11.3.2 直线与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦直线与平面平行核心知识点，系统梳理直线与平面的位置关系（含直线在平面内、平行、相交），通过判定定理（平面外直线与平面内直线平行）和性质定理（线面平行则与交线平行）构建知识体系，承接直线与直线位置关系，为平面与平面平行学习奠定基础，提供实例引入、表格梳理及例题训练等学习支架。 资料亮点在于以乒乓球台与球网抽象实例直观引入，培养直观想象；通过定理条件结论对比、通性通法总结（如中位线法、平行四边形法找平行线）发展逻辑推理。课中例题与跟踪训练助力教师引导学生应用定理，课后练习题与作业帮助学生巩固知识，查漏补缺。

11.3.2　直线与平面平行 【基础落实】 新知初探 知识点二 外　内　⊄　⊂　相交　∩ 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.D　由线面平行的判定定理可知，D正确. 3.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B. 【典例研析】 【例1】　证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点. 又D是AB的中点，所以DF∥BC1. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. 跟踪训练 证明：如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点，∴GF∥AD且GF＝AD. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点，∴CE∥AD且CE＝AD， ∴GF∥EC且GF＝EC，∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC∥EF. 又∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD. 【例2】　证明：连接AD交平面α于点E，连接ME和NE，如图所示， 因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α， 所以CD∥ME，所以＝. 同理可得EN∥AB，所以＝. 所以＝，即AM∶MC＝BN∶ND. 跟踪训练 解：∵EF∥平面AB1C，平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC.∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，∴EF＝AC＝×2＝. 【例3】　证明：如图，连接AC，A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 跟踪训练 解：（1）证明：如图，设BC∩OD＝E， ∵D是弧BC的中点， ∴E是BC的中点， 又∵O是AB的中点，∴AC∥OE， 又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD. （2）设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l， ∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形， ∴h＝r，l＝r， ∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3， ∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9（1＋）π. 随堂检测 1.A　因为a∥α，则存在c⊂α使得a∥c且b⊄α.若a∥b且b⊄α，则b∥c，又b⊄α且c⊂α，所以b∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立. 2.平行　 解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 3.证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH.因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB.因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3.2　直线与平面平行 1.借助实例，直观感知、归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理（直观想象）. 2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？ 【问题】　你能给出判定的依据吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 知识点一　直线与平面之间的位置关系 位置关系 直线l在平面α内 直线l在平面α外 直线l与平面α平行 直线l与平面α相交 公共点 有无数个公共点 没有公共点 有且只有一个公共点 符号表示 l⊂α l∥α l∩α＝A 图形表示 知识点二　直线与平面平行的判定及性质 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面　　的一条直线与平面　　的一条直线平行 这条直线与这个平面平行 l　　α， m　　α， l∥m⇒l∥α 性质 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面　　 这条直线就与两平面的交线平行 l∥α， l⊂β， α　　β＝ m⇒l∥m 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a∥b，且b⊂α，则a∥α.（　　） （2）若l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.（　　） （3）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点.（　　） （4）平行于同一平面的两条直线平行.（　　） 2.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　） A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b 3.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　） A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 题型一｜直线与平面平行的判定 【例1】　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明：BC1∥平面A1CD. 尝试解答 通性通法 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法. 【跟踪训练】 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP.求证：EF∥平面PCD. 题型二｜直线与平面平行的性质 【例2】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点.求证：AM∶MC＝BN∶ND. 尝试解答 通性通法 利用线面平行的性质定理证题的一般步骤 提醒　在利用直线与平面平行的性质定理时，不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得到这条直线. 【跟踪训练】 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 题型三｜线面平行判定定理与性质定理的综合运用 【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD. 尝试解答 通性通法 　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链. 【跟踪训练】 　如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点. （1）若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD； （2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积. 1.已知两条直线a，b和平面α满足a∥α，b⊄α，则“a∥b”是“b∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是　　　　. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH. 提示：完成课后作业　第十一章　11.3　11.3.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $