第03讲 用一元二次方程解决问题（知识清单+6必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第03讲 用一元二次方程解决问题 题型梳理 题型方法 题型一 面积问题 题型二 平均变化率问题 题型三 销售利润问题 题型四 图表信息问题 题型五 与一元二次方程有关的三角形动点问题 题型六 与一元二次方程有关的四边形动点问题 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】面积问题 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）一块矩形花圃的面积是，它的长比宽多，设长为，由题意可列方程(    ) A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为 米． 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． (1)若所构菱形面积为，则应如何截取？ (2)所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 【题型二】平均变化率问题 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）2022年底江苏省基站数量约万座，计划2024年年底全省基站数量将达到万座，若全省基站数量的平均每年的增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 【题型三】销售利润问题 【例3】（21-22八年级下·江苏泰州·期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏南京·期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 ．（方程不需化简） 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件； (2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【题型四】图表信息问题 【例4】（九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【举一反三】【变式1】（九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【变式2】（九年级上·江苏南京·阶段练习）某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【变式3】（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2) 某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【题型五】与一元二次方程有关的三角形动点问题 【例5】（21-22九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为 时的面积为． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，中，，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【题型六】与一元二次方程有关的四边形动点问题 【例6】（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则 秒． 【变式2】（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．    (1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________． (2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？ (3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由． 【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接． ①当为等腰三角形时，求t的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏常州·期末）如图，在一块相邻两边长分别为、的矩形绿地内，开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，且花圃的面积与四周绿地的面积相等．设四周绿地的宽是，根据题意，可列出方程（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 6．（24-25九年级下·江苏南京·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 用一元二次方程解决问题 题型梳理 题型方法 题型一 面积问题 题型二 平均变化率问题 题型三 销售利润问题 题型四 图表信息问题 题型五 与一元二次方程有关的三角形动点问题 题型六 与一元二次方程有关的四边形动点问题 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】面积问题 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）一块矩形花圃的面积是，它的长比宽多，设长为，由题意可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个矩形的长为，则宽为，根据矩形苗圃的面积为列出方程即可． 【详解】解：设这个矩形的长为，则宽为，根据题意得 ． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为 米． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设修建时观景廊桥宽度是米，根据使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设修建时观景廊桥宽度是米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，修建时观景廊桥宽度最大只能是米， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 【变式3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． (1)若所构菱形面积为，则应如何截取？ (2)所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 【答案】(1)截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； (2)不能构成面积为的菱形，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，菱形的面积，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意列出一元二次方程，求解即可； （2）由（1）可得，，即，因为，方程无解，即可判断． 【详解】（1）解：将一根长为的小棒截成两段，设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意得： ， ∴， 解得：，， 当时，，当时，， ∴将一根长为的小棒截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴不能构成面积为的菱形 【题型二】平均变化率问题 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）2022年底江苏省基站数量约万座，计划2024年年底全省基站数量将达到万座，若全省基站数量的平均每年的增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全省基站数量的平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设全省基站数量的平均每年的增长率为，根据题意得 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，根据“某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为， 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】平均每次降价的百分率是 【分析】本题考查了分式方程的应用，设平均每次降价的百分率是，根据某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍去）： 答：平均每次降价的百分率是 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的建议的方案对购买者更优惠，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为x，根据服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出小明建议的方案价格，再比较即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）， 答：平均每次下调的百分率为； （2）解：小明的建议的方案对购买者更优惠，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴小明建议的方案对购买者更优惠． 【题型三】销售利润问题 【例3】（21-22八年级下·江苏泰州·期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出涨a元与降b元所获得的利润，由题意即可得关于a、b的等式，化简即可确定． 【详解】涨a元时，每天的利润为元；降b元时，每天的利润为元，则由题意得：=， 即， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了利润问题的实际应用，根据题意弄懂涨降后的利润与销量是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏南京·期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 ．（方程不需化简） 【答案】 【分析】根据利润=每件利润×销售数量，建立方程即可． 【详解】解：根据题意可知： 销售件数为：件， 销售一件所获的利润为：元， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程问题，解题的关键是设售价，分别表示销售量及每件的利润，根据求利润的公式列出方程 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 【答案】每束鲜花应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设售价每束下降元，则每天可售出束， 根据题意：， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价元 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件； (2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】(1)8 (2)每件童装应降价元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，即可得到结果； （2）设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 则平均每天就可多售出8件； 故答案为：8； （2）解：设每件童装应降价元， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：或， 根据题意得到扩大销售量，增加盈利，减少库存，故舍去， ∴每件童装应降价元． 