冀教七下期末真题百题大通关（144题13题型）（提升版）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材冀教版

冀教七下期末真题百题大通关（144题13题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程组 题型二 二元一次方程组的解法 题型三 二元一次方程组的应用 题型四 三元一次方程组 题型五 相交线 题型六 平行线 题型七 平行线的判定 题型八 平行线的性质 题型九 平面图形的平移 题型十 整式的乘法 题型十一 因式分解 题型十二 三角形 题型十三 一元一次不等式和一元一次不等式组 题型练习 题型一 二元一次方程组 1．（22-23七年级下·河北保定·期末）已知二元一次方程的一个解是，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．2 2．（21-22七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为 ． 题型二 二元一次方程组的解法 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 4．（23-24七年级下·河北唐山·期中）关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·河北承德·期末）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 9．（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 10．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 11．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 12．（22-23七年级下·山西阳泉·期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含的代数式表示，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数． 思路二：第一步给，得到方程③；第二步用，可消去未知数． 任务： (1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________； (2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程； (3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________． A．转化    B．公理化    C．演绎    D．数形结合 13．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点P的“4拓点”Q的坐标为，求点P的坐标． 题型三 二元一次方程组的应用 14．（23-24七年级下·河北承德·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，小丽的5次飞镖总分为（        ）分． A．37 B．38 C．39 D．40 15．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 16．（22-23七年级下·重庆·期末）某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，乙种型号无人机架数比总架数的少2架．设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 19．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 21．（23-24七年级下·河北沧州·期末）长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．    (1)小长方形的长为 cm． (2)图中阴影部分的面积是 cm2． 22．（23-24七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？” 小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ． 23．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，设小长方形的长为，宽为．则y与x的关系为 ；若大长方形的周长为，则小长方形的面积为 ． 24．（22-23七年级下·河北邢台·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．    （1）被污染的条件是 ； （2）被污染的二元一次方程是 ； （3）的值是 ． 25．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市． (1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元； 小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？ (2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？ 26．（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 27．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 28．（22-23七年级下·河北保定·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，  ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得    解决问题： (1)被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； (2)求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 题型四 三元一次方程组 29．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 题型五 相交线 30．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 31．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　）    A．7 B．2 C．5 D．6 32．（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知：点P是直线外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接、、． (1)通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“>”连接； (2)请在直线上作出一点D，使的长度最短，并说明它的理论依据； 33．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）如图：已知直线与相交于点，，垂足为点．    (1)若，求的度数： (2)若：：，求的度数． 题型六 平行线 34．（22-23七年级下·河北邯郸·期末）如图，点P、Q分别是的边、上的点．    (1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M； (2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G； (3)线段与的大小关系是什么？ 题型七 平行线的判定 35．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）如图，下列说法错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 36．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，两直线a，b被直线l所截，则下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 题型八 平行线的性质 38．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知直线平移后得到直线，，.则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学课上，老师让同学将图中的证明过程补充完整，下列判断不正确的是（    ）． 如图，已知，，   求证：． 证明：∵（已知）， ∴（△）． ∵（已知） ∴◎（同角的补角相等） ∴（※） ∴（□） A．△表示两直线平行，同旁内角互补 B．◎表示 C．※表示内错角相等，两直线平行 D．□表示两直线平行，内错角相等 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，的两边与的两边分别平行，则或；④在同一平面内，若，，则．其中假命题的个数是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 41．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（    ）    A． B． C． D． 43．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）阅读下面的数学问题： 如图，于点P，点M，N分别在上，过点M作于点Q，连接．    甲、乙两人经过研究得到如下结论： 甲：若，则． 乙：若，可得到． 其中判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都不正确 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．乙的结论错误，甲的结论正确 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    46．（23-24七年级下·河北承德·期末）已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分， ； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则 ． 47．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知直线，点分别在上，的平分线与的平分线相交于点． （1）当时， ． （2）将线段从如图所示的位置向右平移，用含的代数式表示为 ．（点E，A，B，G互不重合） 48．（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    49．（23-24七年级下·河北保定·期末）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 50．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 51．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 52．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，直线∥直线，． (1)补全对的说理过程； ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（ ）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）； (2)若平分，且，求的度数． 53．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，交于点，点在的左侧，且满足，． (1)求证：； (2)若平分，于点，，求的度数． 54．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知,在之间任取一点E， 连接． (1)如图1， 若求度数； (2)如图2， 猜想的数量关系，并说明理由． 55．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 56．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角． (1)【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°； (2)【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数． 57．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知，连接． (1)如图1，与的平分线交于点E，则　　　　． (2)如图2，点M在射线上，点N在上，与的平分线交于点E．若，，求的度数． (3)M，N分别为射线上的点，与的平分线交于点E．设，（求的度数（用含α，β的式子表示）． 58．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”．    (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作，则__________，__________， ∵__________， ∴__________． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，直接写出的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作、的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 59．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，．    (1)求证：； (2)已知，的角平分线与的角平分线交于点、与交于点，若． ①求； ②求的度数． 60．（23-24七年级下·河北沧州·期末）完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据： 如图，三角形中，，，三点分别在，，三边上，与相交于点，，，若，求的度数． 解：，， ∴______（等量代换）， ∴（______）， ∴______（______）， ∵， ∴______（等量代换）， ∴， ∴． 61．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，，与分别与交于点G和点D，与交于点N，．若平分，，求的度数． 解：，， 　　． 　　． ， ， 　　． 　　， 平分， 　　． ， ， 　　， ， 　　． 　　 62．（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图， 在中，， ，的外角的平分线交的延长线于点 E． (1)求的度数； (2)过点D作， 交的延长线于点 F， 求的度数． (3)若把直线绕点 F 旋转，直线 和直线交于点 P， 当和 的一边平行时，直接写出的度数． 63．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，点H在内部，．若，求n的值； (3)如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点C，D重合，且点E在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差． 64．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图1，M，N分别为上的点，点G在之间，且    (1)求证：； (2)如图2，过点 N作，点I为上一点，连接，且 ，求证： ； (3)如图3，平分平分 ，连接，若 ，求的度数． 65．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是___________． (2)作平分，交于点M． ①如图2，过点G作，交直线于点N，求证：； ②如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 66．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为．则． 【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射出去．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，求的度数； 【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角的度数： 【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角，镜面a，b组成的为120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的也可以改变）．已知入射光线从镜面a开始反射，经过k（k为正整数，）次反射，第k次反射的反射光线n由镜面c反射，当时，请直接写出镜面b和c组成的（到之间）的度数． 67．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系； (3)如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转． ①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间； ②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间． 题型九 平面图形的平移 68．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，的周长为，将沿方向平移至，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 69．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 70．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为(    )    A．