精品解析：贵州省毕节市2025届高三第四次适应性考试数学试题

保密★启用前 毕节市2025届高三年级高考第四次适应性考试 数学 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束，监考员将答题卡收回 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 底面积为4的四棱锥，被平行于底面的平面截去一个底面积为1，高为1的四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 给出下列四个命题： ①； ②； ③； ④函数的图象向左平移个单位得到的图象． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设双曲线的左､右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 在中，，则（ ） A. 7 B. C. 或7 D. 8. 已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列为递增数列，前7项分别为，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的方差大于的方差 D. 的极差小于的极差 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 11. 设抛物线的焦点为，过点作一直线交于，两点，过点作的准线的垂线，垂足为 ，则（ ） A. 以线段为直径的圆与有且只有一个公共点 B. 若，则 C. 若，直线的斜率为，则 D. 若，则直线的斜率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数且，若，则__________． 13. 三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 14. 在如图的方格中选5个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5个数之和的最大值是__________． 12 11 12 14 13 21 21 23 25 22 32 32 31 33 31 41 43 42 44 40 52 51 53 54 54 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐渐上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表： A大学 大学 大学 大学 2 3 5 6 0.1 0.3 0.5 0.7 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若大学的毕业生中小强､小华选择自主创业的概率分别为，求小强､小华至少有一人选择自主创业的概率． 参考公式： 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 已知平面内动点到两定点的距离之和为，记动点 的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点； （3）设 是坐标平面内的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆的方程． 19. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆的乒乓球总数为． （1）求； （2）求的表达式； （3）数列满足，求的通项公式． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 毕节市2025届高三年级高考第四次适应性考试 数学 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束，监考员将答题卡收回 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即，而， 所以. 故选：D 2. 复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算求得，进而由对数运算可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 故选：D. 4. 底面积为4的四棱锥，被平行于底面的平面截去一个底面积为1，高为1的四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意先由三角形相似得到原四棱锥的高，再由割补法和棱锥的体积公式计算可得. 【详解】 根据题意由三角形面积比为相似比的平方可得四棱锥的高为2， 所以由割补法可得棱台的体积为. 故选：B. 5. 给出下列四个命题： ①； ②； ③； ④函数的图象向左平移个单位得到的图象． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的真假判断方法，以及导数研究单调性，辅助角公式和函数图象的平移变换等知识来逐一分析这四个命题的真假，进而确定真命题的个数. 【详解】对于，因为，所以. 根据对数函数的性质，对数函数在上单调递增，所以，故命题①为真命题.  若，则，和都是无理数，不存在有理数使得，所以命题②为假命题.  令，，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，，所以，即，故命题③为真命题.  函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到. 根据诱导公式，可得. 而，所以命题④为假命题. 综上，真命题有①③，共个.  故选：B. 6. 设双曲线的左､右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点纵坐标，再根据和建立关于、、的方程，最后求解离心率. 【详解】已知双曲线，左焦点，过作平行于轴的直线交于、两点，将代入双曲线方程可得：， 即，由，则，所以，解得. 则，即.  由双曲线定义知，因为，，所以.  将代入可得：，解得.  因为，又，所以，则.  根据离心率公式，可得.  所以双曲线的离心率为. 故选：A. 7. 在中，，则（ ） A. 7 B. C. 或7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，进而由正弦定理可得，进而利用两角和的正切公式可求值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，由正弦定理可得，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，令，可证函数是奇函数，进而可得关于点对称，然后结合二次函数的性质可求的最小值. 【详解】由， 可得，令， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称， 所以关于点对称， 因为的对称中心在直线上，所以， 所以, 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列为递增数列，前7项分别为，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的方差大于的方差 D. 的极差小于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC可通过举例判断，对于B，由中位数的概念可判断，对于D，可通过极差概念判断. 【详解】对于A：取数列：1,2,3,4,5,6,8， 显然2,3,4,5,6的平均数为4，1,2,3,4,5,6,8的平均数为，故A错误； 对于B：的中位数为，的中位数为，B正确； 对于C：取数列1,2,3,4,5,6,7， 则2,3,4,5,6的方差为， 1,2,3,4,5,6,7的方程为：，C错误； 对于D： 的极差为，的极差为， 因为数列为递增数列，则，D正确， 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断. 