11.3.3 平面与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦平面与平面平行的核心知识点，系统梳理平面间位置关系（平行、相交）及判定定理（一平面内两条相交直线平行另一平面）、性质定理（平行平面与第三平面相交得平行交线），前承线面平行，后续空间几何综合应用，构建从线到面的逻辑学习支架。 以中国国家馆实例引入，培养直观想象，通过问题链引导学生抽象空间关系，体现数学眼光。表格化呈现知识，符号与图形结合强化数学语言表达，题型含辨析、证明、计算，例3母题探究提升逻辑推理，课中助教师引导探究，课后练习题助学生巩固查漏。

11.3.3　平面与平面平行 1.通过实例，直观感知、归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理（直观想象）. 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？ （2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识点一　平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有无数个公共点（在一条直线上） 知识点二　平面与平面平行的判定与性质 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果一个平面内有　　　　分别平行于另一个平面 两个平面平行 ⇒α∥β 性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 交线平行 ⇒a∥b 推论：如果一个平面内有两条　　　　直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 【想一想】 　如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（　　） （2）若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平面.（　　） （3）若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行.（　　） （4）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.（　　） 2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的一对是（　　） A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 3.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　） A.平行　 B.相交　 C.异面　 D.不确定 4.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点且满足＝＝，则平面DEF与平面ABC的位置关系是　　　　　. 题型一｜平面与平面间的位置关系 【例1】　已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的是　　　　（将你认为正确的序号都填上）. 尝试解答 通性通法 　　两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类问题的关键. 【跟踪训练】 已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是（　　） A.平行　　　　　　　B.相交 C.异面 D.平行或相交 题型二｜平面与平面平行的判定 【例2】　如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE. 尝试解答 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β； （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【跟踪训练】 在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H，E，F分别为PA，AH，HO的中点，点M在棱PD上，且PM＝3MD. （1）证明：HO∥平面PCD； （2）证明：平面EFM∥平面ABCD. 题型三｜平面与平面平行的性质及应用 【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，P在平面α与平面β的同侧，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝　　　　. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他条件不变，试求BD的长. 通性通法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 【跟踪训练】 　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE＝PD，若PF＝λPC且满足BF∥平面ACE，则λ＝　　　　. 1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（　　） A.n是直线且n⊂α，n∥β B.n，m是异面直线且n∥β C.n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 2.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　　. 3.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG. 提示：完成课后作业　第十一章　11.3　11.3.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3.3　平面与平面平行 【基础落实】 新知初探 知识点二 两条相交直线　a∩b＝P　相交 想一想 　提示：如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.A　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，同理可证H1E∥平面E1FG1.又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1，A正确.分析知B、C、D中两个平面分别相交. 3.A　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A. 4.平行　 解析：在△PAB中，因为＝， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E， 所以平面DEF∥平面ABC. 【典例研析】 【例1】　③④　 解析：①错，a与b也可能异面； ②错，a与b也可能平行； ③对，因为α∥β，所以α与β无公共点.又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b无公共点； ④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面； ⑤错，a与β也可能平行. 跟踪训练 A　如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，因为a∥β，所以a∥c，又a⊂α，c⊄α，所以c∥α，因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，c⊂β，b⊂β，所以α∥β. 【例2】　证明：法一　因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.因为CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE. 法二　假设平面AFH和平面PCE不平行，设平面AFH∩平面PCE＝l，由法一可知AF∥平面PCE，所以AF∥l，同理可得HF∥l，所以AF∥HF，与AF与HF相交矛盾.所以平面AFH∥平面PCE. 跟踪训练 证明：（1）连接AC，正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，则O为AC中点， 又H为PA的中点，则有HO∥PC， HO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以HO∥平面PCD. （2）E，F分别为AH，HO的中点，则有EF∥AO， EF⊄平面ABCD，AO⊂平面ABCD，则有EF∥平面ABCD， H，E分别为PA，AH的中点，有PE＝3EA，又PM＝3MD，则有EM∥AD， EM⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则有EM∥平面ABCD， EF，EM⊂平面EFM，EF∩EM＝E，所以平面EFM∥平面ABCD. 【例3】　　 解析：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝. 母题探究 解：与本例同理，可证AB∥CD. 所以＝，即＝，所以BD＝24. 跟踪训练 　 解析：连接BD，交AC于点O，连接OE，由ABCD是正方形，得BO＝OD，在线段PE上取点G，使得GE＝ED，如图所示，由PE＝PD，得＝，连接BG，FG，则BG∥OE，由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，得BG∥平面ACE，而BF∥平面ACE，BG∩BF＝B，BG，BF⊂平面BGF，因此平面BGF∥平面ACE，又平面PCD∩平面ACE＝EC，平面PCD∩平面BGF＝GF，则GF∥EC，所以λ＝＝＝. 随堂检测 1.C　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，所以n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. 2.平行四边形　 解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形. 3.证明：因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD， 在直角梯形ABCP中，因为BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP， 所以CD∥AB， 所以EF∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB. 又因为EF∩EG＝E， 所以平面PAB∥平面EFG. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $