精品解析：上海市徐汇中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

徐汇中学高二数学第二学期综合练习10 班级_____姓名_____学号_____成绩_____ 一.填空题（本大题共12题，其中1-6每题3分，其中7-12每题4分） 1. 已知空间向量，若，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量垂直数量积等于0即可得到结果. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：1 2. 抛物线上一点到点的距离最小值为_____ 【答案】2 【解析】 【分析】在抛物线上任取一点，计算它到定点的距离，求其最小值即得. 【详解】设抛物线上一点， 则点到点的距离为， 因则， 故当时，抛物线上任一点到点的距离最小值为2. 故答案为：. 3. 已知向量为直线的一个法向量，则_____ 【答案】96 【解析】 【分析】根据直线的法向量与直线方向向量垂直的性质，结合向量垂直的坐标表示来求解的值. 【详解】对于直线（），其斜率，直线的一个方向向量可以表示为. 在直线中，，，则斜率，所以直线的一个方向向量为.  因为向量为直线的一个法向量，所以与直线的方向向量垂直. 根据向量垂直的坐标表示，若两向量垂直，则它们的数量积为，即. 将，代入可得：  对进行求解：  故答案为：96. 4. 一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_____件产品． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为抽取的个体数组成一个等差数列，所以甲，乙，丙生产的产品也组成一个等差数列，设乙生产线生产了件产品，那么甲和丙共生产了件产品，所以，解得． 考点：分层抽样 5. 在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的基本性质，写出，根据题意列出不等式，求出范围. 【详解】由题意知，所以， 可得，解得. 故答案为：. 6. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则_____ 【答案】8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合题意条件，建立方程组，求解得到的值即可. 【详解】由茎叶图可知，甲组数据从小到大顺序为：，其中位数为65， 平均值为； 乙组数据从小到大顺序为：，其中位数为， 平均值为. 依题意有：，解得，故. 故答案为：8. 7. 已知复数满足，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 8. 抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 9. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得关系，进而求出离心率. 【详解】设内切圆半径为，由题意知， 所以， 即，由点为双曲线右支上的一点， 则， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 10. 平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【详解】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： 11. 房屋的天花板上点处有一光源，在地面上的射影为，在地面上放置正棱锥，底面接触地面．已知正四棱锥的高为，底面的边长为，与正方形的中心的距离为，又长为，则棱锥影子（不包括底面）的面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，利用相似三角形求出影子的高，由此可得出棱锥影子（不包括底面）的面积为，欲使得棱锥影子（不包括底面）的面积最大，则最大，即且点在直线上，最后利用三角形的面积公式计算出棱锥的影子（不包括底面）的面积即可. 【详解】如下图所示： 设影子，由，得，即，解得， 所以，棱锥的影子（不包括底面）的面积为， 欲使得棱锥影子（不包括底面）的面积最大，则的面积取最大值，此时且点在直线上， 所以，棱锥的影子（不包括底面）的面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查中心投影及中心投影作图法，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 12. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】 如图，设,因,故，又, 由余弦定理，， 即, 设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系. 则,又由得, 从而则得, 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得， 则，故 故答案为：. 二.选择题（本大题共4题，其中13，14每题3分，其中15，16每题4分） 13. 如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由于是独立事件，故，A正确， 对于B，由于是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确， 对于C，,故由于不一定为0，故C错误， 对于D, 由于是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确， 故选：C 14. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A. B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 15. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 16. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D 三.解答题（10+10+12+16+16） 17. 已知是公差为2的等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. （1）求和的通项公式； （2）设，计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式求出；根据等比数列通项公式求出q；从而可得和的通项公式； （2）求出，根据其为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，且，∴， ∴． 设等比数列的公比为 ∵，且，∴，∴， ∴． 【小问2详解】 由题可知，， 为等比数列求和，首项为，公比为4， ∴． 18. 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角. （2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解. 【小问1详解】 设正方形，的中心分别为，连接，则平面， 分别取，的中点，，连接，则，， 由，分别为等腰梯形底边，的中点，得， 由，得四边形是一个直角梯形， ，又，为侧面与底面所成二面角的平面角， 由条件知，则， 所以侧面与底面所成二面角的大小为. 【小问2详解】 依题意，圆台上底面半径cm，下底面半径cm，高cm， 则圆台的体积为， 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 19. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． （1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）联立Γ与l的方程，求解方程组得解； （2）设圆的方程为，代入、P、M，可得圆的方程，再验证点N在圆上. 【小问1详解】 联立Γ与l的方程， 得，该方程仅有一解． 故Γ与l有且仅有一个公共点． 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立椭圆可得，即， 于是，，，． 设圆的方程为，代入、P、M，可得： ，解得， 解得，，，此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点N也在此圆上，故P、M，，N四点共圆． 20. 甲乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边 （1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调 派到乙组后，甲乙两组的平均身高都增大？ 【答案】（1）甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米 （2） （3）把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组 【解析】 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【小问1详解】 甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． 【小问2详解】 记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上事件， . 小问3详解】 ， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 21. 已知双曲线左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． （1）求双曲线的离心率； （2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； （3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3）不存在满足题意的点P，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程直接得出a、b，结合公式和计算即可求解； （2）易知直线l的斜率不为0，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，根据平面向量的坐标表示化简可得，求出的取值范围即可求解； （3）设，由渐近线方程和点线距公式建立方程，解得，与题意中的矛盾，即可下结论. 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以，得， 即双曲线的离心率为2； 【小问2详解】 由（1）知，， 若直线l的斜率为0，则直线l与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意； 所以直线l的斜率不为0，设， ，消去x，得， ， ， 则， 所以， 又，则，由，得， 所以，有，所以， 即，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知双曲线的渐近线方程为， 即，设， 则点P到直线的距离为，点P到直线的距离为， 所以， 又点P位于直线的上方且直线的下方，所以， 则，解得， 又点P在双曲线上，则，与矛盾， 故不存在点P使得. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用设线法得到韦达定理式，再代入计算出由向量得出的式子里，从而得出范围，第三问的关键是根据点与直线的位置关系去绝对值得到方程，解出方程即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学高二数学第二学期综合练习10 班级_____姓名_____学号_____成绩_____ 一.填空题（本大题共12题，其中1-6每题3分，其中7-12每题4分） 1. 已知空间向量，若，则___________. 2. 抛物线上一点到点的距离最小值为_____ 3. 已知向量为直线的一个法向量，则_____ 4. 一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_____件产品． 5. 在等差数列中，，是数列前项和，若，则的取值范围是_____ 6. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则_____ 7. 已知复数满足，则的值为______． 8. 抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为______________． 9. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________． 10. 平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 11. 房屋的天花板上点处有一光源，在地面上的射影为，在地面上放置正棱锥，底面接触地面．已知正四棱锥的高为，底面的边长为，与正方形的中心的距离为，又长为，则棱锥影子（不包括底面）的面积的最大值为________． 12. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 二.选择题（本大题共4题，其中13，14每题3分，其中15，16每题4分） 13. 如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B C. D. 14. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A. B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 15. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 三.解答题（10+10+12+16+16） 17. 已知是公差为2等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. （1）求和的通项公式； （2）设，计算. 18. 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 19. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． （1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 20. 甲乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边 （1）分别求甲、乙两组组员身高第60百分位数； （2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调 派到乙组后，甲乙两组的平均身高都增大？ 21. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． （1）求双曲线的离心率； （2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； （3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $