安徽省定远县第三中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024~2025学年第二学期高一5月考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范国：人教A版必修第二册第六章一第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数z=2i(4一5i)(i为虚数单位)在复平面内的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列说法正确的是 A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.一个棱柱至少有两个面互相平行 D.用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 3.如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则CD= ABC+号BA B.-BC+7BA C.BC-7 BA D.-BC-BA 45引 A B'x D 第3题图 第4题图 4.如图所示，△A'B'C表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A'B'在x轴上， B'C与x轴垂直，且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为 A.3 B.3√2 C.6 D.6√2 【高一5月考试·数学卷第1页（共4页）】 5453A 5.已知a,3为不同的平面，A,B,M,N为不同的点，a为直线，下列推理中错误的是 A.A∈a,A∈3，B∈a,B∈B,则aC3 B.M∈a,M∈3，N∈a,N∈3，则直线MNCa,直线MNC3 C.A∈a,A∈3.则a∩3=A D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共线，则a,B重合 6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT, 测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B,现测得∠OBA=105°，∠OAB =45°，AB=45m,在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为 A.156m B152 2 C.456m D.452 2 m 7.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB的中点为M,BM的中点为N,则 异面直线BC与DN所成角的正切值为 A.13 B图 4 C③ 6 D.3 8.在△ABC中，E为AC上一点，AC=3AE,P为BE上任意一点，若AP=mAB+nAC(m> 0,>0),则3+1的最小值是 m A.4 B.8 C.12 D.16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给定一组数据5,2,1,2,3,3,2,3,5,4，则这组数据的 A.极差为4 R标准差为号 C.平均数为3 D.中位数为3 10在△ABC中，sim号-9，BC=10,AC=2,则 A.AB=4/5 B.△ABC的面积为8 C△ABC的外接圆直径是5罗 D.△ABC内切圆半径是3一√5 11.如图所示，在三棱锥V-ABC中，AB=BC,且∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，P为线段 VC的中点，则 A.PB与AC垂直 B.PB与VA平行 C.点P到点A,B,C,V的距离相等 D.VB与平面ABC,PB与平面ABC所成的角可能相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班有45名学生，其中男生25人，女生20人.现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9 人参加禁毒知识测试，则应抽取的女生人数为 【高一5月考试·数学卷第2页（共4页）】 5453A 13.已知AB是圆O的弦，且AB=√3，则AB.AO 14.已知三棱锥P一ABC的四个顶点在球O的球而上，且满足条件PA=3,PB=4,PC=5,AB =5,AC=√34，BC=√，则球O的表而积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(2,1),b=(-1,m) (1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值： (2)若a⊥(a一b),求向量a在向量b上的投影向量， 16.(本小题满分15分》 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成 绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组 [85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组 和第五组的频率相同. (1)估计这100名候选者面试成绩的众数； (2)求a,b的值； (3)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数. 组距 0.045 0.020 0药为6的7方8的9巧芬数 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°，AC=BC=2,AA1=4,D 是棱AA1的中点， (1)证明：平面BCD⊥平面ACC1A1; (2)求三棱锥C-BDC,的体积. 程对示司活，西行酒将，： 【高一5月考试·数学卷第3页（共4页）】 5453A 18.(本小题满分17分) 在△MC，中角A.BC的对边分别为a,sA+rB-rC=-2 sin Asin Bin C (1)求C: (2)若c=√，边AB上的中线CD=号，求边a,b的长. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,点M为线 段PB中点，PA=PD=√2，∠APD=90° (1)证明：PD∥平面MAC; (2)求二面角M-CD一A的正切值， 【高一5月考试·数学卷第4页（共4页）】 5453A 75 2024~2025学年第二学期高一5月考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 A C B D C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AC 1.A 2.C 3.B:在△ABC中，D为AB的中点，C市-号Ci+C成)=i-BC=之(i-C)-号C=号i -BC,故选B 4D如图，作线段CD∥y轴，交轴于点D,则CD=BC sin 45 =3=3反，所以边 E 2 AB上的高为2CD=6反.故选D. 5.C对于A,由A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,根据直线上有两个点在平面内，则这条直 线在这个平面内，可得aCB,所以A正确： A 对于B,由M∈a,M∈B,N∈a,N∈A,根据直线上有两个点在平面内，则这条直线 在这个平面内，可得直线MNCa,直线MNCB,所以B正确： 对于C,由A∈a,A∈B,则平面a和平面B是一条经过点A的直线，所以C不正确： 对于D,由A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得aB重 合，所以D正确.故选C 6A依题童可得∠A0B=30,n盟a2光甲5，箭得OB=45反.在△B0T中， AB -OB 8器=am∠0BT=am30,p0T=-0Ban30=45E×号-15v5m 7.B设正方体棱长为a,则AN=√(a)'+(a)=平，由BC∥AD,知∠ADN是DN与BC所成的 角，a∠ADN-平 8.C因为AC=3A花，P为BE上任意一点，AP=mA店+nAC m成+3mA花，由共线定理得m+3m=1,m>0,n>0,则三+ (品+）m+3m=6+0+兴≥6+2√=·开=12，当组仅当 知-兴且m十3=1，即m=之一言时取等号，此时品+片的最 小值是12. 9.ACD 极差为5-1=4：平均数为+5+4+3+3++2+2+2+=3：标准差为 10 /⑤-3)+6-3)++=32-2厘，中位数为3.故选ACD. 10 5 10ABD由二倍角公式，可得cosC=1-2sim号=号，因为Ce(0x),所以snC-寺 【高一5月考试·数学卷参考答案第1页（共3页）】 5453A 由余弦定理有osC=BC ECACA亚-10+行A匹-号，解得AB=45,故A正确： 2BC·CA 40 三角形的面积S=号BC·CAsin C=合×10×2×号=8，故B正确： △M8C的外接圆直径是品。=45×导=5v5,故C错误： 设内切圆半径为r,结合B选项，三角形面积S=之(AB+BC+CA)·一号×(10+2+45)r=8,解得r =3一√5，故D正确.故选ABD. 11.AC过点P作PH⊥AC,垂足为H,可得H为AC的中点.，AB=BC,BH⊥AC, 结合BH∩PH=H,可得AC⊥平面PBH,则AC⊥PB,故A正确：由已知条件可知 PHVA,而PH与PB有交点，因而PB与VA不平行，故B错误：点P是Rt△VAC 的外心，则P到V,A,C的距离相等，则点P到A,B,C,V四点的距离相等，故C正确： VB与平面ABC所成角即∠VBA,PB与平面ABC所成角即∠PBH,tan∠VBA= 器n2PBH2An∠WA与平面AC,PB与平 AB 2AB 2 ABC所成的角不可能相等，故D错误.故选AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 1&是设☑0AB=.0A=0B-R-OA品2E-款-票成.0-5Rs0=是 20A·AB 14.50x由题意可知，PA=3,PB=4,AB=5,可得PA2十PB=AB,所以 ∠APB=三，即PA⊥PB,同理可得，PA⊥PC,PB⊥PC,以点P为一个顶 点，PA,PB,PC为三条相邻棱，构造长方体PADB-CEFG. 由于点P,A,B,C都在球O的球面上，显然长方体PADB一CEFG内接于球 O,其对角线PF长就是球0的直径，所以2R=√3+4+5=√5o=5√2， R-号，所以球0的表面积S=4R=x×碧-50x 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)由题意知 -2+m 5m+ =os135=号解得m=-3或行 …4分 (2)a-b=(2,1)-(-1,m)=(3,1-m), 因为a⊥(a一b),所以2X3+1×(1一m)=0, 解得m=7,b=(一1,7).…10分 散a在6上的投影狗量备-浩.品=(-市品> 13分 16.解：(1)由频率分布直方图可知面试成绩在区间[65,75]内的候选者最多， 可以将这个区间的中点作为众数的估计值，… .688866 …1分 所以估计这100名候选者面试成绩的众数为5十7西=70. 2 …4分 (2)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045十0.020+b)×10=0.7,解得b=0.005,… …6分 所以前两组的频率之和为1一0.7=0.3，… …7分 即(a+b)×10=0.3, 所以以=0n025.… …9分 (3)前三个分组频率之和为0.75，… …10分 前四个分组频率之和为0.95，…… …11分 所以第80百分位数在75和85之间， 12分 即为75+08-075 0.02 …14分 =77.5.…15分 【高一5月考试·数学卷参考答案第2页（共3页）】 5453A 17.(1)证明：AA1⊥底面ABC,BCC平面ABC, AA1⊥BC… …2分 BC⊥AC,AC∩AA1=A,AC,AA1C平面ACC1A1 .BC⊥平面ACC1A1,… …5分 ,BCC平面BCD, .平面BCD⊥平面ACCA. …7分 (2)解：：四边形ACCA,为矩形， ∴.CD=CD=2√2，则CD+CD=CC, 10分 即△CDC为等腰直角三角形， Sm,0=7X2W2X2W2=4… …12分 Ve-m,=Va-aw=号XSaa,DXBC= 1 3 …15分 18解：油正弦定理品品Bc得心+-=-2华hnC b 3 …2分 因为cosC=+-二，所以2 alos C=-25 alsin C, 2ab 3 …4分 即anC=-√5， …6分 因为C∈(0，π)，… …7分 所以C-等 …8分 (2)因为C=号，由余弦定理知：2+6-2 alosC=d2+8+ab=19,… 10分 ∠CDB+∠CDA=T,cos∠CDB+cos∠CDA=0,…l1分 即学)+cD-f登+D 13分 2..CD 2分CD CD-2+f=13、▣ …14分 故ab=19-13=6, 15分 解得：a=3,b=2或a=2,b=3.… …17分 19.(1)证明：如图1，连接BD交AC于O,连接OM,则O为BD中点 因为O,M分别为BD,BP中点，所以OM∥PD. …3分 因为OMC平面MAC,PD过平面MAC,所以PD∥平面MAC …5分 D 图1 图2 (2)解：如图2，取AD中点H,连接PH,HB,取HB中点G,连接MG,GC,可得MG∥PH.…6分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD. 所以PH⊥平面ABCD.…7分 因此MG⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以MG⊥CD.…8分 过G作GQ⊥CD交CD于Q,连接MQ,MGnGQ=G, 可得CD⊥平面MGQ,所以CD⊥MQ, 所以∠MQG就是所求二面角的平面角， 12分 MG=PH=合，GQ-子AD-是， 在R△MQG中，可得m∠MQG瓷 3 即二面角M-CD-A的正切值为子 …17分