专题12 将军饮马问题（6大常考模型）期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题12】将军饮马问题（5大常考模型） 【核心知识点总结】 将军饮马问题是初中数学中经典的几何最优化问题，其核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线最短问题。本专题中的将军饮马问题由一个初始模型展开，形成了六大常考模型：两定一动、一定两动、一定两动（垂线段最短）、两定两动、将军遛马问题和造桥选址问题。 将军饮马问题最早的记载可追溯至古希腊学者海伦（Heron）的著作。据传，一位罗马将军向海伦请教如何从军营A出发到河边饮马，再前往营地B的最短路径。海伦通过构造对称点将折线路径转化为直线问题，奠定了该问题的数学解法基础。这一解法体现了古希腊几何学的智慧，成为经典的最短路径模型。 【类型1】两定一动：两个定点、一个动点 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 【类型2】一定两动：一个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 【类型3】一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 【类型4】两定两动：两个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 【类型5】将军遛马问题 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 【类型6】造桥选址问题 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 【技巧总结】 1. 轴对称变换 （1） 核心思想：通过对称将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短” （2） 关键操作：选择正确的对称轴（如动点所在直线）和对称点（仅对定点操作）。 2. 平移变换 适用场景：涉及定长线段（如桥MN）或平行线时，平移定点构造平行四边形。 3. 动态作图验证 方法：通过几何画板模拟动点轨迹，验证“化折为直”的合理性（如网页6建议）。 4. 分类讨论 异侧直接连线，同侧先对称再连线（如两定一动型中A、B位置判断） 【易错点】 1. 对称轴选择错误 错误：混淆动点所在直线与对称轴，如将定点对称到非动点路径上。 纠正：对称轴必须是动点所在直线（如河岸、角平分线等）。 2. 忽略定长线段处理 错误：未平移定点直接求解（如造桥选址问题）。 纠正：先平移再对称，确保MN为定长且垂直河岸。 3. 共线性验证缺失 错误：未验证对称点连线与直线的交点是否符合条件。 纠正：严格证明交点处路径最短（如利用三角形不等式）。 4. 混淆周长与路径最短 错误：将周长最小问题简化为单一路径最短（如一定两动型需两次对称）。 纠正：明确周长=三边和，需同时处理多段折线 【例1】两定一动 【典例】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式1】如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【变式2】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【变式3】如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【例2】一定两动 【典例】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【变式1】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【变式2】如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【变式3】如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【例3】一定两动（垂线段最短） 【典例】如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【变式1】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式3】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【例4】两定两动 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【变式2】如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【例5】将军遛马问题与造桥选址问题 【典例】如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【变式2】河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置． （1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由． （2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图． 【变式3】如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题12】将军饮马问题（5大常考模型） 【核心知识点总结】 将军饮马问题是初中数学中经典的几何最优化问题，其核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线最短问题。本专题中的将军饮马问题由一个初始模型展开，形成了六大常考模型：两定一动、一定两动、一定两动（垂线段最短）、两定两动、将军遛马问题和造桥选址问题。 将军饮马问题最早的记载可追溯至古希腊学者海伦（Heron）的著作。据传，一位罗马将军向海伦请教如何从军营A出发到河边饮马，再前往营地B的最短路径。海伦通过构造对称点将折线路径转化为直线问题，奠定了该问题的数学解法基础。这一解法体现了古希腊几何学的智慧，成为经典的最短路径模型。 【类型1】两定一动：两个定点、一个动点 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 【类型2】一定两动：一个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 【类型3】一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 【类型4】两定两动：两个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 【类型5】将军遛马问题 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 【类型6】造桥选址问题 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 【技巧总结】 1. 轴对称变换 （1） 核心思想：通过对称将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短” （2） 关键操作：选择正确的对称轴（如动点所在直线）和对称点（仅对定点操作）。 2. 平移变换 适用场景：涉及定长线段（如桥MN）或平行线时，平移定点构造平行四边形。 3. 动态作图验证 方法：通过几何画板模拟动点轨迹，验证“化折为直”的合理性（如网页6建议）。 4. 分类讨论 异侧直接连线，同侧先对称再连线（如两定一动型中A、B位置判断） 【易错点】 1. 对称轴选择错误 错误：混淆动点所在直线与对称轴，如将定点对称到非动点路径上。 纠正：对称轴必须是动点所在直线（如河岸、角平分线等）。 2. 忽略定长线段处理 错误：未平移定点直接求解（如造桥选址问题）。 纠正：先平移再对称，确保MN为定长且垂直河岸。 3. 共线性验证缺失 错误：未验证对称点连线与直线的交点是否符合条件。 纠正：严格证明交点处路径最短（如利用三角形不等式）。 4. 混淆周长与路径最短 错误：将周长最小问题简化为单一路径最短（如一定两动型需两次对称）。 纠正：明确周长=三边和，需同时处理多段折线 【例1】两定一动 【典例】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式1】如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 【变式2】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 【变式3】如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 【例2】一定两动 【典例】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 【变式1】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【变式2】如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小，根据对称可得，，，，，再求解即可，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小． 根据对称可得，，，，， 则，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键． 作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 【详解】解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 【例3】一定两动（垂线段最短） 【典例】如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 【变式1】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长． 【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=10，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5， ∴CE+EF的最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键． 【变式3】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）． 【分析】教材呈现：证明即可得证； （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【例4】两定两动 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 【变式1】如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【答案】 5 【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案． （2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题、三角形的外角的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式3】已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 【例5】将军遛马问题与造桥选址问题 【典例】如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 【变式1】如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 【变式2】河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置． （1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由． （2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图． 【答案】（1）两点之间线段最短．（2）见解析． 【分析】（1）利用平移的性质以及两点之间线段最短解决问题即可． （2）根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”解决问题． 【详解】解：（1）利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： AC+CD+DB=（ED+DB）+CD=EB+CD． 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短． （2）示意图如图所示． 从A到B的路径AMNEFB最短． 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置，能运用两点之间线段最短的原理是解题的关键． 【变式3】如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$