猜想04 解三角形常见大题（考题猜想，7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

猜想04 解三角形常见大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 常规的边角互化 · 题型二 非齐次的边角互化 · 题型三 三角函数、解三角形的结合 · 题型四 多三角形的解三角形问题 · 题型五 中线和角平分线问题 · 题型六 基本不等式求最值问题 · 题型七 三角函数求最值问题 题型一 常规的边角互化 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由正弦定理及，得， 又，，所以， 所以. 由，则，所以. （2）由，，得，由正弦定理，得. 由（1）知，，所以， 所以，所以. 由余弦定理，得， 解得或（舍去），故的周长为. 2．已知的内角所对边的长分别为.满足. (1)求角； (2)若，且，求边. 【答案】(1) (2)，或，. 【详解】（1）由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 而为三角形内角，故. （2）因为，故， 故，故或， 若，而为三角形内角，故，则， 故，此时，. 若，则由正弦定理可得， 由余弦定理可得即， 故，. 综上，，或，. 3．已知在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，其中． (1)求B； (2)若的面积，求b的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得，由于， 则，即，由于，则； （2）由于的面积，解得， 由余弦定理得， 故. 4．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，故. 由正弦定理有，即. 故由余弦定理有，. 所以. （2）由余弦定理有，又，，， 故，解得或（舍去）. 故的面积为. 5．在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. （2）由余弦定理可得， 又因为，可得. （3）由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 题型二 非齐次的边角互化 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 7．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 由正弦定理，可得 又, . （2），设，则， 在中，. 在与中，. . 8．在中，内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得， 则，而，因此，又， 所以. （2）由（1）及余弦定理得：，即， 解得或，当时，， 当时，， 所以的面积为或. 9．在中，内角所对的边分别为，且 . (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以， 因为，所以，可得：， 又因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：， 因为，所以，可得， 所以，即，解得：， 所以. 题型三 三角函数、解三角形的结合 10．已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)，解集为； (2). 【详解】（1）由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 11．已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）， 由于，所以， 由正弦函数性质可知，当即时， 函数在区间上取到最小值. （2）， 所以或， 即或， 而B为三角形内角，所以或. 当时，等腰是等边三角形，周长为6， 所以边长为2，面积为； 时，等腰是等腰直角三角形，周长为6， 设直角边，所以， 所以，面积为. 综上，的面积为或. 12．已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)在中，，且锐角满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得 ， 由可得. 所以， 故函数的值域为. （2）由（1）知，， 因为，所以，即， 又因为，可得， 可得：，得， 由以及余弦定理得， 所以. 13．在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以 又因为，所以， 所以， 所以. （2）法一：由（1）知若， 因为，所以， 因为， 所以，因为， 由正弦定理知， 所以，所以， 所以. 解法二：由（1）知. 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， ，所以 又因为，所以或， 由正弦定理知， 所以， . 14．已知向量，，函数， (1)若，，求的值； (2)在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得向量，， 而函数，故， ， 因为，所以，， 因为，所以， 得到，由同角三角函数的基本关系得， 解得，而， . （2）在中，角对边分别是， 且满足，由余弦定理得， 则，得到， 即，得到， 由余弦定理得，故， 而，解得，而当时，， 此时面积为，且， 故，解得，由余弦定理得， 故，解得， 则由正弦定理得. 题型四 多三角形中的解三角形 15．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中， 由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得 ，② 又， 所以，③ 由①②③得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 又，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得，所以， 所以． （3）由的面积为，得， 解得． 16．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以， 解得或（舍）， 所以； （2）由题意，在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 解得； （3）方法一：在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 因为 ， 所以； 方法二：在中，由， 可得，所以， 所以，所以， 又由于，从而，即， 所以， ， 所以. 17．如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，在中，， 在中，，，则，所以， 所以. （2）以为原点，分别以、的方向为、轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示， 所以、、、， 所以，， 所以. （3）因为，解得， 故. 18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，则． 由余弦定理得， 所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由（1）知，又，所以． （3）若，则，得，与已知矛盾． 若，则， 所以化为，即， 整理得，即，解得． 19．如图，在中，已知是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）在中， 由余弦定理可得：. （2）因为 所以，所以， 在中，， 由正弦定理，， 所以. （3）在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得，， 所以，. 20．如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. (1)若，求的值； (2)试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由题意可得，， 在中，由余弦定理 ，即， 又由正弦定理，，则， 因，所以. 在中，，由正弦定理，，所以. （2）在中，由正弦定理，， 则， 在中，由正弦定理，， 则， 故的面积 . 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的面积最小，且最小值为. 题型五 三角形的中线与角平分线 21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而.    根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 22．记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，， (1)求角的大小； (2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即， 所以，即， 因为，所以． （2）选择条件①： 在中，由余弦定理，得， 即，故， 当且仅当时，等号成立， 又因为. 所以. 故CD的最大值为3． 选择条件②： 由题，平方得， 在中，由余弦定理得， 所以， 故，当且仅当时，等号成立， 故有， 从而，即CD的最大值为3． 23．记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ， ， 又，得， 又，故. （2） （ⅰ）， ， 解得. . （ⅱ）， ，得， 又，即，，当且仅当，等号成立. . 24．在中 (1)若求； (2)若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）法1:由余弦定理可知 又 由正弦定理知： 法2:因由正弦定理知： （2）由条件知：由余弦定理可知 ① ② 由①②得 25．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，，边上的中线，相交于点M． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题设及正弦定理可得， 所以， 整理得，且， 可得，故， 又，则，可得. （2）（i）由，则； （ii）令且，又，则， 由共线，则，即， 而，则， 所以. 26．已知的内角的对边分别为向量. (1)求的大小； (2)是边BC上一点且AD平分，若的面积是，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得， 再由三角形正弦定理角化边得：， 整理得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以. （2） 由的面积公式得：， 因为AD平分，，， 所以，化简得：， 又由的面积是，则，解得：， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，即三角形的周长是. 题型六 基本不等式求最值 27．在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且. (1)求角A的大小； (2)若D是的中点，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 故 即 即 （2）    ∵D是的中点，， 即 即 ，故 当且仅当时，等号成立， ∴面积 即面积的最大值为 28．记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 29．已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点在线段上，，，求的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则， 整理得， 而，则， 两边平方得， 又，所以，， 于是，解得， 所以． （2）由（1）知，由余弦定理得 ， 而，， 则，解得， 所以， 所以外接圆的半径为． （3）由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 30．的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得. 因为，所以， 则. 又，所以. 因为，且， 所以. 由，可得. （2）因为 所以由， 可得，则. 根据余弦定理，,可得. ， 当且仅当时，等号成立， 由，可得，故的最大值为. 31．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 32．如图，在凸四边形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 由，则， 根据正弦定理得，则， 又根据余弦定理， 所以， 即， 再由正弦定理得， 即， 则， 所以， 因为，则， 所以或， 得或（舍）， 故； （2）根据（1），又， 所以，所以，， 所以，且， 在中，， 根据余弦定理， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形ABCD面积的最大值为. 33．设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为，且，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为D为BC边的中点，. 所以，则， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以. （2）因为，D是BC边的中点， ， ，.    在中，由余弦定理得：， ，  ， 在中，由正弦定理得：， ； （3）设，则， 在中，由余弦定理得：， ， 在中，由余弦定理得：， ，    ， 在中，由余弦定理得：， ，，，即， ，， 所以的取值范围为. 题型七 三角函数法求最值 34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 35．在中，角A，B，C的对边分别为． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． (3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3). 【详解】（1）在中，由，得， ， 又，所以. （2）因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 因此，解得，而， 所以， 故的周长的取值范围是. （3）因为，， 所以得， 设的内切圆半径为r， 由， 得， 由（1）知， 根据正弦定理，得， 则，， 所以 ， 由为锐角三角形，得，解得， 所以，则， 因此，， 所以内切圆半径的取值范围为. 36．在钝角三角形中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，即， 化简得，又，所以， 得，又，所以． （2）由正弦定理得， 因为为钝角三角形，所以， 所以． 当为锐角时，，得，所以， 从而． 当为钝角时，，得， 所以，从而． 综上所述，的取值范围为． 37．在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)等边三角形 (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得， 因，则，则得， 而，所以. （2）在中，由及正弦定理，得， 故得，因，故得， 即为等边三角形. （3）由（1）知，， 因为锐角三角形，得，则， 由正弦定理，得， 所以. 38．在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求角的大小； (2)若，，为的重心，求的长； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方案一：选条件①. 由题意可得，. 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，. （2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， . 法2 在中，由余弦定理可得，， ，. 延长交于点， 为的重心，为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ，. （3） 因为，所以， 从而 39．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ (1)求证：； (2)若求边长 (3)求的最小值. 【答案】(1)选择见解析，证明见解析 (2)4 (3) 【详解】（1）若选① 由余弦定理 则化简可得 根据正弦定理可得 因为 所以 即即 所以，此时或此时 因为所以 若选② 由正弦定理可得 所以即 所以，此时或此时 因为所以 若选③ 因为 所以所以 因为则所以或 若则则不符合题意， 所以即 （2）因为则 由可得 所以 已知由正弦定理可得 设则解得所以 根据余弦定理可得 所以 （3） 所以 因为所以 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为 40．记锐角三角形的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由于，代入可得：． 因， 则有， 化简得，即 因，则，故得，即 （2）因为，所以． 由题意，，，则得. 由正弦定理， 可得 而 ， 因，则，则的取值范围是． 故a的取值范围为． $$猜想04 解三角形常见大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 常规的边角互化 · 题型二 非齐次的边角互化 · 题型三 三角函数、解三角形的结合 · 题型四 多三角形的解三角形问题 · 题型五 中线和角平分线问题 · 题型六 基本不等式求最值问题 · 题型七 三角函数求最值问题 题型一 常规的边角互化 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，，求的周长. 2．已知的内角所对边的长分别为.满足. (1)求角； (2)若，且，求边. 3．已知在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，其中． (1)求B； (2)若的面积，求b的值． 4．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 5．在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型二 非齐次的边角互化 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 7．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且，求. 8．在中，内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 9．在中，内角所对的边分别为，且 . (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 题型三 三角函数、解三角形的结合 10．已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 11．已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 12．已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)在中，，且锐角满足，求的值. 13．在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 14．已知向量，，函数， (1)若，，求的值； (2)在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值. 题型四 多三角形中的解三角形 15．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 16．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 17．如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 19．如图，在中，已知是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 20．如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. (1)若，求的值； (2)试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 题型五 三角形的中线与角平分线 21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 22．记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，， (1)求角的大小； (2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 23．记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 24．在中 (1)若求； (2)若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 25．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，，边上的中线，相交于点M． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 26．已知的内角的对边分别为向量. (1)求的大小； (2)是边BC上一点且AD平分，若的面积是，求的周长. 题型六 基本不等式求最值 27．在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且. (1)求角A的大小； (2)若D是的中点，，求面积的最大值. 28．记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 29．已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点在线段上，，，求的最小值． 30．的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 31．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 32．如图，在凸四边形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，求四边形ABCD面积的最大值． 33．设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为，且，求的值； (3)若，求的取值范围. 题型七 三角函数法求最值 34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 35．在中，角A，B，C的对边分别为． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． (3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 36．在钝角三角形中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 37．在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 38．在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求角的大小； (2)若，，为的重心，求的长； (3)求的取值范围. 39．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ (1)求证：； (2)若求边长 (3)求的最小值. 40．记锐角三角形的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求a的取值范围． $$