构造等腰三角形时遗漏情况：未利用多种辅助线方法（如平行线、角平分线等）全面构造可能性 【例1】边或角的分情况讨论 【典例】若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了偶次方的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的性质，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． 先根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同，分两种情况求解． 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， 当腰长为时，，不能构成三角形； 当腰长为时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为． 故选：C ． 【变式1】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 【变式2】已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与平方的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：， 解得 2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为7或8． 故选：D． 【变式3】【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照题例方法解答即可； （）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：方法运用：∵ ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴的值为； 拓展提升：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， 当时， ∵， ∴构成不了三角形，该种情况不符合； 当时，的周长； ∴的周长为． 【例2】高、中线或垂直平分线的分情况讨论 【典例】如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（　　） A．22°50′ B．67.5° C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5° 【答案】D 【分析】先知三角形有两种情况①②，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】有两种情况； ①如图当是锐角三角形时，于D， 则， 已知， ∴， ∵， ∴； ②如图，当是钝角三角形时，于H， 则， 已知， ∴， ∴， ∵， ∴， 综合①②得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的高，三角形内角和定理等，解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角． 【变式1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分，这个等腰三角形的三边长为 【答案】10 cm，10 cm，1 cm 【分析】设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，根据腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分可知有两种情况，进而结合三角形的三边关系逐个求解即可． 【详解】解：设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x， ∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分， ∴有两种情况： （1）当3x＝15，且x+ y＝6， 解得：x＝5，y＝1， ∴三边长分别为10cm，10 cm，1 cm； （2）当x+ y＝15且3x＝6时， 解得：x＝2，y＝13，此时腰长为4， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13， 故这种情况不存在． ∴腰长只能是10cm． 故答案为：10cm，10 cm，1 cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形中线的定义以及三角形的三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 【变式2】若等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，则：两个底角的度数为：， ∴一腰上的高与底边所夹的角的度数是：， 当的角为底角时，则：一腰上的高与底边所夹的角的度数是：； 故答案为：或． 【变式3】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时， ， 底边的长为． 长为6，6，12的线段不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时， ， 底边的长为3，满足三角形的三边关系． 综上所述，底边的长为3， 故答案为3． 【例3】动态问题的分情况讨论 【典例】如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 当点在上时，作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 【变式1】感知：如图①所示，分别以的边，为边向外作等边、等边，连接，．易证：（不需要证明）． 探究：如图②所示，点是线段上方的一个动点，分别以的边，为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以点为直角顶点，连接，． (1)求证：； (2)若，，则线段的最大值是________．（直接填答案，不需要过程） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形与三角形都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，，利用可得出，进而得到； （2）根据两点之间线段最短，即可得到，再根据，，即可得出，故线段的最大值为，最后根据，即可得出线段的最大值为． 【详解】（1）证明：∵和都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图②， 如果点B、C、E不共线时，由三角形的三边关系得； 当点B、C、E共线时，则 故， ∴线段的最大值为的值， 又∵等腰中，， 而， ∴， ∴线段的最大值为， 又∵， ∴线段的最大值为， 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段最短问题，三角形三边关系，直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等．解决第（2）问的关键是依据进行推导计算． 【变式2】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点,同①得,, ,,, , , ,即, , , , , ; 综上所述的长为或． 【变式3】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①当点在直线的上方时，．②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时， 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ，     ， ， ， 即． （2）解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时，过点作． ，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【例4】构造等腰三角形的分情况讨论 【典例】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时， ， 底边的长为． 长为6，6，12的线段不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时， ， 底边的长为3，满足三角形的三边关系． 综上所述，底边的长为3， 故答案为3． 【变式1】如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据图形找出临界位置进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有一个， 当时， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有两个， ③当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有三个， ④当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点只有一个， ⑤当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有四个， 故答案为：． 【变式2】【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识， （1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到； 方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以，即是的中点 小张同学的思路： 如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． 所以， 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，即是的中点； （2）猜想 方法1： 如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 方法2： 如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 【变式3】概念理解：三角尺是一种常用的作图工具，每副三角尺由两个特殊的直角三角形组成．含有45°锐角的直角三角形叫做等腰直角三角尺，含有30°（或60°）锐角的直角三角形叫做细长三角尺． 性质探索：（1）如图1，在等边中，平分，直接判断是不是细长三角尺．若不是，请说明理由：若是，请求出对边与较大邻边的数量关系．