天津市北京师范大学静海实验学校2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷

第 1 页 共 2 页 北京师范大学静海实验学校 2024-2025 学年度高三年级第二学期 第三次模拟测试 数学试题 1.本试卷分为第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案填写 在答题卡上，答在试卷上无效。 3.祝各位考生考试顺利！ 第 I卷（选择题） 注意事项： 1. 每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效。 2. 本卷共 9小题，每小题 5分，共 45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 已知集合 {1,2,3,4}, { | 3 2 },A B y y x x A    ， 则 A B =（ ） A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 2. 设 Rba , ，则“ ba  ”是“ ba lnln  ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某校共有学生 2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为（ ） 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 250 A．8 B．12 C．16 D．24 4．已知 1 33 4 a        ， lg 4b  ， 3log 2c  ，则（ ） A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  5．函数   2sin ln 2 xf x x x     的大致图象是（ ） A． B． C． D． 6．已知m， n是两条不同的直线， ，  ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若 //m n， / /m  ，则 / /n  B．若 //m n， / /  ，m  ，则 n  C．若  ，   ，则 / /  D．若 / /  ，m  ， n  ，则 //m n 7．已知双曲线 2 2 2 2 =1 x y a b  (a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线分别交于 A，B两点，O为坐标 原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB的面积为 3，则 p＝（ ） A．1 B． 3 2 C．2 D．3[来源:Z。xx。k.Com] 8．中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966 年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如 的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为 12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转 动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体 的棱长最长为（ ） A．6 B．4 3 C．2 6 D．4 6 9. 设函数 ( ) 2sin( )f x x   ， xR，其中 0  ， | |  ．若 5( ) 2 8 f   ， ( ) 0 8 f   ，且 ( )f x 的最小正周期大 于 2，则（ ） A． 2 3   ， 12   B． 2 3   ， 12    C． 1 3   ， 24    D． 1 3   ， 24   第 2 页 共 2 页 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 11 小题，共 105 分。 二．填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分． 10. 已知 aR ， i 为虚数单位，若 为实数，则 a的值为___________． 11. 在 的展开式中， 的系数为___________． 12. 已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为  0,1F ，倾斜角为 45的直线 l过点 F ．若 l与C相交于 ,A B两点， 则以 AB为直径的圆的方程为___________． 13. 袋子中装有 8球，其中 6个黑球，2个白球，若依次随机取出 2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取 到白球的概率为__________；若随机取出 3个球，记取出的球中白球的个数为 X ，则 X 的数学期望  E X  __________． 14．在平面四边形 ABCD中， 2 3AB  ， 6AD  ，向量 AB  在向量 AD  上的投影向量为 1 2 AD  ，则 BAD  ___________； 若 1 3 BC AD   ，点 E为线段 BD上的动点，则CE AE   的最小值为___________． 15．已知函数   2 2 2 , 0, e e 1 , 0. 3 x x ax a x f x x a x x           若存在实数 k，使得函数  y f x k  有 6个零点，则实数 a的取值范围是 ___________． 三．解答题：本大题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分 14分)在三角形中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 cos cos 3 cosa C c A b B   （1）求 cosB； （2）若 2b a （i）求 sinA； （ii）求  sin 3 2A B C  . 17．(本小题满分 15分)如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD ＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． (1)证明 B1C1⊥CE； (2)求二面角 B1－CE－C1的正弦值； (3)设点 M在线段 C1E上，且直线 AM与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 6 ，求线段 AM的长． 18． (本小题满分 15分)已知椭圆   2 2 2 2 1 0    x yC a b a b ： 的离心率为 6 3 ，且经过点 62, 3        ，直线 l与 x轴交于点 E， 与椭圆C交于 ,A B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若点 E坐标为  2,0 ，线段 AB的垂直平分线分别交直线 9 2 x   和 l于点 ,P M，若 2 3PM AB ，求直线 l的斜 率． 19．(本小题满分 15分)已知数列 na 是公比大于1的等比数列， nS 为数列 na 的前 n项和， 3 7S  ，且 1 3a  ， 23a ， 3 4a  成等差数列．数列 nb 的前 n项和为 nT ， *n N  满足 1 1 1 2 n nT T n n     ，且 1 1b  . （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）令 2 2 , n nn n n n b bc a b n        为奇数 ， 为偶数 ，求数列 nc 的前 2n项和为 2nQ ； （3）将数列 na ， nb 的项按照“当 n为奇数时， na 放在前面；当 n为偶数时， nb 放在前面”的要求进行排列，得到 一个新的数列 1a ， 1b ， 2b ， 2a ， 3a ， 3b ， 4b ， 4a ， 5a ， 5b ， 6b …，求这个新数列的前 n项和 nP． 20. (本小题满分 16分)已知函数 ( ) e 3( R)xf x ax a    ． （1）当 1a   时，求曲线 ( )y f x 在 (0, (0))f 处的切线方程； （2）当 0x  时，若不等式 2 ( ) 2 2 xf x   恒成立，求 a的取值范围； （3）若 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且 1 2x x ，证明： 1 23e e 3x x a  ． i ia   3 6 3 6 1        x x 1x 北京师范大学静海实验学校2024-2025学年度高三年级第二学期 所以A,言，C三点物高度底满足与2从>k成A2与之4 第三次模拟测试数学答案 用aa-a>度ama-b字 4 6 9 D B D A 显烧，由三点高度细道a>0,a-g<0,所似解不停式可褥2a<5成之。 保合得子a心3 故答常为 10-5 11.15 12x-2f+6-3f=16 16【短所们 4君6 制 【小问1第解】国为cC+c064一3cB, 请以由正弦@理得ic0C+nCoo84=-3nagB.年sn(C)=nB=-3 in BoosB. a+w=2+ 又Be(0,),nB20,所以osB= 9【解】由經意科 ，神长大e2.服0--出)-手T-吾红，题 0 【小问2解】 0<<1,两子甲-法+古，由←有e-是 能适A 由a)可得nB=一B 周9 14【详解】过点&作M系直4D于点M:则向量A应为科量在向保面上的批向量， 若=a,则由压孩定莲利B=反血A型等.m小，斯以mA一月 由思意园高M为线段0的中点，所以-4-6， 以mD岩京点，又D为能角，黄D. 为mA子m8=,= 以点A为第标点，西为年输建表如图。则4低.D风6，勇，成历 u传a4周号 因为双-西，所以C5,) m4-2a4m4-9m44-a得-号 339 因为点E为线段BD上的时点，斯拟设面。丽=热-人)，无如山放点6-从利。 所以in(34+2B+C=n(34+2B+x-A-B=nT+(2A+B)]=-n(24+B] C店店-6-3元501-3-月-6-300-30+5就- -12a-24+6,Ae0月. 当1时，丽正取我最小植-6数咨案为：行：6 n24c08 B-coe24mm 17 33【样解】 1二【评解】 对干0，@-兰对路球号/网少，> 易拜x心(1.了广@，xe(在+四人广(》0数函数在QD单写速减。在0，)单闲逐增， 且/m-0由怒得4-a-D.e,c 因为函数y一代)的溶象和直选y~本有六个交点。 第1属共到 【所】解：内法一 设服-1阿-k,,46A1:两國-正+双-k,A+1》, 仙任味厘图，以成4为南点建白型直角生标系，随最厚得L点00，B位，0，边：G,0,1,1热，之： 可取石一角，心，2为平南能11的一法可重 G4作，名14t格101 42 快B为直述通后干面加1所成的角。刚 属 4-|m(显，话}1- 园 22 、+(+打+×2B+2+ 千是*2a为 6 D 期以一友 学 博阿-山，4-，G正--1,1-，于是死·正 5 mL位 L8【1详解1(1山由思总如 1 2》C=1-2- B- 耗展C的方程为： +2 设平面到年的法向量-，为， 学网 两平-0∫g-2y-=0 0为的点的华不时，s-2号号间-若-，p24, √63 mCg-0.-x+y-:=0 海去：得y十2=0不修子=1可得一个法向魔为=一3一名，山， 由)，1C1LG3,又G上1C1,可得1C11平面GC1: 斜率存在且不为Q设直线们方程为=聘+2,4%)，男)，（优）： 散C=山，0一1)为平面1的一个法向夏. 干是comC)= m配 -42万 (w3+y+Mm-2=0,4-16m+8w3+3)-24[w23+1, m高网×-7 x+32■6 4 所以美+号世行一霜中 从而n。C-回 网=+府-=+m26面.2m +3w+3 所以二面曲旺一一白的正症值为西 北时3=女5。-” a正-01,0，可=红11 wm,水+别 (}6.w度 ,直线的斜率为以成土3 +5 41 第2属共3国 1经【详解】1》由白恩意，设等比数列{仅}的会比为（灯>） 只-+-21k性+1小z艺14a+w+3 由己知。将仍+民+8。) 4+3+4+4-血 0-可+g-7·解限 0+g+g)7 {g2似a-2: 20.【样整】【小月1详解】 由圈段f)me+x-3,m(x)=e+1,且f《00=-2,0=2 又到和项和妖，满合名子4 所以由线y=(x)在00功处的切线方程为Y42=￥，即2x一y一2“0。 渊侣是首碳为1，公鉴为时的等范致刻 子--空虹 【不间2开解1由整镜心-m-32号一2， 交m-120且x20, 则6-文-x,+业- 22 n2: ◆g回-e-于-am-l驻r20.则=e--a 又乌-1也表足上式，折以点-，n@Y: ◆Mx=g,期()-e-1≥0，故从x=gx在0，+o)上单调遥增， 211 (2)()写得，6+习疗片商数 所以g')280=1-e 2,n为偶数 当1-a20,?s1时，g《)20,渊以￥)在[0+m)上单W递增，g)≥0■0，符合： w以么.-6+9++9+g+0,++9) 当1-a<0.n>1时，g(00≤0，常◆+切时8(x)中+m, -}片高e24）a 情以工C0,,能g《x)0,即在0x)上gx)0,g)在0无)上单裤速减，从置(<0=0， 令8=4+24+，+n4① 则4五=+14+-+w42 不行合：位上，as1: 【小问3解】 0将-84.。4. 3 由(%》=本)=0，测=匹+3,8=匹+3.且考<号- a四-F青 9 所以。-。=a5-x),数a=- 雕al高a号嘉学 无-5 由好彩地纸指现和区一吉子1，毯快的每”现和万 魔证004e>知.南证36+e,c3-e】,m3e+e产，手 名车 e=名=无 ①94-2冰aW)时，月-8+x--4+是1你+2 8 证3】，◆1=k-青>0，即3.EK+5-3 e-1xx e-l t 0当n4h-5[tCN (》当n=k=时。P“P-4-1 录终只商证明-+30.令P0--e+3且1>0，则P0-《-C之0， t+l 1+1 0+0 (i》5k≥2时.-及+-2-12-联k-事-岩- 所以P0在0+网上单裤缘塔，所似F0>F0=0,即-e+30, =1时，他清是该式，隋以R~:定-1，+- +1 所以g1+e>3a斜E 电当uk-1世eN), 第属共手国