48 B．96 C．21 D．42 71．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 72．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角三角尺和中，，边与边都在直线a上，将向左平移到的位置，当经过点P时，（　　）    A． B． C． D． 73．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．    74．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，的顶点都在正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将向左平移7个单位长度得到. (1)在网格中画出及边上的中线和高线； (2)直接写出线段所扫过的面积. 75．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请完成下面的证明，说明． （已知） ______（两直线平行，同旁内角互补） （已知） （______） （______） (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，则______． 76．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)在网格中画出将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； (2)在平移的过程中，线段所扫过的面积　 　． 77．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 78．（22-23七年级下·广东广州·期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，，且）开展数学活动．    操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是：________； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由． 题型十 整式的乘法 79．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 80．（23-24七年级下·河北保定·期末）中国是世界上稀土资源最丰富的国家之一，素有“稀土王国”之称．铈是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，是稀土元素中丰度最高的．将数据“”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 81．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 82．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 83．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 84．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    85．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 86．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 87．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用乘法公式简便计算：． 88．（23-24七年级下·河北承德·期末）发现 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证： (1)的结果是8的几倍？ (2)设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数．延伸 直接写出任意两个连续偶数的平方差是______的倍数． 89．（23-24七年级下·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用简便方法计算：． 90．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）有三个连续奇数，最小的奇数为（为正整数）． (1)用含的代数式表示另外两个奇数； (2)判断这三个奇数的平方和是否是12的倍数．若是，请说明理由；若不是，请写出被12除的余数是多少． 91．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知． (1)先化简，再求当，时，的值； (2)若，求的值． 92．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． 93．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 94．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 95．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）解答下列各题． (1)因式分解：． (2)计算： 96．（23-24七年级下·河北保定·期末）淇淇在化简代数式 时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式      第一步             第二步                      第三步 (1)淇淇的解答过程是从第 步开始出错的； (2)写出正确的解答过程，并求出当时代数式的值． 97．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ，得．    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则__________； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 题型十一 因式分解 98．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式都能被 整除（整数或者含a的整式）． 99．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）因式分解： ． 100．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， (1)该同学第二步到第三步运用______进行因式分解； (2)该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 101．（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 题型十二 三角形 102．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分交于点E，交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 103．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 104．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 105．（23-24七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 106．（23-24七年级下·河北保定·期末）若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 107．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 108．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 109．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    110．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， D、E分别是边上的点，， 连接交于点F， 连接， 若的面积为4， 则阴影部分的面积 ． 111．（22-23七年级下·吉林长春·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ．          112．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    113．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）在中，，点分别是上的点，点在延长线上，连接，其中，则 （用含的代数式表示）．    114．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在中，为边上的高，E为线段上一点． (1)若为的中线，，，求的面积； (2)若平分，． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②如图2，F是线段上的动点（不与点A，E重合），过点F作交射线于点H，若，用含的代数式表示的度数． 115．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点． (1)点在运动过程中，则的度数为______； (2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． (3)若，请直接写出______；______． 116．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    117．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 118．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，在中，，，D为边延长线上的一点，平分，E为射线上一点． (1)如图，连接． ①若，求的度数； ②若平分，求的度数； (2)若直线垂直于的一边所在的直线，请直接写出的度数． 119．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在中，是角平分线． (1)，，求的度数，并说明理由． (2)题（1）中，如将“，”改为“”，求的度数． (3)若，直接写出的度数． 120．（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 121．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 122．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 123．（22-23七年级下·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 124．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．    (1)若点F在点E左侧且，求的度数； (2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形． 题型十三 一元一次不等式和一元一次不等式组 125．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 126．（23-24七年级下·河北沧州·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（    ） A． B．1 C．5 D． 127．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 128．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 129．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 130．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 131．（23-24七年级下·河北邢台·期末）对于两个互不相等的数a，b，我们用符号来表示其中较大的数和较小的数．规定和分别表示这两个数中较小的数和较大的数，例如：，．若关于x的不等式组，恰有三个整数解，则满足条件的整数t有 个． 132．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 133．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 134．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 135．（23-24七年级下·河北张家口·期末）解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： (1)； (2) 136．（23-24七年级下·河北张家口·期末）解不等式组：，并把解集表示在下面的数轴上．    137．（23-24七年级下·河北张家口·期末）嘉淇购买学习用品的收据如下表所示，因表格污损导致部分数据无法识别． (1)求嘉淇买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若嘉淇计划再次购买自动铅笔、记号笔共10支，且总价不超过30元，求记号笔至多购买多少支？ (3)若嘉淇再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，直接写出有几种不同的购买方案． 138．（23-24七年级下·河北张家口·期末）某超市每天能出售甲、乙两种肉类集装箱共21箱，且甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同． (1)求甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售多少箱？ (2)若甲种肉类集装箱的进价为每箱200元，乙种肉类集装箱的进价为每箱180元，现超市打算购买甲、乙两种肉类集装箱共100箱（甲、乙均购买），且进货资金不超过18080元，则该超市有几种购买方案？ 139．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 140．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某学校组织340名师生到革命圣地西柏坡参加红色纪念活动，参加活动的每位老师均携带了一件大件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了一件大件行李，老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件大件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件大件行李． (1)请问参加活动的老师和学生各有多少人？ (2)请你帮助学校列出所有可行的租车方案，并从中选出最合适的方案． 141．（23-24七年级下·河北保定·期末）求不等式组的整数解．请完成下列填空：（每空只需填出最后结果） （1）解不等式①得， ． （2）解不等式②得， ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （3）∴原不等式组的解集是 ． （4）∴原不等式组的整数解是 ． 142．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某苗木劳动实践基地欲一次性购买A、B两种苗木共200株进行种植．其中A种苗木2株，B种苗木3株，需要资金500元；A种苗木3株，B种苗木2株，需要资金650元． (1)求两种苗木的单株进价分别是多少元？ (2)若每种苗木各购买100株，求购进这批苗木的资金总数； (3)由于资金等因素限制，实际购买的B种苗木株数不少于A种苗木的2倍，那么购进A种苗木最多为多少株？并求此时购买这批苗木的资金总数． 143．（23-24七年级下·河北沧州·期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由． 144．（23-24七年级下·河北保定·期末）为提高广大群众的交通安全意识和自我保护意识，进一步提升电动自行车、摩托车的交通安全管理水平，交警以“一盔一带”守护行动为抓手，提高头盔佩戴率．某超市为让利于民，把售价分别为60元/个、80元/个的甲、乙两种头盔分别打折销售，第一天销售甲头盔20个，乙头盔15个，销售额为2040元；第二天销售甲头盔16个，乙头盔25个，销售额为2464元． (1)求甲、乙两种头盔分别打几折销售． (2)若甲、乙两种头盔的进价分别为50元/个、60元/个，商店准备用不多于5400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进乙种头盔多少个？ 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冀教七下期末真题百题大通关（144题13题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程组 题型二 二元一次方程组的解法 题型三 二元一次方程组的应用 题型四 三元一次方程组 题型五 相交线 题型六 平行线 题型七 平行线的判定 题型八 平行线的性质 题型九 平面图形的平移 题型十 整式的乘法 题型十一 因式分解 题型十二 三角形 题型十三 一元一次不等式和一元一次不等式组 题型练习 题型一 二元一次方程组 1．（22-23七年级下·河北保定·期末）已知二元一次方程的一个解是，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】将代入原二元一次方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：是关于，的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 2．（21-22七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】二元一次方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】将 代入方程求，将代入方程求，从而求出代数式的值． 【详解】解：解：将代入方程，得：， ， 将代入方程，得：， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了方程组的解和解一元一次方程．解题的关键是将所求出的解代准确代入对应的方程中． 题型二 二元一次方程组的解法 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元二次方程组，根据题中的方法求解，再求得k的值，最后进行判断即可． 【详解】解：Ⅰ：， 由得，，即， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴Ⅰ的解题思路正确； Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足， ∴的解满足， 由得，， 由得，， 把代入①得，， 把，代入，得， ∴Ⅱ的思路正确， 故选：D． 4．（23-24七年级下·河北唐山·期中）关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程正整数解的概念是解题的关键． 将看做已知数，用含的代数式表示出，令，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∴满足要求的值为1，3，5，对应的值为7，4，1； ∴关于x，y的方程的正整数解的个数是3， 故选：C． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得：， 即：； ， ，解得：； 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及二元一次方程组的解，求参数的取值范围，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键． 6．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】利用加减消元法①②，求出的值，再将的值代入①求出的值即可． 【详解】解： ①②，得， 解得：， 将代入①得，， 故方程组的解为：， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法加减消元法是解答本题的关键． 7．（22-23七年级下·河北承德·期末）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】根据求和后直接消去y，令y的系数为0即可． 【详解】根据题意，得，可直接消去未知数y， 故， 故选D． 【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【答案】/ 【知识点】代入消元法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果． 【详解】解： 由①得， 将代入②， 解得 将代入①， 解得 方程组的解为： 那么 故答案为：． 9．（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1），得，再由得，则； （2）根据两个方程组的系数特点，得到，，从而确定、的值． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 则； （2）解：∵方程组，方程组的解是， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题关键． 10．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组， （1）利用加减法解方程组即可； （2）整理后利用加减法解方程组即可. 【详解】（1） 解：①×2－②得，， 解得， 把代入②得， 解得 ∴ （2） 解：原方程组整理得， ①×2＋②得，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 11．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)三 (3) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，淇淇的方法是加减消元法， 故答案为：加减； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误， 故答案为：三； （3）解：， 由②得，， 将③代入①得，， 解得，， 将代入③得，， ∴． 12．（22-23七年级下·山西阳泉·期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含的代数式表示，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数． 思路二：第一步给，得到方程③；第二步用，可消去未知数． 任务： (1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________； (2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程； (3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________． A．转化    B．公理化    C．演绎    D．数形结合 【答案】(1)一，代入消元法（或二，加减消元法） (2)见解析 (3)A 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】（1）根据自己的意愿选择思路即可； （2）根据（1）根据中选择的思路解方程组即可； （3）根据（3）中解方程组的过程即可得出答案． 【详解】（1）解：一，代入消元法（或二，加减消元法）； （2）解：思路一：由①得：， 将③代入②得：， 解得：； 将代入③，得， 所以原方程组的解为， 思路二：，得， ，得， 解得：， 将代入①，得， 所以原方程组的解为； （3）解：根据（2）中解二元一次方程组中体现的数学思想是转化， 故答案为：A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 13．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点P的“4拓点”Q的坐标为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、加减消元法 【分析】本题考查新定义、解二元一次方程组，（1）根据“k拓点”的定义求解即可； （2）设，根据“k拓点”的定义列二元一次方程组，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，Q的坐标为， 即； （2）解：设， ∵点P的“4拓点”Q的坐标为， ∴， 解得， ∴． 题型三 二元一次方程组的应用 14．（23-24七年级下·河北承德·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，小丽的5次飞镖总分为（        ）分． A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设区域和区域所得分值分别为分，分，根据小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，求出的值，进而求出小丽的分数即可． 【详解】解：设区域和区域所得分值分别为分，分，由题意，得： ，解得：， ∴小丽的5次飞镖总分为； 故选B． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，根据甲、乙同学的方法求解即可． 【详解】解：由题意得，甲同学：设每头牛值金x两， 可列方程为，故甲同学的做法正确， 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 可列方程组为，故乙同学的做法正确， 故选：A． 16．（22-23七年级下·重庆·期末）某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，审清题意、找出等量关系是解题的关键． 本题的等量关系有“生产A部件的人数十生产B部件的人数=72”和“每天生产的A部件个数×2=生产的B部件个数”列出方程组即可． 【详解】解：设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件， 由题意可得：． 故选：D． 17．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，乙种型号无人机架数比总架数的少2架．设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据“销售甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，销售乙种型号无人机架数比总架数的少2架”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：销售甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架， ； 销售乙种型号无人机架数比总架数的少2架， ． 根据题意可列方程组． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 【答案】D 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解 【详解】解：设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，依题可得： , , , , 故答案为D. 【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键. 19．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 即：每块巧克力的质量是20克． 故选：B． 【点睛】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键． 20．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，观察图①、图②，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm， 根据题意得：， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21．（23-24七年级下·河北沧州·期末）长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．    (1)小长方形的长为 cm． (2)图中阴影部分的面积是 cm2． 【答案】(1)10 (2)76 【知识点】有理数四则混合运算、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长为x，宽为y，根据图中给定的数据可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积为大长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， 则小长方形的长为， 故答案为：10； （2）图中阴影部分的面积． 故答案为：． 22．（23-24七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？” 小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出未知数代表的意义是解题关键． 由小亮列的方程可知，x、y表示下、上坡的时间，即可根据上坡时间+下坡时间=总时间，列出方程；由小颖列的方程可知m、n分别 表示上坡与下坡的路程，根据时间等于路程除以速度，则上坡时间+下坡时间=总时间列出方程即可． 【详解】解：根据题意得出，分别表示下坡时间和上坡时间， 由题意可得：； 根据题意得出m，n分别表示上坡距离和下坡距离， 由题意可得：（或）． 故答案为：；（或）． 23．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，设小长方形的长为，宽为．则y与x的关系为 ；若大长方形的周长为，则小长方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． （）由大长方形的长与小长方形长和宽的关系列出二元一次方程，变形即可求解； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程组，求出小长方形的长与宽，进而求解． 【详解】（）解：【答题空1】设小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 故答案为：； （）解：【答题空2】设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以小长方形的面积为：， 故答案为：． 24．（22-23七年级下·河北邢台·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．    （1）被污染的条件是 ； （2）被污染的二元一次方程是 ； （3）的值是 ． 【答案】 同样的空调每台优惠400元 500 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题目中的第二个方程中的可得结果； （2）根据题意写出第一个方程即可； （3）根据方程组求出的值即可； 【详解】解：（1）∵题目中第一个方程为：， ∴被污染的条件是：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）根据题意可得二元一次方程组是， 故答案为：； （3） 解得：， ∴， 故答案为：500 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市． (1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元； 小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？ (2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？ 【答案】(1)小强一共需要花费54元 (2)葡萄汁买了5瓶 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组是解题关键． （1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，根据买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，建立二元一次方程组，再求解即可； （2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数求解即可． 【详解】（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元， 根据题意，得， 由得：， 小强一共需要花费54元； （2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶， 根据题意，得， 化简得：， ， ，均为正整数， 当时，， 葡萄汁买了5瓶． 26．（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 27．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 【答案】(1)a的值是4，b的值是6 (2)佳琪家5月份用水量18吨 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得佳琪家本月用水量为多少吨． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得， 即a的值是4，b的值是6；． （2）设佳琪家5月份用水x吨， 根据题意知，15吨的水费为：， ∵， ∴佳琪家5月份计划用水超过了15吨． ∴． 解得， 即佳琪家5月份用水量18吨． 28．（22-23七年级下·河北保定·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，  ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得    解决问题： (1)被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； (2)求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 【答案】(1)；同样的空调每台降价400元． (2)“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据方程②可找出表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，进而可得出被墨水污染的条件为同样的空调每台降价400元，根据小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，可得出； （2）根据题意解方程组即可． 【详解】（1）解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元，方程②为， 表示每台空调在“五一”促销活动中的售价， 被墨水污染的条件是：同样的空调每台降价400元． 小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元， 被墨水污染的第一个方程是：． 故答案为： ；同样的空调每台降价400元． （2）设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，列方程组 得， 解得， 答：“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型四 三元一次方程组 29．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】(1)；1 (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论； （3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：． 故答案为：；1； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由可得， ； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 题型五 相交线 30．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义、求一个角的余角 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 31．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　）    A．7 B．2 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下：   ∵，， ∴的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当时，射线上不存在满足条件的点； 当时，射线上存在一个点； 当时，射线上存在两个点； 当时，射线上存在一个点； 结合选项时，在射线上只存在一个点， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 32．（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知：点P是直线外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接、、． (1)通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“>”连接； (2)请在直线上作出一点D，使的长度最短，并说明它的理论依据； 【答案】(1) (2)作图见解析，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了线段长度的比较、垂线段最短等知识点，理解点到直线的距离中，垂线段最短是解答本题的关键． （1）先用直尺测量、、的大小，然后再比较即可解答； （2）过点作，垂足为，则最短． 【详解】（1）解：通过测量可知，， 故； （2）解：过点P作于D点，则D点即可所求， 理论依据：垂线段最短． 33．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）如图：已知直线与相交于点，，垂足为点．    (1)若，求的度数： (2)若：：，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据垂直的定义和平角的定义，得到，进行求解即可； （2）根据角之间的数量关系和平角的定义，求出的度数，对顶角得到的度数，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴的度数为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键． 题型六 平行线 34．（22-23七年级下·河北邯郸·期末）如图，点P、Q分别是的边、上的点．    (1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M； (2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G； (3)线段与的大小关系是什么？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画垂线、垂线段最短 【分析】（1）利用三角板和直尺按要求作图； （2）利用三角板和直尺按要求作图； （3）根据“垂线段最短”进行判断即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示    （2）所求图形，如图所示    （3）根据“垂线段最短”，可得 【点睛】本题考查作平行线，作垂线，垂线段最短，掌握作平行线，作垂线是解题的关键． 题型七 平行线的判定 35．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）如图，下列说法错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可． 【详解】解：、，根据同位角相等，两直线平行，可判定，故本选项不符合题意； 、如图，   ，， ， ，故本选项不符合题意； 、，不是内错角，故不能判定，本选项错误，故本选项符合题意； 、，是内错角，可以判定出，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键． 36．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，两直线a，b被直线l所截，则下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，由同位角相等，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意； B、，由内错角相等，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意； C、，不可以判定，故此选项符合题意； D、，由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和对顶角相等．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条被截直线平行． 37．（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据角平分线的定义以及平行线的判定方法即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，画出角平分线，三角形的内角和定理，求出的度数，利用角平分线的性质和平角的定义求出度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）画图如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 平行线的性质 38．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 39．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知直线平移后得到直线，，.则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由题意可得，根据平行线的性质可得，然后再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵直线平移后得到直线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 12．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学课上，老师让同学将图中的证明过程补充完整，下列判断不正确的是（    ）． 如图，已知，，   求证：． 证明：∵（已知）， ∴（△）． ∵（已知） ∴◎（同角的补角相等） ∴（※） ∴（□） A．△表示两直线平行，同旁内角互补 B．◎表示 C．※表示内错角相等，两直线平行 D．□表示两直线平行，内错角相等 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：证明：∵（已知）， ∴（△两条直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴◎（同角的补角相等）， ∴（※内错角相等，两条直线平行）， ∴（□两条直线平行，同位角相等）， 故选：D． 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，的两边与的两边分别平行，则或；④在同一平面内，若，，则．其中假命题的个数是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的性质及判定，逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；故该命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外的点的直线才与已知直线平行．如果这一点不在直线外，不是相交就是重合．所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行是错误的．该命题是假命题； ③若，的两边与的两边分别平行，则或，如图所示，该是真命题； ， ④在同一平面内，若，，则．垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题； 综上所述：是真命题的有③④； 故选：C． 41．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平角的定义及平行线的性质的应用，根据“两直线平行，同位角相等”得出的度数是解此题的关键． 先根据直角与平角的定义求得的度数，然后再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】如图． ∵直角三角板的直角与组成一个平角， ∴，又 ∴． ∴（两直线平行，同位角相等） 故选：C． 42．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】过点作，则，故，再由得出，据此可得出结论． 【详解】解：过点作，   ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线构造出平行线是解题的关键． 43．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）阅读下面的数学问题： 如图，于点P，点M，N分别在上，过点M作于点Q，连接．    甲、乙两人经过研究得到如下结论： 甲：若，则． 乙：若，可得到． 其中判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都不正确 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．乙的结论错误，甲的结论正确 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据，，可得，所以，所以，，即可得，即可判断甲的结论；根据，可得，所以，再根据，所以，故即可判断乙的结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，故甲的结论正确； ， ， ， ，， ， ， ，故乙的结论正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线同垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行是解题关键． 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 【答案】 15 或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． （1）画出图形，并根据平行线的性质求解即可； （2）分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时， ， ， ， 点与点重合， 三点共线，即如图， ； 故答案为：15； （2）如图，当时，； 如图，当时， ， ， ； 当时，如图， ， ， ． 符合条件的度数为或或， 故答案为：或或 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质，由折叠性质可得，根据三角形内角和求出的度数，利用平行线性质求出，等量代换可得即可求出结果． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 46．（23-24七年级下·河北承德·期末）已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分， ； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则 ． 【答案】 90 35 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义即可求解； （2）由，平分交于H，可得，再由平分，平分交于P，可得，再由外角的性质得，从而得出 ，再求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 平分，平分， ， ， ； 故答案为：90； （2），平分交于H， ， 平分，平分交于P， ， ， ， ， ， 故答案为：35 47．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知直线，点分别在上，的平分线与的平分线相交于点． （1）当时， ． （2）将线段从如图所示的位置向右平移，用含的代数式表示为 ．（点E，A，B，G互不重合） 【答案】 55 或 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过作，所以，又因为，所以，可得，因为、平分、，所以，，因为，可得的度数． （2）分两种情况：①当点E在点A左侧时，②当当点E在点A右侧时，仿（1）分别求解即可． 【详解】解：（1）过作，如图， ∵ ， ，， ， ， 、平分、， ，， ， 故答案为：55； （2）分两种情况：①当点E在点A左侧时， 由（1）可得：； ②当当点E在点A右侧时，如图： 过作， ∵ ， ，， ， ， 、平分、， ，， ， 综上，线段从图所示的位置向右平移， 为或． 故答案为：或． 48．（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 49．（23-24七年级下·河北保定·期末）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． 图示 结论       说理 ， （依据） ， ． ． 即． ， ． ， ． ． 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为： 　． (1)情况①说理过程中的“依据”是： ； (2)请补全情况②的发现和说理过程； (3)请补全小颖的结论． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等； (2)，理由见解析； (3)相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． （1）由平行的性质“两直线平行，同位角相等”即可得到答案； （2）由“两直线平行，同位角相等”可得，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，进而得到结论； （3）根据①②③中的结论即可得到结果． 【详解】（1）解：， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， 即． 故答案为：两直线平行，同位角相等； （2）发现： ， ， ， ， ， 即； （3）由①③可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由②可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角互补． 故答案为：相等或互补． 50．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角性质： （1），得到，进而得到，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质求出的度数，由得到，由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 51．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）34；（2），理由见解析；（3）或． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ， 故答案为：34． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 52．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，直线∥直线，． (1)补全对的说理过程； ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（ ）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，同旁内角互补；已知；；同旁内角互补，两直线平行； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合题意得出，再由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 53．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，交于点，点在的左侧，且满足，． (1)求证：； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定求解即可； （2）根据垂直的定义及角的和差求出，结合（1）得出，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 54．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知,在之间任取一点E， 连接． (1)如图1， 若求度数； (2)如图2， 猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)猜想∶，理由见解析 【知识点】平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． （1）如图1，过点E作，由平行线的性质推出，得到； （2）如图2，过点E作，由平行线的性质推出，，即可得到． 【详解】（1）解：如图1，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：猜想：，理由如下： 过点E作，如图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）在中，，， ， ， 又， ． 56．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角． (1)【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°； (2)【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）过作直线，由平行线的性质得出，，结合即可得解； （3）先计算出，得到，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图：过作直线， ，， ， ； （3）解：如图： 由题意得：， ， ， ，， ， 与所夹锐角． 57．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知，连接． (1)如图1，与的平分线交于点E，则　　　　． (2)如图2，点M在射线上，点N在上，与的平分线交于点E．若，，求的度数． (3)M，N分别为射线上的点，与的平分线交于点E．设，（求的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的运算、三角形的内角和性质以及平行线探究角的关系以及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，运用平行线的性质得，因为角平分线的定义得出，运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先得出，则，．结合角平分线的定义得出，，即可作答． （3）经分析，进行分类讨论，即两种情况，分别作图再结合平行线的性质以及角的和差运算进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点作 ∵， ∴ ∴ ∵与的平分线交于点E， ∴ 在中， ∴ ∴； （2）解：如图1，过点E作． ∵， ∴， ∴，． ∵分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：依题意，分两种情况： ①如图2，过点E作． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图3，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 58．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”．    (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作，则__________，__________， ∵__________， ∴__________． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，直接写出的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作、的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、平行线定理． （1）根据平行线的性质和平角的定义求解即可； （2）过点E作，根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （4）过点M作，根据角平分线的定义可得，，，再根据平行线定理可得，，即，同理可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：解：过点A作，则，， ∵， ∴， 故答案为：，，，． （2）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴；    （3）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴；    （4）解：过点M作， ∵、平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴同理得， ∴， ∴， ∴．    59．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，．    (1)求证：； (2)已知，的角平分线与的角平分线交于点、与交于点，若． ①求； ②求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，结合，从而得到，即可证明； （2）①由（1）可知，得到，结合，由即可得到答案；②由平行线的性质和角平分线的性质可推出，，过点作，可推出，，利用即可得到答案． 【详解】（1）证明： ； （2）解：①， ②平分 ， 平分 过点作，如图 ， 60．（23-24七年级下·河北沧州·期末）完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据： 如图，三角形中，，，三点分别在，，三边上，与相交于点，，，若，求的度数． 解：，， ∴______（等量代换）， ∴（______）， ∴______（______）， ∵， ∴______（等量代换）， ∴， ∴． 【答案】；（内错角相等，两直线平行）；；（两直线平行，内错角相等）； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定得出． 根据平行线的判定可证明，再利用平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：， ∴(等量代换)． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴(两直线平行，内错角相等)． ∵， ∴(等量代换)， ∴， ∴． 故答案为：；（内错角相等，两直线平行）；；（两直线平行，内错角相等）；． 61．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，，与分别与交于点G和点D，与交于点N，．若平分，，求的度数． 解：，， 　　． 　　． ， ， 　　． 　　， 平分， 　　． ， ， 　　， ， 　　． 　　 【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；150；角平分线定义；105；105；两直线平行，同位角相等 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 结合角平分线定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：，， 等量代换． 同位角相等，两直线平行． ， ，两直线平行，同旁内角互补． ， 平分， 角平分线定义． ， ， ， ， ．两直线平行，同位角相等 62．（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图， 在中，， ，的外角的平分线交的延长线于点 E． (1)求的度数； (2)过点D作， 交的延长线于点 F， 求的度数． (3)若把直线绕点 F 旋转，直线 和直线交于点 P， 当和 的一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确画出符合题意的图形是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得出的度数，再根据角平分线定义即可求得的度数； （2）先根据三角形外角的性质得出的度数，再根据平行线的性质求出的度数； （3）分三种情况进行讨论：根据题意分别画出图形，再利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵为的外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，如图所示： ∵， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴； ∵F在上， ∴与平行不存在， 综上所述：或． 63．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，点H在内部，．若，求n的值； (3)如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点C，D重合，且点E在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2) (3)的度数的最大值与最小值的差为． 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差等性质，解决问题的关键是分类讨论和数形结合思想的运用． （1）根据平行线的性质及角的和差即可求出； （2）过点H作．得，，，，，，即可得解； （3）当时，最大，此时，当时，最小，此时，即可求出的度数的最大值与最小值的差为． 【详解】（1）解：， ． ， ； （2）解：如图1，过点H作． ， ， ，， ． ，，，， ，， ， ； （3）解：的度数的最大值与最小值的差为． 如图2，当时，最大， ， ， ∴此时； 如图3，当时，最小， ， ， ∴此时， 的度数的最大值与最小值的差为． 64．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图1，M，N分别为上的点，点G在之间，且    (1)求证：； (2)如图2，过点 N作，点I为上一点，连接，且 ，求证： ； (3)如图3，平分平分 ，连接，若 ，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点G作，则 ，证明，则，即可得到结论； （2）证明，，即可得到结论； （3）证明，，代入即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点G作，    ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵ ∴， 即， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∵平分平分 ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ 65．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是___________． (2)作平分，交于点M． ①如图2，过点G作，交直线于点N，求证：； ②如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析，②，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，即可解题； （2）①利用角平分线性质得到，，进而得到，结合平行线判定定理，即可证明； ②根据题意得到，再利用三角形内角和定理得到，结合进行等量代换，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：． （2）①证明：平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ． 66．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为．则． 【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射出去．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，求的度数； 【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角的度数： 【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角，镜面a，b组成的为120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的也可以改变）．已知入射光线从镜面a开始反射，经过k（k为正整数，）次反射，第k次反射的反射光线n由镜面c反射，当时，请直接写出镜面b和c组成的（到之间）的度数． 【答案】（1）（2）（3）或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角： （1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出即可； （2）根据规律得到，，，得到，推出，即可得出结果； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图2-1， 入射角与反射角相等，即， ∴， ∵， ； （2）如图2-2，由题意，得：， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 理由如下：①当时，如图： ， ， ， ， 过点作， ， ∴， ， ， ， ∴； 即：； ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图4所示： ， ， 由，（2）的结论可得， ， 则．即： 综上所述：的度数为或． 67．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系； (3)如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转． ①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间； ②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间． 【答案】(1) (2) (3)①6秒或15秒；②43.5秒 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可； （2）利用三角形外角的性质计算解题； （3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质解题即可； ②根据题意可知，共有四种情况，依次为：，，，，，， 然后运用，可知旋转的时间为旋转一周需要秒，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， ∴，， 又∵，， ∴． （2）由题意知，， ∵， ∴，即． （3）①∵，， ∴， 如图，当时，设的延长线交交于点G， 则，， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴旋转时间为（秒）； 如图，当时， 则，， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴旋转时间为（秒）． 综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒． ②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中， 边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有六种情况，依次为：，，，，，， 而旋转一周需要（秒）， 又∵， ∴当第15次边平行时，，且在如图所示位置,延长CA交于点K， 则, 由旋转知， ， ∴第15次边平行时旋转的时间为（秒) . 题型九 平面图形的平移 68．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，的周长为，将沿方向平移至，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，则，即可得到图中阴影部分的周长． 【详解】解：∵将沿方向平移至， ， ， ∴图中阴影部分的周长为：． 故选：B 69．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【详解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，    这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加． 70．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为(    )    A．48 B．96 C．21 D．42 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】由题意可得，故，再根据平移的性质得到，最后根据梯形的面积公式即可解答． 【详解】解：由题意可得，，梯形是直角梯形， ∴． ∵，， ∴， ∵平移距离为6， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平移的性质，梯形的面积公式，得出是解题的关键． 71．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、图形的平移 【分析】根据平移的概念判断即可． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 72．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角三角尺和中，，边与边都在直线a上，将向左平移到的位置，当经过点P时，（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据平移的性质和三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵将向左平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的外角的性质．熟练掌握平移的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 73．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．    【答案】2023 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解． 【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，， 所以这个小直角三角形都有一条边与平行， 这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键． 74．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，的顶点都在正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将向左平移7个单位长度得到. (1)在网格中画出及边上的中线和高线； (2)直接写出线段所扫过的面积. 【答案】(1)见解析 (2)35 【知识点】画三角形的高、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移作图、三角形的角平分线、中线和高等知识点，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解题的关键． （1）根据平移的性质作图可得，根据三角形的中线和高的定义画图可得和； （2）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，，和即为所求． （2）解：线段所扫过的面积为． 75．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请完成下面的证明，说明． （已知） ______（两直线平行，同旁内角互补） （已知） （______） （______） (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，则______． 【答案】(1)；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 (2)①；②或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了作图-平移变换，平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到； （2）①如图2，过作交于，根据平行线的性质求出，进而可得，然后根据平行线的性质可得的度数； ②分两种情况讨论，分别过作交于，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴(两直线平行，同旁内角互补)， ∵， ∴(等量代换)， ∴(同旁内角互补，两直线平行)， 故答案为：，等量代换，同旁内角互补，两直线平行； （2）解：①如图2，过作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ； ②如图3，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图4，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 76．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)在网格中画出将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； (2)在平移的过程中，线段所扫过的面积　 　． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平行四边形的面积公式计算． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：由图可得：线段所扫过的面积， 故答案为：20． 【点睛】本题考查作图—平移变换：作图时要首先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应后的点，再顺次连接即可得到平移后的图形，还考查了平行四边形面积的计算． 77．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③存在，或 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案； （2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案； ②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解； ③分两种情形：图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，过点D作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②如图3，过点D作， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ③存在，或． 如图2，当时， 由①知，，， ∴； 如图3，当时， 由②知，，， ∴    【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题． 78．（22-23七年级下·广东广州·期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，，且）开展数学活动．    操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是：________； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2) (3)垂直，见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）由平行线的判定方法或平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行或平移前后的对应线段平行； （2）过A作直线，交于G，而， ∴，   ， 同理， ． （3）垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠EGM=90°， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H    ，而， ，即旋转角位， ， ． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． 题型十 整式的乘法 79．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是得出正确答案的前提．根据同底数幂的乘法计算法则进行计算即可． 【详解】解：， “□”所表示的代数式为， 故选：A 80．（23-24七年级下·河北保定·期末）中国是世界上稀土资源最丰富的国家之一，素有“稀土王国”之称．铈是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，是稀土元素中丰度最高的．将数据“”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义进行解题即可． 【详解】解：根据科学记数法的定义可得：. 故选:A． 81．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据积的乘方、零指数幂、同底数幂的乘法法则及负整数指数幂进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方、零指数幂、同底数幂的乘法法则及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 82．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】积的乘方运算 【分析】首先依据乘法的意义个相加得到，然后根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， ，选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 83．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行分析即可． 【详解】解： （幂的乘方） （同底数幂的乘法） 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 84．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中的阴影部分的面积为； 故答案为：． 85．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出92-62的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 86．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 【答案】(1)长为：,宽为： (2)，91 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值． （1）结合图形进行分析即可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由题意得：B型卡片的长为：,宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： 当，时， 87．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算、完全平方公式分解因式 【分析】（1）先算同底数幂的乘法，积的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可； （2）展开后利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，方差公式，分解因式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 88．（23-24七年级下·河北承德·期末）发现 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证： (1)的结果是8的几倍？ (2)设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数．延伸 直接写出任意两个连续偶数的平方差是______的倍数． 【答案】(1)50倍 (2)证明见解析，4 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式： （1）利用平方差公式进行简算后，即可得出结果； （2）设两个连续的奇数为，求出平方差，进行说明，同法求出两个连续的偶数的平方差，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴的结果是8的50倍； （2）解：设两个连续的奇数为， 则：， ∵为整数， ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数， 设两个连续的偶数为， 则：， ∵为整数， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 89．（23-24七年级下·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、运用完全平方公式进行运算、幂的混合运算 【分析】此题考查了幂的混合运算、因式分解、完全平方公式等知识，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）计算同底数幂乘法、积的乘方后，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可； （2）利用提取公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 90．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）有三个连续奇数，最小的奇数为（为正整数）． (1)用含的代数式表示另外两个奇数； (2)判断这三个奇数的平方和是否是12的倍数．若是，请说明理由；若不是，请写出被12除的余数是多少． 【答案】(1)， (2)这三个奇数的平方和不是12的倍数，被12除的余数是11 【知识点】运用完全平方公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、整式乘法运算．同时也考查了代数式的变形能力和学生学习新知识的能力． （1）根据奇数的特点求解即可； （2）利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】（1） 解：，； （2）这三个奇数的平方和不是12的倍数，理由如下： 为正整数， ∴不是12的倍数，即这三个奇数的平方和不是12的倍数，被12除的余数是11．　 91．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知． (1)先化简，再求当，时，的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、同底数幂相乘、积的乘方运算、计算多项式乘多项式 【分析】（1）根据多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方化简后，代入数据求解即可； （2）把代入（1）化简后的式子求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方以及求代数式的值，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 92．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． 【答案】(1)， (2)①34；②5 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、整式乘法混合运算、列代数式 【分析】本题考查了整式的运算和完全平方公式的几何背景，掌握相应的定义是关键． （1）根据题图、线段的和差关系，先用a、b表示出，再利用三角形的面积公式和整式的运算法则得结论； （2）①利用完全公式的变形计算得结论；②先得到n与的关系，再确定n的整数最大值． 【详解】（1）解：，且， ， ， ， 故答案为：，； （2）①，， ； ②边长为的正方形，面积为， ， ，， ， 满足条件的整数的最大值为5． 93．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 【答案】（1）；；；（2）； 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可； （2）由（1）得出一般性规律，将变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ， ， 猜想： ； （2）当n为正整数时，， ∴的值为． 94．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【答案】探究： [应用]（1）4 （2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． [探究]根据阴影部分的面积相等，得到； [应用]（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：[探究]：由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， 可以得到乘法公式， 故答案为：；． [应用] （1） ． （2） ． 95．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）解答下列各题． (1)因式分解：． (2)计算： 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解及整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可 【详解】（1）解： （2）原式 96．（23-24七年级下·河北保定·期末）淇淇在化简代数式 时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式      第一步             第二步                      第三步 (1)淇淇的解答过程是从第 步开始出错的； (2)写出正确的解答过程，并求出当时代数式的值． 【答案】(1)一 (2)过程见解析， 【知识点】整式的加减中的化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，整式的化简求值是解题的关键． （1）根据完全平方公式判断作答即可； （2）先利用完全平方公式，多项式乘多项式计算，然后合并同类项，可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第一步中完全平方公式计算错误， 故答案为：一； （2）解：原式 ， 当时，原式． 97．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ，得．    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则__________； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据，得，再将，代入即可求出答案； （2）设大正方形的边长为m，正方形的边长为n，根据面积和为，边长和为，求得，再根据图形和三角形面积公式即可求出摆放花卉场地的面积． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）设大正方形的边长为m，正方形的边长为n，面积和为，边长和为， ，， ， ， 解得：， ， ， ②， 由①②解得：， ． 题型十一 因式分解 98．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式都能被 整除（整数或者含a的整式）． 【答案】3或或 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】 ， 则对于任何整数a，多项式都能被3或或整除． 故答案为：3或或． 99．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 100．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， (1)该同学第二步到第三步运用______进行因式分解； (2)该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)完全平方公式 (2)否； (3) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（1）根据因式分解的方法解答即可； （2）用完全平方公式继续分解； （3）根据题目所提供的方法分解即可． 【详解】（1）该同学第二步到第三步运用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：完全平方公式 （2）没有完成因式分解， ； （3）设， 则原式 ． 【点睛】本题考查了换元法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 101．（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)四， (3)见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了利用提取公因式法、公式法及换元法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则并会换元，是解题的关键． （1）从第二步到第三步运用了完全平方公式； （2）第四步分解因式不彻底，继续进行分解即可； （3）设，将原式转换为，去括号整理后运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了完全平方公式， 故选：C； （2）解：张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第四步，正确的结果： 故答案为：四；； （3）解：设， ∴ 题型十二 三角形 102．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分交于点E，交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，进而根据得为直角三角形，由此可得的度数，即可根据求解． 【详解】在中，，， ， 平分， ， ， ∴为直角三角形， ． ∴ 故选：A． 103．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的分类、求一个角的补角 【分析】本题主要考查了三角形中线，锐角三角形和钝角三角形．熟练掌握三角形中线的定义，面积公式，互为补角定义，锐角三角形和钝角三角形的定义，是解决问题的关键． ①过点C作于点D．根据中点定义得到，根据三角形面积公式得到，①正确； ②根据锐角三角形定义得到，，，，得到，，根据，得到与不能同时大于，得到线段不可以把分成两个钝角三角形，②不正确． 【详解】①过点C作于点D． ∵P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴①正确． ②∵是锐角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴当时，； 当时，， ∴与不能同时大于， ∴线段不可以把分成两个钝角三角形， ∴②不正确． 综上，只有①正确． 故选：A． 104．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 105．（23-24七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可． 【详解】解：①， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，乙同学正确， ②， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，丙同学正确． 故选B． 106．（23-24七年级下·河北保定·期末）若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：三个角的大小满足， ， ， 故选A． 107．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.∵是的中线， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； B. ∵是的角平分线， ∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵是的中线， ∴，故该选项正确，不符合题意；     D. ∵是的高， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选：A． 108．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 109．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    【答案】/31度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ， 平分， ， ， 于F， ， ， 故答案为：． 110．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， D、E分别是边上的点，， 连接交于点F， 连接， 若的面积为4， 则阴影部分的面积 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据得到，，再由三角形中线平分三角形面积得到，，则，根据三角形面积之间的关系推出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：3． 111．（22-23七年级下·吉林长春·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ．          【答案】/28度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据折叠和平角的定义，求出的度数，外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 112．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】由是的中线可得的面积的面积，分别表达两个三角形的面积，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是掌握三角形中线及其应用． 113．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）在中，，点分别是上的点，点在延长线上，连接，其中，则 （用含的代数式表示）．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等 【分析】根据三角形外角的性质得出，，再根据对顶角相等得出，即可求出． 【详解】解：如图，   ，是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 114．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在中，为边上的高，E为线段上一点． (1)若为的中线，，，求的面积； (2)若平分，． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②如图2，F是线段上的动点（不与点A，E重合），过点F作交射线于点H，若，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的中线、高线、角平分线，三角形的外角与内角； （1）根据中线可得，计算即可； （2）①由角平分线可得，由外角可得，，结合即可得到； ②由垂直得到，，由角平分线可得，即可根据外角得到，再由求出的度数． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）①，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，且， ∴； ②∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 115．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点． (1)点在运动过程中，则的度数为______； (2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． (3)若，请直接写出______；______． 【答案】(1) (2)的大小不变，理由见解析 (3)，． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是． 先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，再根据三角形内角和是即可求解； 根据是的平分线，平分可知，，再根据三角形内角和是即可求解； 仿照中的计算方法即可得到，． 【详解】（1）解：在中，由，得， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）的大小不变． 证明：∵分别平分和， ∴，， ∴， 即， ∴， 又由可知， ∴， 在中，由，，得 ； （3），． 理由：∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ∵分别平分和， ∴，， ∵是的外角， ∴， 是的外角， 故答案为：，． 116．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3). 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键． （1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答； （2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下： 由（1）可得． ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 由图2可得，， ∵，分别平分和，， ∴， ∴， ∴． 117．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义： （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （2）平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又，，， 即， ， 又∵，， ， ， ． 118．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，在中，，，D为边延长线上的一点，平分，E为射线上一点． (1)如图，连接． ①若，求的度数； ②若平分，求的度数； (2)若直线垂直于的一边所在的直线，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②； (2)或或． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． （1）①利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出，再利用平行线的性质求出； ②利用三角形外角与内角的关系先求出，再利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系求出； （2）分三种情况，利用三角形的内角和定理可得结论． 【详解】（1）解：①，， ． 平分， ． ， ； ②，， ，． 平分，平分， ，， ； （2）解：如图1，当，垂足为时， 则． 由（1）知，， ； 如图2，当，则． 由（1）知，，， ， ． ； 如图3，当，则． 由（1）知，， ． 所以的度数为或或， 故答案为：或或． 119．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在中，是角平分线． (1)，，求的度数，并说明理由． (2)题（1）中，如将“，”改为“”，求的度数． (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理即可求解； （2）由三角形的内角和定理可得，再由角平分线的定义得，，从而可求得，即可求的度数； （3）仿照（2）的过程进行求解即可． 【详解】（1）平分，平分，，， ，， ； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）由题意得：， 平分，平分， ，， ， ， 即． 120．（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【答案】(1)①；② (2)，；， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． （1）①先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； ②先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，根据解析（1）得出，根据三角形外角性质得出，，得出；根据，，即可得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， 根据三角形外角的性质可知：， ， ∴； 根据解析（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 121．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 122．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【知识点】角平分线的有关计算、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 123．（22-23七年级下·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 【答案】(1)13 (2)5，图见解析 (3)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到， 根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形的高的概念作出，根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离； （3）分、、三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴． ∵， ∴，即的周长的周长 ∵的周长为10， ∴的周长为13； （2）解：如图，过点E作于F，则即为所求的的边上的高．    ∵的面积为20， ∴ ∵， ∴，即点E到直线的距离为5； （3）解：∵射线平分，， ∴． 如图，当时，；    当时，； 当时，． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查的是三角形的周长和面积的计算、三角形的中线和高的概念、垂直的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 124．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．    (1)若点F在点E左侧且，求的度数； (2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)9° (2) (3)为秒或秒 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、几何图形中角度计算问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）平行线的性质得到，三角形内角和，得到，角平分线得到，垂直得到，进而求出的度数，利用，进行求解即可； （2）根据题意，画出图形，同法（1）求出，的度数，利用，进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （2）解：如图，   ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （3）， 当为直角三角形时，存在两种情况： 情况一：当时， 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 情况二：当时，． 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 综上：当为秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解． 题型十三 一元一次不等式和一元一次不等式组 125．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有解 ∴，解得，不等式组的解集为， ∵不等式组的解都是不等式的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 126．（23-24七年级下·河北沧州·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解不等式得到，由数轴可知，不等式的解集为，则，解方程即可得到答案. 【详解】解： 移项得，， 系数化为1得，， 由数轴可知，不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：C 127．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为 故答案为：A 128．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某种商品的进价为120元，出售时的标价为180元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于，则至多可打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该商品打x折销售，利用利润售价进价，结合要保持利润不低于，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7， 该商品至多可打7折． 故选：C． 129．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集情况求参数，理解不等式有解和无解的含义是解题关键．先分别解不等式，根据不等式组无解和有解的情况，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 若不等式组无解，则，即， 则甲判断错误； 若不等式组有解，则不等式的解集为， 所有整数解的和为，且， ， ， 整数a的值为， 则乙判断正确， 故选：B． 130．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和整数解问题，先求出不等式组的解集，根据只有3个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的解集为：， 即不等式组只有3个整数解为20、19、18， 则有， 解得， 故选：B． 131．（23-24七年级下·河北邢台·期末）对于两个互不相等的数a，b，我们用符号来表示其中较大的数和较小的数．规定和分别表示这两个数中较小的数和较大的数，例如：，．若关于x的不等式组，恰有三个整数解，则满足条件的整数t有 个． 【答案】9 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了新定义，根据不等式组解的情况求参数的取值范围，根据新定义得，从而，根据恰有3个整数解得，求出t的取值范围即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ∵恰有3个整数解， ∴整数解为：2、1、0， ∴， 解得， 则整数t有：，共9个． 故答案为：9． 132．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】18 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一元一次不等式的解集、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系可得，再解一元一次方程求得，可得，从而可得，即可确定k的取值范围，再根据k为整数，可得k的值，再进行求和即可． 【详解】解：∵的三边长分别为5、3、k， ∴， ， 解得， ∵方程的解为非正数， ∴， 解得， 综上所述，， 又∵k为整数， ∴k的值为5、6、7， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系、解一元一次方程求得k的取值范围是解题的关键． 133．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 134．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 【答案】0，1/1，0 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，先解二元一次方程组，得到，再把代入不等式，求出,即可得到k的非负整数值. 【详解】解： ①×2＋②×3得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∴k的非负整数值为0，1 故答案为：0，1 135．（23-24七年级下·河北张家口·期末）解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： (1)； (2) 【答案】(1)x，见解析 (2)，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（1）按照去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示解集即可； （2）分别解两个一元一次不等式，然后找到它们的公共部分，在数轴上表示即可． 本题主要考查一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）（2） 解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， 从图可以得出不等式的解集为． 136．（23-24七年级下·河北张家口·期末）解不等式组：，并把解集表示在下面的数轴上．    【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集． 根据不等式的性质分别求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，再用数轴表示出不等式解集即可． 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 把解集表示在数轴上为：    137．（23-24七年级下·河北张家口·期末）嘉淇购买学习用品的收据如下表所示，因表格污损导致部分数据无法识别． (1)求嘉淇买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若嘉淇计划再次购买自动铅笔、记号笔共10支，且总价不超过30元，求记号笔至多购买多少支？ (3)若嘉淇再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，直接写出有几种不同的购买方案． 【答案】(1)嘉淇购买自动铅笔1支，记号笔2支； (2)至多购买6支记号笔． (3)共3种方案：1本软皮笔记本与7支自动铅笔；2本软皮笔记本与4支自动铅笔；3本软皮笔记本与1支自动铅笔． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正整数解的应用； （1）设嘉淇购买自动铅笔x支，记号笔y支．根据表格信息建立二元一次方程组解题即可； （2）设嘉淇购买记号笔m支，自动铅笔支，根据总价不超过30元，再建立不等式解题即可； （3）设嘉淇购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据共花费15元，利用二元一次方程的正整数解可得答案； 【详解】（1）解：设嘉淇购买自动铅笔x支，记号笔y支．根据题意可得 ， 解得： 答：嘉淇购买自动铅笔1支，记号笔2支； （2）解：设嘉淇购买记号笔m支，自动铅笔支， 根据题意，得，即， 解得， ∵m是正整数， ∴m的最大值是6． 答：至多购买6支记号笔． （3）解：设嘉淇购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意可得： ， ∵m，n为正整数， ∴或或， 答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支自动铅笔；2本软皮笔记本与4支自动铅笔；3本软皮笔记本与1支自动铅笔． 138．（23-24七年级下·河北张家口·期末）某超市每天能出售甲、乙两种肉类集装箱共21箱，且甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同． (1)求甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售多少箱？ (2)若甲种肉类集装箱的进价为每箱200元，乙种肉类集装箱的进价为每箱180元，现超市打算购买甲、乙两种肉类集装箱共100箱（甲、乙均购买），且进货资金不超过18080元，则该超市有几种购买方案？ 【答案】(1)甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售12箱，9箱； (2)该超市有四种购买方案． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售x箱，y箱，根据甲、乙两种肉类集装箱共21箱，且甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同列出方程组求解即可； （2）设该超市购买甲种肉类集装箱m箱，则购买乙种肉类集装箱箱，根据购买非要不超出18080元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售x箱，y箱， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售12箱，9箱； （2）解：设该超市购买甲种肉类集装箱m箱，则购买乙种肉类集装箱箱， 由题意得：， 解得， ∵m和都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴该超市有四种购买方案． 139．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元 (2)110个 (3)能，三种方案：①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个乙型头盔，则购进个甲型头盔，利总价单价数量，结合总价不超过8200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）利用总利润每个甲型头盔的销售利润购进甲型头盔的数量每个乙型头盔的销售利润购进乙型头盔的数量，结合总利润不少于5540元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合且m为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意，得， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元； （2）设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得， 解得， 的最大值为110， 答：最多可购进乙型头盔110个； （3）能实现利润不少于5540元的目标， 根据题意，得， 解得， ， 为整数， 可取108，109和110，对应的的值92，91，90． 因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个； ②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个； ③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个． 140．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某学校组织340名师生到革命圣地西柏坡参加红色纪念活动，参加活动的每位老师均携带了一件大件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了一件大件行李，老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件大件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件大件行李． (1)请问参加活动的老师和学生各有多少人？ (2)请你帮助学校列出所有可行的租车方案，并从中选出最合适的方案． 【答案】(1)参加活动的老师有人，参加活动的学生有人 (2)方案一：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案二：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案三：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案四：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案一最合适 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设参加活动的老师有人，参加活动的学生有人，根据“某学校组织340名师生到革命圣地西柏坡参加红色纪念活动，参加活动的每位老师均携带了一件大件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了一件大件行李，老师学生共带有行李170件”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：设参加活动的老师有人，参加活动的学生有人， 由题意得：， 解得：， ∴参加活动的老师有人，参加活动的学生有人； （2）解：设租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的值可以为，，，， ∴由四种租车方案：方案一：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案二：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案三：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆；方案四：租用甲种型号的汽车辆，乙种型号的汽车辆， 方案一：可以载的人数为：（人），可以载的行李数为（件）； 方案二：可以载的人数为：（人），可以载的行李数为（件）； 方案三：可以载的人数为：（人），可以载的行李数为（件）； 方案四：可以载的人数为：（人），可以载的行李数为（件）； ∵方案一刚好装完所有人，且没有空余位置，行李也可以全部装走， ∴方案一最合适． 141．（23-24七年级下·河北保定·期末）求不等式组的整数解．请完成下列填空：（每空只需填出最后结果） （1）解不等式①得， ． （2）解不等式②得， ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （3）∴原不等式组的解集是 ． （4）∴原不等式组的整数解是 ． 【答案】（1）；（2）；数轴表示见解析；（3）；（4）3，4 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出对应的解集即可； （3）根据（2）所求即可得到答案； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2） 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 数轴表示如下所示： （3）由（2）可知不等式组的解集为； （4）由（3）可知不等式组的整数解为3和4． 142．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某苗木劳动实践基地欲一次性购买A、B两种苗木共200株进行种植．其中A种苗木2株，B种苗木3株，需要资金500元；A种苗木3株，B种苗木2株，需要资金650元． (1)求两种苗木的单株进价分别是多少元？ (2)若每种苗木各购买100株，求购进这批苗木的资金总数； (3)由于资金等因素限制，实际购买的B种苗木株数不少于A种苗木的2倍，那么购进A种苗木最多为多少株？并求此时购买这批苗木的资金总数． 【答案】(1)每种A种苗木单株190元，每种B种苗木单株40元 (2)购进这批苗木的资金总数为23000元 (3)购进A种苗木最多为66株，此时购买这批苗木的资金总数为17900元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题，一元一次不等式组的实际问题，准确找出数量关系，列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设A种苗木单株x元，B种苗木单株y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）由（1）中A种苗木和B种苗木的单价，根据购买金额=购买单价×购买数量即可求解； （3）设购进A种苗木m株，根据题意，找出数量关系，列出不等式组求解出m的取值范围，结合m为正整数即可求解． 【详解】（1）设A种苗木单株x元，B种苗木单株y元， 由题意得， 解得 答：A种苗木单株190元，B种苗木单株40元． （2）由（1）知A种苗木单株190元，B种苗木单株40元， （元） 答：购进这批苗木的资金总数为23000元； （3）设购进A种苗木m株， 由题意得，解得： m是整数， 的最大值为：66， 此时购进的A种苗木最多为66株； 此时，此时购买这批苗木的资金总数为（元）． 所以购进A种苗木最多为66株，此时购买这批苗木的资金总数为17900元． 143．（23-24七年级下·河北沧州·期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由． 【答案】(1)a的值为100，b的值为150 (2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；理由见解析 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键． （1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得； （2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组求解m值，最后求出各方案的总费用进行对比即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为100，b的值为150． （2）解：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆， 理由如下： 设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为6，7，8． 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）． 答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 144．（23-24七年级下·河北保定·期末）为提高广大群众的交通安全意识和自我保护意识，进一步提升电动自行车、摩托车的交通安全管理水平，交警以“一盔一带”守护行动为抓手，提高头盔佩戴率．某超市为让利于民，把售价分别为60元/个、80元/个的甲、乙两种头盔分别打折销售，第一天销售甲头盔20个，乙头盔15个，销售额为2040元；第二天销售甲头盔16个，乙头盔25个，销售额为2464元． (1)求甲、乙两种头盔分别打几折销售． (2)若甲、乙两种头盔的进价分别为50元/个、60元/个，商店准备用不多于5400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进乙种头盔多少个？ 【答案】(1)甲头盔打9折销售，乙头盔打8折销售 (2)最多能购进乙种头盔40个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用； （1）设甲头盔打x折销售，乙头盔打y折销售，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设购进乙种头盔m个，则购进甲种头盔个，根据题意列出不等式，解不等式，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设甲头盔打x折销售，乙头盔打y折销售， 根据题意，得 解得 答：甲头盔打9折销售，乙头盔打8折销售． （2）设购进乙种头盔m个，则购进甲种头盔个， 依题意得， 解得． 答：最多能购进乙种头盔40个． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$