（小学教材已有：等边三角形的三边都相等、三个角都是60°） 解决问题：（2）如图2，在等边中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接． ①求的度数； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）是，；（2）①；②，理由见解析 【分析】（1）结论：△ABD是细长三角尺，证明△ABD≌△ACD（SAS），可得结论． （2）①证明△ABD≌△BCE（SAS），可得结论． ②结论：AF=2BF，作AG⊥BE于G，证明△CAF≌△ABG（ASA），可得结论． 【详解】解：（1）是细长三角尺， ∵平分，∠BAC=∠B=60°， ∴=30°， ∴△ABD是细长三角尺， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ②，理由如下： 作，如图： 由①知，， 又∵是直角三角形， ∴是细长三角尺， 由（1）可知，， 由①知，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，细长三角尺的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【例5】综合问题 【典例】在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由三角板的性质可知：，，再结合平行线性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）利用平行线性质可知，由三角板的性质可知：，，进而算出，即可解题． 【详解】（1）解：由三角板的性质可知：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由三角板的性质可知：，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明，从而得到，即可求证； （3）分别延长，，相交于点F，由（2）得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：，为的中点， ，，             ， ， ，， ，         而， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，             又，， ， ．             为的中点， ， ． （3）解：如图，分别延长，，相交于点F， 由（2）得，，     ， ， ， 的面积为． 【变式2】问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，小文把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上， ①在图2的基础上，与的角平分线交于点，若，请画出图形并直接写出的度数________； ②在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)①图见详解，；②的值不变， 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质和三角板的知识，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）过点G作，则，有，进一步得，结合已知即可求得； （2）①由（1）得，结合三角板的知识得，根据角平分线的性质得； ②过点F作，同理可证得，设，结合角平分的性质得即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴．，解得； （2）解：①如图， 由（1）得， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴； ②的值不发生变化 过点F作，如图， 同理可证得， 设， ∵平分交直线于点，平分交直线于点， ∴． 【变式3】综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3 （2）8 （3）16或40 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题15】与等腰三角形有关的分类讨论（5大基本类型） 【核心知识点总结】 1. 等腰三角形基本性质 （1） 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 （2） 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合 （3） 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在直线 2. 分类讨论的核心场景​​ （1） 边或角的不明确性：当题目未明确边为“腰”或“底”、角为“顶角”或“底角”时需分类讨论 （2） 高、中线或垂直平分线的位置：高可能在三角形内部（锐角三角形）或外部（钝角三角形）；中线分周长需考虑两部分的比例 （3） 动态问题：动点导致三角形形态变化时，需分静止状态和运动状态分析 （4） 构造等腰三角形：通过平行线、角平分线、垂直平分线等辅助线构造等腰三角形 【技巧总结】 1. 边与角的分类讨论技巧 （1） 边不明确时：若等腰三角形两边长为a和b，需分别假设a为腰或底，验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边） （2） 角不明确时：若已知角为，需分情况讨论为顶角或底角，利用三角形内角和计算其余角度 2. 高、中线或垂直平分线的处理技巧​​ （1） 高的位置：钝角三角形的高可能在外部，需结合三角函数计算角度或边长 （2） 中线分周长：若中线将周长分为两部分，需通过方程求解腰和底的长度，并验证合理性 3. 动态问题的分析思路：确定动点轨迹，分析临界状态（如等腰三角形变为等边三角形或退化为线段） 4. 构造等腰三角形的常用方法 （1） 利用平行线：作平行线转移角度，结合“等角对等边”构造等腰三角形 （2） 利用垂直平分线：在垂直平分线上取点，确保到两端点距离相等 （3） 截长补短：在长边上截取线段与短边相等，形成等腰三角形 【易错点】 1. 忽略三边关系：未验证边长组合是否满足三角形三边关系，导致出现矛盾解 2. 高线位置的误判：未考虑钝角三角形的高在外部，导致角度计算错误 3. 中线分周长的比例混淆：未明确中线分成的两部分是包含腰还是底边，导致方程列错 4. 动态问题漏解：未分析动点的所有可能轨迹，导致遗漏等腰三角形形态 5. 构造等腰三角形时遗漏情况：未利用多种辅助线方法（如平行线、角平分线等）全面构造可能性 【例1】边或角的分情况讨论 【典例】若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【变式2】已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【变式3】【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【例2】高、中线或垂直平分线的分情况讨论 【典例】如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（　　） A．22°50′ B．67.5° C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5° 【变式1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分，这个等腰三角形的三边长为 【变式2】若等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 ． 【变式3】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【例3】动态问题的分情况讨论 【典例】如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 【变式1】感知：如图①所示，分别以的边，为边向外作等边、等边，连接，．易证：（不需要证明）． 探究：如图②所示，点是线段上方的一个动点，分别以的边，为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以点为直角顶点，连接，． (1)求证：； (2)若，，则线段的最大值是________．（直接填答案，不需要过程） 【变式2】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【变式3】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【例4】构造等腰三角形的分情况讨论 【典例】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【变式1】如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 【变式2】【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【变式3】概念理解：三角尺是一种常用的作图工具，每副三角尺由两个特殊的直角三角形组成．含有45°锐角的直角三角形叫做等腰直角三角尺，含有30°（或60°）锐角的直角三角形叫做细长三角尺． 性质探索：（1）如图1，在等边中，平分，直接判断是不是细长三角尺．若不是，请说明理由：若是，请求出对边与较大邻边的数量关系．（小学教材已有：等边三角形的三边都相等、三个角都是60°） 解决问题：（2）如图2，在等边中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接． ①求的度数； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【例5】综合问题 【典例】在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数． 【变式1】如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 【变式2】问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，小文把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上， ①在图2的基础上，与的角平分线交于点，若，请画出图形并直接写出的度数________； ②在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【变式3】综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$