【题型四】图表信息问题 【例4】（九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程 【举一反三】【变式1】（九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【详解】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 【变式2】（九年级上·江苏南京·阶段练习）某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量； （2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可． 【详解】解：（1）填表（结果需化简）    时间    第一周     第二周    清仓时 单价（元）      80     80-x     40 销售量（件）      200    200+10x    400-10x 故答案为：80-x，200+10x，400-10x； （2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000， x2-20x+100=0， 解得：x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的关键． 【变式3】（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【题型五】与一元二次方程有关的三角形动点问题 【例5】（21-22九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ． 【答案】或 【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在中，， ∴． 设顶端上移米， 如图， ∴ 依题意得： 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为 时的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积，三角形中位线定理，过点作于，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意得，然后列出方程，求出方程的解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据题意得：，， ∴，， 过点作于， ∵，即， ∴， 又∵是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得：，，即当或时，的面积是， 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，中，，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)经过2秒或4秒，使的面积等于 (2)经过秒或5秒或秒后的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，使的面积等于，则，推出，再根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段延长线上；③点在线段延长线上，点在线段延长线上． 【详解】（1）解：设经过秒，使的面积等于， 则， ∴， ， ，即， 解得：或， ∴经过2秒或4秒，使的面积等于； （2）解：①点在线段上，点在线段上时， 设经过秒，的面积为， 依题意得：， ， ， 由题意得：，即， ， 解得：（舍去）或， 故符合题意； ②点在线段上，点在的延长线上， 设经过秒，的面积为， 依题意得：， ， ， 由题意得：，即， ， 解得：，符合题意； ③点在延长线上，点在的延长线上， 设经过秒，的面积为， 依题意得：， ， ， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒或5秒或秒后的面积为． 【题型六】与一元二次方程有关的四边形动点问题 【例6】（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 【答案】B 【分析】设点P运动的时间为ts,根据题意得：,然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为ts, 根据题意得：, ∴ ∵ ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点P运动的时间为2s, 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则 秒． 【答案】4- 【分析】根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动， ∴PA=2t，PC=， ∵， ∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去）， 故答案是：4-． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．    (1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________． (2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？ (3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是 (3)、出发3秒时四边形为矩形 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． （3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴； 故答案为，； （2）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或， 答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是； （3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下： 当四边形为矩形，则， 即， 解得：． 答：当、出发3秒时四边形为矩形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接． ①当为等腰三角形时，求t的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，最小，的最小距离为 (2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案； （2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案； ②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得：，， ∵，， ∴， 当时，最小，此时四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，最小，的最小距离为； （2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，    ∴，， ∴， 在中， 根据勾股定理，可得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 解得：； 当时， 可得：， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，为的中点， ∴， 解得：， 综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或； ②不存在一个时刻，使得，理由如下： 当时， 可得：， 即， 整理可得：， ∵， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 2．（22-23九年级上·江苏常州·期末）如图，在一块相邻两边长分别为、的矩形绿地内，开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，且花圃的面积与四周绿地的面积相等．设四周绿地的宽是，根据题意，可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用含x的代数式表示出花圃的面积，再根据题中所给等量关系列出等式即可． 【详解】解：由图可知，花圃的长为，宽为， 花圃的面积与四周绿地的面积相等， 花圃的面积等于整块土地面积的， ， 故选A． 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是根据题意得出花圃的面积等于整块土地面积的． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 二、填空题 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键．由题意列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 6．（24-25九年级下·江苏南京·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，牢记年均增长率的计算公式是解题的关键． 根据年均增长率的计算公式，列方程即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x． 根据题意得： 解得 （不合题意，舍去） 即平均每年增产的百分率为， 故答案为： 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克水果应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题和营销问题），根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为m，则两次降价后为，然后列方程求解即可； （2）设每千克涨价x元， 根据“每千克盈利每日销量每日盈利”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m， 根据题意，可得： ， 解得：，（不合题意，故舍去）， 每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：每千克应涨价5元． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 11．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 【答案】(1)； (2)该商品销售单价为每件40元． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，代入，，然后解方程组即可； （2）根据“销售利润单个利润销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解； 【详解】（1）解：设，代入，， 则， ，， ； （2）解：根据题意，得， ，， ， ． 答：该商品销售单价为每件40元． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$