精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025年5月高一下学期数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示直接得解. 【详解】由已知，， 则， 故选：C. 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 3. 已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析题目条件，得到，画出草图，利用等和线得到，过O点,C点分别向AB做垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出的大小 【详解】解析：作，，，由题意， 设直线与直线交于点， ∵（，）， ∴点在线段上（不含端点） 又，结合等和线性质，可知 作于，于， 有， 记 ①当点在线段上时，， 由，得，可解得，进而有 此时，， （注：点为线段的中点，在线段上，符合题意） 可得，所以 ②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，. 故选：A 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式化简可得解. 【详解】， 故选：D. 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可. 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　) A. B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可. 【详解】 如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中 易知点B的坐标 因为 所以OB=BC，即 整理可得 ，所以 而的最小值为， 即 将，当时取最大值，此时 故的最大值为8 故选C 【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题. 7. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出即可得答案. 【详解】令，因为， 所以， 得， 所以与的夹角为. 故选：B. 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. 32 C. D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义计算可得结果. 【详解】作，垂足为，如下图所示： 则为的中点， 故 . 故选：A 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法求得一些特殊点的值，然后利用函数奇偶性和周期性的定义判断A,B,C即可;然后利用函数的概念和性质计算选项D即可. 【详解】令，得， 令，得，故为奇函数，所以 选项B正确，选项C错误； 令，得 令，得 所以选项A正确； 令，得 所以 令，得 因为， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：赋值法常用的赋值有，两个变量相等，其中一个变量为0或1.也需要根据题意分析得到，比如这个题中的和. 10. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差的概念，百分位数的概念，平均数与中位数的概念，即可分别求解． 【详解】解：A．根据表格数据可得销量的极差为，选项正确； B．根据表格数据可得销量的平均数为，选项正确； C．，销量的第40百分位数是从小到大排列的第3个数据，即为13.2，故选项错误； D．中位数为，故选项错误； 故选：AB． 11. 已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用转化法表示向量数量积，即可得，进而可得，再利用转化法表示各向量数量积，即可判断各选项. 【详解】由，则， 即，所以， 又，所以，且，即，A选项正确； 若为中点，则，， 则，B选项错误； ，C选项正确； 设，，则， 所以， 所以，D选项错误； 故选：AC. 12. 如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 【详解】由题意可得，所以，故A错误； 过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点 ， 则四边形的面积为 ，故B正确； 因，在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 三棱锥中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足，A点在侧面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是____________. 【答案】36 【解析】 【分析】由题设O是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于，易得分别是、中点，再应用线面垂直的判定、性质求证、，即可知为等边三角形，设其边长为，利用棱锥体积公式得，应用三元基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由P在平面ABC的射影为O，且， 所以O是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于， 则分别是、中点， 由面，面，则， 又H是的垂心，则， 而，面，所以面， 由面，故， 由面，面，则， 又，面，则面， 由面，所以， 而面，则，又，，面， 所以面，面，则， 而面，则， 又，面，则面， 由面，则，即， 根据，，分别为、中点，故为等边三角形， 设边长为，则，故，又， 所以，则， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以三棱锥体积的最大值是36. 故答案为：36 【点睛】关键点点睛：首先要判定为等边三角形，再设的边长，结合锥体体积公式、基本不等式求体积最大值. 14. 已知，且为第三象限角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得且，结合同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】， ∴， 又为第三象限角， 所以， 由知：. 故答案为：. 15. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 【答案】 【解析】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 16. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的几何意义，结合图像即可得到答案. 【详解】由,可得，且，即. 作， 如图所示，则，，均为正三角形，且， 由，得， 化简可得，，所以在直线上. 由图像可知，，所以， 可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以. 如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然， 此时的最小值为. 四、解答题（共70分） 17. 已知向量，，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可表示，即可得； （2）利用坐标法表示，再根据向量垂直的坐标表示可得解. 【小问1详解】 由已知向量，，且与垂直， 则，即， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 解得. 18. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解． 【小问1详解】 设， 则， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得， . 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 20. 在中，角，，的对应边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解； （2）根据余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，， 所以，即， 又，则； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可知， 即，化简可得， 解得或（舍）， 则的面积. 21. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）证明：平面平面； （2）求； （3）记与侧面所成的角分别为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，即可证明平面，从而得证； （2）根据，利用等体积法计算可得； （3）设时平面与的交线，过点作平面使得平面，设，即可得到，设，同上方法可得，即可求出，从而得证. 【小问1详解】 因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 设，连接，则平面， 设点到平面的距离为，因为在正四棱锥中，所有棱长均为， 所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为， 又， 依题意可得， 所以， 即，解得； 【小问3详解】 设平面与的交线为，，， 过点作平面使得平面， （即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接， 则，又，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面与的交线为，平面，所以， 所以平面）， 设，，，， 所以，即， 所以，同理可得， 所以， 设，同上方法可得， 所以， 而， 所以， 又与侧面所成的角分别为， 则，，，， 而， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用等体积法，第三问关键是求出，即可求出，再由平方关系证明. 22. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高一下学期数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　) A. B. C. 8 D. 7. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. 32 C. D. 64 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 10. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 11. 已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的取值范围为 12. 如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 三棱锥中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足，A点在侧面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是____________. 14. 已知，且为第三象限角，则______. 15. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 16. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______． 四、解答题（共70分） 17. 已知向量，，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 18. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 20. 在中，角，，的对应边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 21. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）证明：平面平面； （2）求； （3）记与侧面所成的角分别为，证明：． 22. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $