专题9 辅助线构建全等三角形的常用方法（5大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题9】 辅助线构建全等三角形的常用方法（5大基本题型） 【核心知识点总结】 【方法1】连接已知点：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。 1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2. 步骤： （1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）； （2）连接这些点形成公共边或对称线段； （3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在四边形中，，求证：. 如图，连接，则 在与中， ∴（SSS） ∴ 【方法2】作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2. 步骤： （1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。 （2）利用平行线性质转移角或边的关系。 （3）结合截长补短或等量代换证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在中，，D为线段上一点，延长，在延长线上取一点F，使得，连接，交于点E，求证. 过点D作，交于点G，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴ 【方法3】作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2. 步骤： （1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 （2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3. 基本模型 如图，已知平分，为点D射线上一点，过点D作，垂足为E，，求. 过点D分别作，垂足为G ∵平分，， ∴ ∴. 【方法4】倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至点，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 【方法5】截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 【技巧总结】 一、基本辅助线构造方法 1. 连接已知点：当图形中存在分散的已知条件（如相等线段、中点）时，通过连接关键点构造全等三角形。例如，在四边形中连接对角线，利用SSS/SAS证明全等 2. 作平行线：通过平行线转移角或线段关系。例如，在证明线段和差问题时（如AB=AC+CD），作平行线构造全等三角形，结合内错角、同位角性质简化证明 3. 作垂线：常用于涉及角平分线或高的问题。向角的两边作垂线，利用角平分线性质（到两边距离相等）构造全等，例如AAS证明 4. 倍长中线：将中线延长一倍，构造全等三角形（SAS）。适用于中线问题或证明线段关系（如取值范围） 5. 截长补短：在长线段上截取或延长短线段，解决线段和差问题。例如，在△ABC中截取AE=AC，构造全等转移关系 二、特殊场景技巧 1. 角平分线问题： （1） 向两边作垂线：构造全等三角形，利用角平分线定理（距离相等） （2） 构造对称图形：在角平分线上取点，对称补全图形 2. 等腰三角形：利用“三线合一”性质，作底边高线，结合对折思维简化证明 【易错点】 1. 误用SSA判定：SSA不能作为全等判定条件（可能有两种情况）。正确方法：优先使用SAS/ASA/AAS 2. 辅助线标记不清：未在图中明确标注辅助线或未说明构造逻辑，导致证明混乱。倍长中线时需说明延长后的对应点 3. 忽略多解情况：涉及高线、未给图的问题可能存在多解。三角形高可能在内部或外部，需分类讨论 4. 对应边角错误：书写全等时未按对应顺序排列顶点，导致逻辑错误。例如，△ABC≌△DEF必须确保∠A=∠D等 5. 截长补短不当：截取线段后未证明剩余部分相等。例如，在AB上截取AE=AC后，需证明EB=CD 【例1】连接已知点 【典例】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】如图，线段与相交，连接，已知，且．求证：． 【变式2】如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【变式3】如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 【例2】作平行线 【典例】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【变式1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【变式2】如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式3】在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【例3】做垂线 【典例】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【变式1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【变式2】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【变式3】如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 【例4】倍长中线 【典例】在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【变式2】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【变式3】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【例5】截长补短 【典例】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式1】在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【变式2】如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式3】（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【例6】补全图形 【典例】如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【变式2】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【变式3】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题9】 辅助线构建全等三角形的常用方法（5大基本题型） 【核心知识点总结】 【方法1】连接已知点：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。 1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2. 步骤： （1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）； （2）连接这些点形成公共边或对称线段； （3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在四边形中，，求证：. 如图，连接，则 在与中， ∴（SSS） ∴ 【方法2】作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2. 步骤： （1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。 （2）利用平行线性质转移角或边的关系。 （3）结合截长补短或等量代换证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在中，，D为线段上一点，延长，在延长线上取一点F，使得，连接，交于点E，求证. 过点D作，交于点G，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴ 【方法3】作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2. 步骤： （1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 （2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3. 基本模型 如图，已知平分，为点D射线上一点，过点D作，垂足为E，，求. 过点D分别作，垂足为G ∵平分，， ∴ ∴. 【方法4】倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至点，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 【方法5】截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 【技巧总结】 一、基本辅助线构造方法 1. 连接已知点：当图形中存在分散的已知条件（如相等线段、中点）时，通过连接关键点构造全等三角形。例如，在四边形中连接对角线，利用SSS/SAS证明全等 2. 作平行线：通过平行线转移角或线段关系。例如，在证明线段和差问题时（如AB=AC+CD），作平行线构造全等三角形，结合内错角、同位角性质简化证明 3. 作垂线：常用于涉及角平分线或高的问题。向角的两边作垂线，利用角平分线性质（到两边距离相等）构造全等，例如AAS证明 4. 倍长中线：将中线延长一倍，构造全等三角形（SAS）。适用于中线问题或证明线段关系（如取值范围） 5. 截长补短：在长线段上截取或延长短线段，解决线段和差问题。例如，在△ABC中截取AE=AC，构造全等转移关系 二、特殊场景技巧 1. 角平分线问题： （1） 向两边作垂线：构造全等三角形，利用角平分线定理（距离相等） （2） 构造对称图形：在角平分线上取点，对称补全图形 2. 等腰三角形：利用“三线合一”性质，作底边高线，结合对折思维简化证明 【易错点】 1. 误用SSA判定：SSA不能作为全等判定条件（可能有两种情况）。正确方法：优先使用SAS/ASA/AAS 2. 辅助线标记不清：未在图中明确标注辅助线或未说明构造逻辑，导致证明混乱。倍长中线时需说明延长后的对应点 3. 忽略多解情况：涉及高线、未给图的问题可能存在多解。三角形高可能在内部或外部，需分类讨论 4. 对应边角错误：书写全等时未按对应顺序排列顶点，导致逻辑错误。例如，△ABC≌△DEF必须确保∠A=∠D等 5. 截长补短不当：截取线段后未证明剩余部分相等。例如，在AB上截取AE=AC后，需证明EB=CD 【例1】连接已知点 【典例】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，线段与相交，连接，已知，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 如图，连接，运用边边边证明即可求证． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 【变式2】如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【例2】作平行线 【典例】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【变式2】如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 【例3】做垂线 【典例】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】（1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式2】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【变式3】如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 【答案】详见解析 【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 【例4】倍长中线 【典例】在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 【变式1】【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 【变式2】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 【变式3】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、， ， ， 在△和△中， ， ， ，， 是中点， ， 在△和△中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【例5】截长补短 【典例】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式1】在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据为的中线，得出，根据，得出，根据即可证明． （2）在 上截取 ，连接，如图，证明，得出，再证明，得出，结合，即可得． 【详解】（1）解：全等， 理由如下： ∵为的中线， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：． 理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C. 【变式3】（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到，使，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 【例6】补全图形 【典例】如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查的是平行线的性质，三角形外角性质，先根据平行线的性质得出，再由三角形外角即可得出结论． 【详解】解：延长交直线b于， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 【变式2】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 【变式3】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$