专题08 轴对称之将军饮马模型（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末好题汇编（北师大版2024）

专题08 轴对称之将军饮马模型 题型概览 题型01“2定点1动点”作图问题 题型02“2定点1动点”求周长、线段的最小值 题型03“1定点2动点”求周长、线段的最小值 题型04“1定点2动点”求角度 ( 题型01 )“2定点1动点”作图问题 1．（2023·24七年级下·北京海淀·期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·云南昆明·期末）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·云南曲靖·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格． (1)画出关于轴对称的图形，并写各顶点坐标． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置． 4．（2023·24 七年级下·浙江杭州·期末）画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似的看成是两条折线段（图中），、分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向、两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从向河道作垂线交于，则点为水泵站的位置． (1)你是否同意甲的意见？ （填“是”或“否”）； (2)若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 5．（2023·24七年级下·江苏常州·期末）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． (1)画出关于直线对称的； (2)计算的面积为________； (3)在线段上找一点P，使得最小．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 6．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） ( 题型0 2 ) “2定点1动点”求周长、线段的最小值 7．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 8．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 9．（2023·24七年级下·湖南湘西·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 10．（2023·24七年级下·河南驻马店·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 11．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 12．（2023·24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． ( 题型0 3 ) “1定点2动点”求周长、线段的最小值 13．（2023·24七年级下·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 14．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 15．（2023·24七年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 16．（2023·24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 17．（2023·24七年级下·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系： ． 18．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 19．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点、分别是边、上的动点，若，，，则的最小值为 ． ( 题型0 4 ) “1定点2动点”求角度 20．（2023·24七年级下·江苏苏州·期末）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（2023·24七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 23．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 24．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 1．（2023·24七年级下·广东汕头·期末）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（2023·24七年级下·江西九江·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 4．（2023·24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点，等腰直角中，，，，在轴上滑动时，的最小值是 。    6．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ． 7．（2023·广东广州·一模）如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    8．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    9．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； (2)在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 10．（2023·24七年级下·全国·期末）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 11．（2023·24七年级下·广东中山·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上画出点，使最小，并写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（2023·24七年级下·北京朝阳·期末）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 轴对称之将军饮马模型 题型概览 题型01“2定点1动点”作图问题 题型02“2定点1动点”求周长、线段的最小值 题型03“1定点2动点”求周长、线段的最小值 题型04“1定点2动点”求角度 ( 题型01 )“2定点1动点”作图问题 1．（2023·24七年级下·北京海淀·期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 2．（2023·24七年级下·云南昆明·期末）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 3．（2023·24七年级下·云南曲靖·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格． (1)画出关于轴对称的图形，并写各顶点坐标． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置． 【答案】(1)见解析，，， (2)7 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，则，，； （2）解：由图得的面积为 （3）解：如图，点P点即为所求． 4．（2023·24 七年级下·浙江杭州·期末）画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似的看成是两条折线段（图中），、分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向、两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从向河道作垂线交于，则点为水泵站的位置． (1)你是否同意甲的意见？ （填“是”或“否”）； (2)若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 【答案】(1)否 (2)水泵站应该建在点处，两点之间，线段最短 【详解】（1）解：否；理由见小问2详解． （2）解：连接，交于点， 则水泵站应该建在点处； 依据为：两点之间，线段最短． 5．（2023·24七年级下·江苏常州·期末）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． (1)画出关于直线对称的； (2)计算的面积为________； (3)在线段上找一点P，使得最小．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）, 故答案为：3； （3）如图所示，点P即为所求． 6．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1)见解析 (2)的面积为8 (3)见解析 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：； （3）解：点P即为所求作： ( 题型0 2 ) “2定点1动点”求周长、线段的最小值 7．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 8．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【详解】连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 9．（2023·24七年级下·湖南湘西·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】15 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 10．（2023·24七年级下·河南驻马店·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 11．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 12．（2023·24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C， 由轴对称可得， ∴， 则此时为最小， 即当汽车行驶到点C的位置时，距离两村的和最短，最短距离为的长． ∵，， ∴， ∴汽车到两村距离的和最短为． 故答案为： ( 题型0 3 ) “1定点2动点”求周长、线段的最小值 13．（2023·24七年级下·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 14．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．（2023·24七年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【详解】解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 16．（2023·24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 17．（2023·24七年级下·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系： ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当三点共线，且时，此时为最短， ，平分，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． 18．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 19．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点、分别是边、上的动点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作线段关于的对称线段，连接交于点，过点作于点，交于点， 此时，有最小值，即， 根据对称可知，，，， ，，，， ， 即， ， ， ， 即， ， 即的最小值为， 故答案为：． ( 题型0 4 ) “1定点2动点”求角度 20．（2023·24七年级下·江苏苏州·期末）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 21．（2023·24七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 22．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 【答案】A 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N， 则AM=PM，AN=QN， ∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝， ∴ ∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴∠P+∠Q=， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 23．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 24．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 1．（2023·24七年级下·广东汕头·期末）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点， 过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图  所示， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大． 2．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=10，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5， ∴CE+EF的最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键． 3．（2023·24七年级下·江西九江·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 【答案】13 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 4．（2023·24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴点A与C关于对称， ∴， 此时，最小值为的长， ∵，点G为的中点， ∴， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点，等腰直角中，，，，在轴上滑动时，的最小值是 。    【答案】 【详解】解：如图所示，过作轴的平行线，作点关于的对称点，连接，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， 过作于， 轴， 轴， 、、三点共线， 等腰直角中，，，， ，， ， 中，， 的最小值是． 故答案为：． 6．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点,交于点,过点作于点, , ∵平分,,, ∴, ∴的最小值, ∵三角形的面积是,, ∴,即,解得:, ∴则的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题,角平分线性质,垂线段最短,三角形面积公式． 7．（2023·广东广州·一模）如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴平分， 作点关于的对称点，，如图， 则为中点，所以， 连交于点， ∴， ∴． 故答案为．    【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键． 8．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    【答案】150 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 9．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； (2)在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求作， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． 10．（2023·24七年级下·全国·期末）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 11．（2023·24七年级下·广东中山·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上画出点，使最小，并写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)作图见解析，点P的坐标 【详解】（1）解：与关于轴对称，，，， ，，， 如图，即为所求，的坐标； （2）解：的面积； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，点P即为所求，点P的坐标．    【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． 12．（2023·24七年级下·北京朝阳·期末）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$