【详解】由，得， 对于A，当时，，令，即， 解得或， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 11. 设抛物线的焦点为，过点作一直线交于，两点，过点作的准线的垂线，垂足为，则（ ） A. 以线段为直径的圆与有且只有一个公共点 B. 若，则 C. 若，直线的斜率为，则 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足为，进而根据抛物线的定义，可得，进而结合圆的特点判断即可；对于BC，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式求解判断即可；对于D，过点作轴，垂足为，连接，结合图形关系可得，可得，进而根据直线的斜率公式求解判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义，，， 所以， 所以以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， 则为直径的圆与抛物线的准线只有1个公共点，故A正确； 对于BC，当时，抛物线，则，准线， 设直线的方程为， 联立，得， 则，，故B正确， 当直线的斜率为时，， 则直线的方程为，且， 则， 所以，故C错误； 对于D，过点作轴，垂足为，连接，则， 因为，，， 所以，即， 又，则， 则，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数且，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 由可得， 即，又，所以. 故答案为： 13. 三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设外接圆的圆心为，由正弦定理可求得，设三棱锥的外接球的球心为，利用勾股定理可求得，进而可求外接球的表面积. 【详解】作出图形示意图如下：设外接圆的圆心为， 因为， 所以的外接圆的半径为， 设三棱锥的外接球的球心为， 又因为底面， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 在如图的方格中选5个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5个数之和的最大值是__________． 12 11 12 14 13 21 21 23 25 22 32 32 31 33 31 41 43 42 44 40 52 51 53 54 54 【答案】 ①. 120 ②. 166 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可；先分析行再分析列得到个位上数字之和最大的情况即可求解. 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有5种不同的选法， 第二步，从第二行任选一个与第一个数不同列的数，共有4种不同的选法， 第三步，从第三行中选一个与第一，二个数不同列的数，共有3种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，共有2种选法， 第五步，从第五行中选一个与第一、二，三，四个数不同列的数，只有1种选法， 由分步乘法计数原理可知共有种不同的选法； 先按行分析，每行必选出一个数，所以所选5个数的十位数字分别为1，2，3，4，5， 再按列分析，第一、二、三、四，五列个位上的数字的最大值分别为2，3，3，5，4， 所以从第一行选13，从第二行选25，从第三行选32，从第四行选43，从第五行选53， 此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的5个数之和的最大值为. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐渐上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表： A大学 大学 大学 大学 2 3 5 6 0.1 0.3 0.5 0.7 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若大学的毕业生中小强､小华选择自主创业的概率分别为，求小强､小华至少有一人选择自主创业的概率． 参考公式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据参考公式求,，即可求得回归直线方程； （2）利用独立事件的概率与对立事件的概率公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意知 关于的经验回归方程为： 【小问2详解】 设小强､小华选择自主创业的概率分别为 小强､小华两人都没有选择自主创业的概率为 小强､小华至少有一人选择自主创业的概率． 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接底面是菱形，是与的交点， ，即，且是与的中点， 又， ， ， ，平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，需要证明BD垂直于平面内的两条相交直线.利用菱形的性质得到，再通过全等三角形证明，进而得出结论. （2）先根据已知条件求出相关线段的长度，证明底面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用向量的夹角公式求出与夹角的余弦值，再根据线面角与向量夹角的关系求出与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点，所以， 又，由余弦定理可得， ，即， 平面平面， 底面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， ，， 令，则， 即， ． 记与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 18. 已知平面内动点到两定点的距离之和为，记动点 的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点； （3）设 是坐标平面内的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】（1） （2），线段的中点， 线段的垂直平分线方程为：， 即， 联立得：， ， 线段的垂直平分线与恰有一个公共点； （3）如图所示： 设线段的垂直平分线与公共点为 ，连接， ，， 假设三点不共线，连接交的垂直平分线为点，则点在椭圆外， 连接，则，， 这与矛盾， 假设不成立，即三点共线， 的轨迹为以为圆心，为半径的一个圆， 所求圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求解； （2）由，线段的中点，得到线段的垂直平分线方程与椭圆方程联立，利用判别式证明； （3）设线段的垂直平分线与公共点为 ，连接，得到，从而，然后假设三点不共线，推出矛盾证明； 【小问1详解】 由题意可知，动点 的轨迹是以为焦点的一个椭圆，设方程为： 点 的轨迹方程； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆的乒乓球总数为． （1）求； （2）求的表达式； （3）数列满足，求的通项公式． 参考公式：． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，依次计算即可. （2）结合等差数列前项和公式求出，再利用累加法求解. （3）由（2）的结论，结合裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 依题意，，，，…， ， 累加得， ， 而满足上式，所以. 【小问3详解】 由及（2）得 则， 当时，， 由累加法得，解得， 而满足上式，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $