精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题A

江油中学2024级高一下期3月月考（A卷） 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是 4. 在中，已知，那么是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 13. 若在（）上是增函数，则的最大值为________. 14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若对任意当时，都有求实数的最大值； (3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油中学2024级高一下期3月月考（A卷） 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B. 3. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数， 可得函数的最小正周期为，所以A错误； 对于B中，令，可得， 所以不是函数的对称轴，所以B错误； 对于C中，令，解得， 函数的递减区间为，所以C正确； 对于D中，函数的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是，所以D错误. 故选：C. 4. 在中，已知，那么是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可求得，由此可得结果. 【详解】，， ， ， ，，，即，为等腰三角形. 故选：D. 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为，，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 故选：C. 7. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题意得，即点为的重心，所以，即即可求解. 【详解】取的中点为，连接，则， 由有， 即，所以点为的重心， 即， 所以， 故选：A. 8. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， ， . 故选：A. 【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，由零点个数，确定的范围. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过举反例可判断A，B，C项；根据向量的加减法的几何意义易得D项正确. 【详解】对于A，当且都不为零向量时，满足且，但，故A错误； 对于B，当时，满足，但得不到与的关系，故B错误； 对于C，当且时，满足，但不满足，故C错误； 对于D，由向量加减法的几何意义，结合图形可知， 当且仅当与共线同向时，与成立， 当且仅当与共线反向时，与成立，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数把变形成，A选项：依据正弦函数周期算法，中对应参数算出周期为； B选项：若是对称轴有对应等式，代入不满足，不是对称轴；C选项：求单调范围，解不等式得出区间，在其中，所以单调递减；D选项：图象左移按规则得到，，图象关于轴对称，不关于原点对称. 【详解】根据辅助角公式对进行化简： ，  对于，，则其最小正周期，所以选项A正确.  若是函数图象的一条对称轴，则. 当时，，所以不是图象的一条对称轴，选项B错误.  令，解不等式可得： 当时，单调递减区间为，，所以在上单调递减，选项C正确.  将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象. 因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，不关于原点对称，选项D错误.  故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图及函数零点求得，再结合已知逐项分析判断. 【详解】函数的最小正周期为， 由图象得，令，得， 解得，即，又， 则，，由，得，解得， ，， 所以均为定值，而的值不确定，则不确定. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三点共线可得，由条件列出方程组，求解即得. 【详解】因三点共线，则存在，满足， 即，因是不共线的两个平面向量， 故可得，解得. 故答案为：. 13. 若在（）上是增函数，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由辅助角公式求得，再求出函数的单调增区间，则有，再列不等式组求解即可. 【详解】解：因为， 令，解得，， 即函数的单调增区间为 ，， 又在（）上是增函数， 所以， 所以，解得， 即的最大值为， 故答案为. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间及利用单调性求参数的范围，属中档题. 14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，求出函数在上的值域，问题转化为，解不等式可得结果. 【详解】由题意得， ， ∵，∴，故， ∴当时，， ∵对于任意的，恒成立， ∴，∴， ∴，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 17. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式； （2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解. 【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示： 设，由，，可得，所以. ，，， 由题意可知，函数的最小正周期为，， 所以点距离水面的高度关于时间的函数为； （2）由，得， 令，则， 由，解得，又， 所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米. 【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； 【小问2详解】 对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若对任意当时，都有求实数的最大值； (3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 【答案】（1） ； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解． （2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为，利用即可求得，问题得解． （3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满足，解不等式即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 又，∴， ∴， 从而； （2）对任意，且， ， 即在上单调递增， ， 易得其单调增区间为，由于， ∴当时，，从而，∴实数的最大值为； （3），其最小正周期为，而区间的长度为， 要满足题意，则，∴，解得. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $