精品解析：2025年湖北省大冶市五月中考调考数学试卷

大冶市2025年初中毕业科目五月调研考试 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事項： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案格号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 某地一天早晨的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（ ） A. ℃ B. 9 C. D. 3 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 6. 如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 36 9. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x的方程的两个根分别为 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个小于的无理数是_____． 12. 计算：＝_____． 13. 某学习小组在延时课上制作了四张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小安从五张卡片中随机抽取两张，则抽取两张卡片均属于化学变化的概率____． 14. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为____． 15. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 17. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O． （1）求证：； （2）问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明． 18. 数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分． 课题 测量校内旗杆高度 目的 用所学数学知识及数学方法解决实际问题—测量旗杆高度 测量成员 小明 小东 示意图 测量工具 皮尺、测角仪 皮尺、测角仪 测量数据 ， ， 参考数据 ， 请你在小明、小东的方案中任选一种方案，根据方案提供的示意图及相关数据求出旗杆的高度（精确到1）． 19. 临近中考，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下：74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下： 组别 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中， ， ； （2）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生一共有多少人； （3）请从平均数、众数、中位数、方差任选一个统计量，比较A、B两校学生作业完成时长的情况． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，且点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为． （1）求b，m的值； （2）点是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接，结合函数图象，直接写出长的取值范围． 21. 如图，是的直径，C、E是上两点，平分，于D，交于点F，垂足为M． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量（单位：件）与门店售价（单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求与的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①门店售价多少元时，两种销售方式的月利润总和为5700元； ②若有关部门临时规定该文创产品门店售价的利润率不得高于80%，当门店售价定位多少元时，两种销售方式月利润总和最大，最大利润是多少元？ 23. 折纸是数学课中常见的操作，同学们可以由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点E在边上，沿折叠矩形，点B落在点M处，连接交于点O． （1）小明发现：在图1中如果延长交边于点N，如图2，则有，请说明理由． （2）若矩形是一张纸（），且点E是边的中点，如图2所示折叠与连线，求的值． （3）在矩形纸片中，如图3，点E、F分别在边和上，连接，且平分，求的比值（用含k的代数式来表示）． 24. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图像与y轴交于点C，与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），P是其顶点． （1）求抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）． （2）若，如图1，过点P作直线轴，过点C作于点F，若，求m的值． （3）若时，见备用图，三个顶点的坐标分别为，当函数（m为常数）与的直角边的交点为Q，过点Q作x轴的平行线，与此函数图象的另一个交点为，过C作x轴的平行线，与函数图象另一个交点为． ①求m的取值范围． ②若，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市2025年初中毕业科目五月调研考试 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事項： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案格号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 某地一天早晨的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（ ） A. ℃ B. 9 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，正数和负数，根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 即这天中午的气温是， 故选：B． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不正确； B.，故该选项不正确； C.，故该选项正确； D.，故该选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 5. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形； 俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形； 左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形． 所以俯视图改变，左视图改变． 故选：C． 【点睛】考查三视图中的知识，从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键． 6. 如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，理解圆周角定理是解题关键．根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴、、、所对的弧的和是半圆，所对圆心角的度数为， ∴． 故选：B． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示： ，， 在矩形中，，则， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，且, 在矩形中，，， 矩形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键． 9. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x的方程的两个根分别为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∴当时，； ∵当时，， ∴二次函数的对称轴为，即， ∴，故选项D正确，符合题意； ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为，故选项C错误，不符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个小于的无理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较．根据两个负无理数的大小比较确定即可； 【详解】解：∵， ∴； 故答案是：等答案不唯一． 12. 计算：＝_____． 【答案】x﹣2． 【解析】 【分析】利用分式化简法则，即可 【详解】解： 【点睛】本题主要考查分式的化简 13. 某学习小组在延时课上制作了四张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小安从五张卡片中随机抽取两张，则抽取两张卡片均属于化学变化的概率____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及小临抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶四张卡片内容中是化学变化的有∶A，D． 画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中小安抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有∶，．共2种，所以小安抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 故答案为：． 14. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 15. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 【答案】 ①. ##度 ②. ## 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质可求得；延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，推出是等腰直角三角形，在中，解直角三角形求得，，，推出是等边三角形，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 延长到，使，连接，作于点， 设正方形的边长为1， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、乘方、算术平方根、绝对值，先化简负整数指数幂、乘方、算术平方根、绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O． （1）求证：； （2）问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形，证明见详解 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，运用是的垂直平分线，得，，即可证明． （2）先证四边形是平行四边形，再证，即可由菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）得 ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 18. 数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分． 课题 测量校内旗杆高度 目的 用所学数学知识及数学方法解决实际问题—测量旗杆高度 测量成员 小明 小东 示意图 测量工具 皮尺、测角仪 皮尺、测角仪 测量数据 ， ， 参考数据 ， 请你在小明、小东的方案中任选一种方案，根据方案提供的示意图及相关数据求出旗杆的高度（精确到1）． 【答案】选择小明：旗杆的高度约为16米，选择小东：旗杆的高度约为18米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 选择小明，先解，可设米，则米，再解，得到，代入求解即可；选择小东，先解，可设米，则米，再，得到，再由，建立方程求解． 【详解】解：选择小明： 由题意得：， 在中，，∴， 设米，则米， 在中，， ， ， ， 求得旗杆高度为16米； 选择小东：由题意得：， 在中，，∴， 设米，则米， 在中， ∴ ， ， ∴， ∴米， ∴旗杆的长约为18米． 19. 临近中考，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下：74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下： 组别 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中， ， ； （2）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生一共有多少人； （3）请从平均数、众数、中位数、方差任选一个统计量，比较A、B两校学生作业完成时长的情况． 【答案】（1）18，74.5 （2）920人 （3）从众数来看，A校学生完成作业用时最多的时长是75分钟，B校学生完成作业用时最多的时长是85分钟，从众数来看，B校大多数学生作业用时比A校多 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等， （1）由收集来的数据可直接求出；根据中位数的定义可求出y的值； （2）用样本估计总体可得解； （3）从众数的角度可分析． 【小问1详解】 解：由收集来的数据可得， A学校学生课后书面作业时长在组的具体数据从小到大顺序排列为： 72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80 A学校学生课后书面作业时长最中间的2个数据为：74，75， 所以，A学校学生课后书面作业时长的中位数， 故答案为：18；78.5； 【小问2详解】 解：（人）， 故答案为：920； 【小问3详解】 解：从众数来看，A校学生完成作业用时最多的时长是75分钟，B校学生完成作业用时最多的时长是85分钟，从众数来看，B校大多数学生作业用时比A校多． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，且点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为． （1）求b，m的值； （2）点是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接，结合函数图象，直接写出长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求出b值，从而得出一次函数解析式，再把代入一次函数解析式求出n值，然后把代入反比例函数银析式求出值即可； （2）先画出示意图，如图，由，得出，点P在线段上运动，连接，过点O作于D，，求出的长，即可由求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得：， ∴一次函数解析式为， 把代入，得， 解得：， 把代入得，， 解得：；    【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴点P在线段上运动， 连接，过点O作于D， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键． 21. 如图，是的直径，C、E是上两点，平分，于D，交于点F，垂足为M． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂径定理、切线的判定和等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，根据等边对等角和角平分线的性质可得，在通过平行线的判定可得，求得，然后即可求解； （2）根据垂径定理可求得，在中，通过勾股定理求得，然后求得，在通过弧长公式即可求解； 【小问1详解】 证明：连接，即，如图： ∴， ∵于D，交于点F，垂足为，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径，交于点F，垂足为M，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴且， ∴ ∴， ∴， ∴； 22. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量（单位：件）与门店售价（单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求与的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①门店售价多少元时，两种销售方式的月利润总和为5700元； ②若有关部门临时规定该文创产品门店售价的利润率不得高于80%，当门店售价定位多少元时，两种销售方式月利润总和最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）①门店售价15元时，两种销售方式的月利润总和为5700元；②门店售价定位18元时，两种销售方式月利润总和最大，是7200元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程、二次函数图象与性质等知识．读懂题意，准确求出函数关系及一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据题意，由待定系数法求一次函数关系式即可得到答案； （2）①根据题意，门店销售利润为；网络销售利润为；由两种销售方式的月利润总和为5700元列方程求解即可得到答案； ②由门店售价的利润率不得高于80%，得到，设两种销售方式月利润总和为元，得到，由二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将、代入得： ， 解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①设门店售价， 由（1）知，门店的月销量与门店售价的函数关系式为， 则门店销售利润为； 网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件， 网络销售利润为； 当两种销售方式的月利润总和为5700元时，， 则，即， 解得， ， 取，即门店售价15元时，两种销售方式的月利润总和为5700元； ②有关部门临时通知该文创产品门店售价的利润率不得高于80%， 门店售价，即， 设两种销售方式月利润总和为元， 则 ， ， 抛物线开口向下， ，而， 当时，（元）， 答：当门店售价定位18元时，两种销售方式月利润总和最大，是7200元． 23. 折纸是数学课中常见的操作，同学们可以由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点E在边上，沿折叠矩形，点B落在点M处，连接交于点O． （1）小明发现：在图1中如果延长交边于点N，如图2，则有，请说明理由． （2）若矩形是一张纸（），且点E是边的中点，如图2所示折叠与连线，求的值． （3）在矩形纸片中，如图3，点E、F分别在边和上，连接，且平分，求的比值（用含k的代数式来表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）由（1）得：，再结合，可得，设，则，可得，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据，可得，从而得到，即可解答； （3）延长到点P，使得，连接交于点O，连接，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，再结合矩形的性质证明，可得，再由，可得，根据，从而得到 ，进而得到，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：，即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴，即， 由折叠的性质得：， ∵点E是边的中点， ∴可设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：：延长到点P，使得，连接交于点O，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 24. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图像与y轴交于点C，与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），P是其顶点． （1）求抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）． （2）若，如图1，过点P作直线轴，过点C作于点F，若，求m的值． （3）若时，见备用图，三个顶点的坐标分别为，当函数（m为常数）与的直角边的交点为Q，过点Q作x轴的平行线，与此函数图象的另一个交点为，过C作x轴的平行线，与函数图象另一个交点为． ①求m的取值范围． ②若，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或者 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）求出对称轴，把对称轴对应的自变量的值代入函数解析式，求出顶点纵坐标即可； （2）求出点坐标，进而求出点坐标，根据，得到，求出，进而得到点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）①分与抛物线相交，交点Q在之间和与抛物线相交，两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解： ∴当时， ； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵直线轴，，， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴代入，得： 解得：(舍去负值）； 【小问3详解】 ①当与抛物线相交，交点Q在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当与抛物线相交时， ∵ 则交点Q的纵坐标为 由上可知：抛物线过点， ， ； 综述或； ②当时，点Q的横坐标为，，因此点Q在对称轴直线的左侧 此时，， ，即：， ； 当时，把点Q的纵坐标代入，得：， ∴， ， ， ∴， 解得：或（舍去）； 综述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $