专题04 平面向量全章综合11种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 平面向量全章综合11种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本概念 题型02平面向量线性运算 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量数量积 题型05向量垂直 题型06向量的模 题型07向量的夹角 题型08投影向量 题型09三角形四心问题 题型10向量在物理中的应用 题型11新定义题 ( 题型01 ) 平面向量基本概念 （多选）1．（2024春•凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是　　 A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 （多选）2．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的是　　 A．若，则 B． C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 3．（2023春•乐山期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若和都是单位向量，则 C．若，，则 D．若，则 ( 题型02 ) 平面向量线性运算 4．（2024春•自贡期末）在△中，　　 A． B． C． D．0 5．（2024春•成都期末）　　 A． B． C． D． 6．（2023春•翠屏区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． ( 题型03 ) 平面向量共线定理 7．（2024春•江阳区期末）已知，． （1）若，且、、三点共线，求的值． （2）当实数为何值时，与垂直？ 8．（2024春•雅安期末）已知向量，． （1）若与垂直，求实数的值； （2）已知，，，为平面内四点，且，，．若，，三点共线，求实数的值． 9．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 10．（2024春•成都期末）已知，为两个不共线的向量，且，，则下列向量与共线的是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•四川期末）已知是不共线的向量，且，则　　 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 ( 题型0 4 ) 平面向量数量积 12．（2024春•龙马潭区期末）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　 A． B． C．1 D． 13．（2024春•郫都区校级期末）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．与的夹角为 14．（2023秋•翠屏区校级期末）平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是　　 A． B． C．1 D．2 15．（2023秋•泸州期末）已知△是边长为3的正三角形，若，则　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量垂直 16．（2024春•青羊区校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 17．（2024春•绵阳期末）已知平面向量，，若，则　　 A． B． C． D．5 18．（2024春•成华区校级期末）已知，则　　 A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 （多选）19．（2024春•内江期末）已知向量，且，则　　 A． B． C．向量在向量上的投影向量坐标是 D．向量与向量的夹角是 ( 题型0 6 ) 向量的模 20．（2024春•成华区校级期末）若与夹角为，且，则　　 A． B．1 C． D．2 21．（2024春•内江期末）已知向量，向量的模长均为2，且．若向量，且，则的最大值是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•成都期末）在中，已知，记，，则　　 A．3 B．2 C．1 D．4 23．（2023秋•四川期末）已知向量，满足，，且，则　　 A．5 B． C．10 D． ( 题型0 7 ) 向量的夹角 24．（2024春•宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 25．（2024春•攀枝花期末）已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•成都期末）在边长为1的正中，，，且，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， ( 题型0 8 ) 投影向量 28．（2024春•凉山州期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 29．（2024春•仁寿县期末）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 30．（2024春•南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•德阳期末）若，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•自贡期末）已知中，，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 33．（2024春•凉山州期末）已知点是的外心，，，，若，则　　 A． B． C．1 D．7 34．（2024春•成华区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，设，分别是的外心和重心，则的最大值是　　 A． B． C． D． （多选）35．（2024春•新都区期末）△的内心为，外心为，重心为，若，，下列结论正确的是　　 A．△的内切圆半径为 B． C． D． ( 题型 10 ) 向量在物理中的应用 36．（2024春•绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 ( 题型 11 ) 新定义题 37．（2024春•南充期末）对于平面向量，定义“变换”： ， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 38．（2023春•四川期末）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则　　． 1．（2023秋•翠屏区校级期末）在中，若，，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•凉山州期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 　　． （多选）3．（2024春•郫都区校级期末）下列四个命题为真命题的是　　 A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 （多选）4．（2024春•眉山期末）如图，在矩形中，，，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． （多选）5．（2024春•雅安期末）若平面向量，满足，则　　 A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 （多选）6．（2024春•成都期末）在中，，分别是线段上的两个三等分点，两点分别靠近，两点），则下列说法正确的是　　 A． B． C．若，，则 D．若，，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量全章综合11种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本概念 题型02平面向量线性运算 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量数量积 题型05向量垂直 题型06向量的模 题型07向量的夹角 题型08投影向量 题型09三角形四心问题 题型10向量在物理中的应用 题型11新定义题 ( 题型01 ) 平面向量基本概念 （多选）1．（2024春•凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是　　 A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 【解析】对于，，是共线的单位向量，则或，错误； 对于，若，是相反向量，则，正确； 对于，，即，则向量，共线，正确； 对于，，点，，，可以不在同一 直线上，错误． 故选：． （多选）2．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的是　　 A．若，则 B． C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【解析】．根据零向量的定义知正确； ．根据向量加法的几何意义知正确； 与方向不同时，，错误； ，与非零向量共线，且是单位向量，正确． 故选：． 3．（2023春•乐山期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若和都是单位向量，则 C．若，，则 D．若，则 【解析】因为向量不能比较大小（除非相等），故错误， 单位向量模都为1，方向任意，故错误， 当时，和可能不平行，故错误， 因为，所以，即， 所以，又，则， 因为，所以，则，故正确． 故选：． ( 题型02 ) 平面向量线性运算 4．（2024春•自贡期末）在△中，　　 A． B． C． D．0 【解析】在△中， ． 故选：． 5．（2024春•成都期末）　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 6．（2023春•翠屏区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． 【解析】对，，错误； 对，，错误； 对，，错误； 对，，正确． 故选：． ( 题型03 ) 平面向量共线定理 7．（2024春•江阳区期末）已知，． （1）若，且、、三点共线，求的值． （2）当实数为何值时，与垂直？ 【解析】（1），，，， 则，，且、、三点共线， 则可得， 即，解得； （2），，，， 则，， 因为与垂直， 则可得，解得． 8．（2024春•雅安期末）已知向量，． （1）若与垂直，求实数的值； （2）已知，，，为平面内四点，且，，．若，，三点共线，求实数的值． 【解析】（1）因为，， 所以， ， 因为与垂直，所以， 解得； （2）因为， ， 所以， ， 因为，，三点共线，所以． 所以， 解得． 9．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 【解析】由两向量共线可知，即，解得或． 故选：． 10．（2024春•成都期末）已知，为两个不共线的向量，且，，则下列向量与共线的是　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，则， 结合向量共线定理可知，，选项符合． 故选：． 11．（2024春•四川期末）已知是不共线的向量，且，则　　 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【解析】对于中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确； 对于中，设，且，可得， 可得，解得，所以，，三点共线，所以正确； 对于中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确； 对于中，设，可得， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确． 故选：． ( 题型0 4 ) 平面向量数量积 12．（2024春•龙马潭区期末）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　 A． B． C．1 D． 【解析】因为，所以设，的方程为：，具体如下图所示： 连接，因为，直线与相切， ，，连接，又为的中点， ，设，，则， ①当点和点在轴异侧时有： ， 又，，当时，有最大值， 的最大值为1， ②当点和点在轴同侧时有： ， 又，， 当时，有最大值， 的最大值为； 综上，的最大值为． 故选：． 13．（2024春•郫都区校级期末）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．与的夹角为 【解析】对于，因为平面向量，的夹角为，且满足，， 所以，故正确； 对于，由知，则，故正确； 对于，，故正确； 对于，因为， 所以，， 所以，，故错误． 故选：． 14．（2023秋•翠屏区校级期末）平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是　　 A． B． C．1 D．2 【解析】已知平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点）， 则，， 又，， 所以． 故选：． 15．（2023秋•泸州期末）已知△是边长为3的正三角形，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，因为△是边长为2的等边三角形，且， 所以， 所以． 故选：． ( 题型0 5 ) 向量垂直 16．（2024春•青羊区校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，， 若，则， 解得． 故选：． 17．（2024春•绵阳期末）已知平面向量，，若，则　　 A． B． C． D．5 【解析】平面向量，，， ， 解得． 故选：． （多选）18．（2024春•成华区校级期末）已知，则　　 A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 【解析】若，则，解得或， 可知，等价于或， 若，不能推出，所以“”不是“”的必要条件，故错误； 若，可以推出，所以“”是“”的充分条件，故正确； 若，则，解得， 可知，等价于， 若，可以推出，所以“”是“”的必要条件，故正确； 若，不能推出，“”不是“”的充分条件，故错误． 故选：． （多选）19．（2024春•内江期末）已知向量，且，则　　 A． B． C．向量在向量上的投影向量坐标是 D．向量与向量的夹角是 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得， 所以， 对于，因为，，所以， 所以，所以错误， 对于，由，知错误， 对于，向量在向量上的投影向量坐标为，所以正确， 对于，， 因为，所以，所以正确． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量的模 20．（2024春•成华区校级期末）若与夹角为，且，则　　 A． B．1 C． D．2 【解析】由，得， ，所以或， 当时，则共线，不满足题意， 所以． 故选：． 21．（2024春•内江期末）已知向量，向量的模长均为2，且．若向量，且，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是． 故选：． 22．（2024春•成都期末）在中，已知，记，，则　　 A．3 B．2 C．1 D．4 【解析】在中，已知，记，， ． 故选：． 23．（2023秋•四川期末）已知向量，满足，，且，则　　 A．5 B． C．10 D． 【解析】已知， 则， 又， 则， 又， 则， 所以． 故选：． ( 题型0 7 ) 向量的夹角 24．（2024春•宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，，则， 因为，所以， 即，所以， 设与的夹角为，则，又，， 所以与的夹角为． 故选：． 25．（2024春•攀枝花期末）已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为是单位向量，所以， 因为在方向上的投影向量是， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以． 故选：． 26．（2024春•成都期末）在边长为1的正中，，，且，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为在边长为1的正中，，， 所以， 所以， ， ， 所以， 因为，所以． 故选：． 27．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 【解析】当与反向共线时，， 与的夹角为钝角， 且， ，解得，且． 故选：． ( 题型0 8 ) 投影向量 28．（2024春•凉山州期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 故选：． 29．（2024春•仁寿县期末）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】在上的投影向量为 ． 故选：． 30．（2024春•南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 31．（2024春•德阳期末）若，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，且， 所以，解得，则， 所以在方向上的投影向量为． 故选：． 32．（2024春•自贡期末）已知中，，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，则，即， 又因为，所以， 所以点为的中点， 因为，所以， 所以，，且， 所以， 所以在上的投影向量为． 故选：． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 33．（2024春•凉山州期末）已知点是的外心，，，，若，则　　 A． B． C．1 D．7 【解析】由，，，可得， 因为是的外心， 所以，， 又， 所以，① ，② 联立①②可得：，， 故． 故选：． 34．（2024春•成华区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，设，分别是的外心和重心，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】设为边中点，连接，作于，即为中点， 因为， 同理， 则 ， 在中，，， 由余弦定理得，即， 由均值不等式，， 所以（当且仅当等号成立）， 所以． 故选：． （多选）35．（2024春•新都区期末）△的内心为，外心为，重心为，若，，下列结论正确的是　　 A．△的内切圆半径为 B． C． D． 【解析】取边的中点，连接， 因为，所以内心、外心、重心都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于，由， 得，解得，故正确； 对于，因为，，所以， ，故正确； 对于，由余弦定理得， ，所以， 所以△的外接圆半径， ，所以， 所以 ，故错误； 对于，△的外接圆半径， ，所以，故正确． 故选：． ( 题型 10 ) 向量在物理中的应用 36．（2024春•绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【解析】设，，， 由题意可得：四边形为菱形且， 因为与的夹角为，， 则， 即， 对于，当时，， 则， 即正确； 对于，当时，， 则， 即错误； 对于，当取最大值时，有最小值， 又， 即当时，取不到最小值， 即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大， 即错误． 故选：． ( 题型 11 ) 新定义题 37．（2024春•南充期末）对于平面向量，定义“变换”： ， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 【解析】（1）因为向量， 所以， 所以． （2）证明：因为． 所以， ． ． ，所以． （3）证明：方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在，内单调递减，， 可知， 所以． 所以． 方法二：设， ， 因为， ， 所以， ， 所以． 38．（2023春•四川期末）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则　　． 【解析】由题意，可得 ， 同理可得：，其中、都是整数 将化简的两式相乘，可得． ，且、， 与的夹角，可得， 即，，结合、均为整数，可得且，从而得 故答案为： 1．（2023秋•翠屏区校级期末）在中，若，，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】在直线上取如图所示的、两点，使得， 因为，， 所以，， 则，当且仅当时取等号， 即的面积的最大值为． 故选：． 2．（2024春•凉山州期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 　　． 【解析】因为向量在上的投影向量为， 所以，即， 所以， ， 因为为非零向量，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． （多选）3．（2024春•郫都区校级期末）下列四个命题为真命题的是　　 A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 【解析】对于，若，则显然有，，但未必有，故错误； 对于，在上的投影向量为，故正确； 对于，注意到也是与向量共线的单位向量，故错误； 对于，由于 ， 其中， 且当，时，有． 所以的最大值是，故正确． 故选：． （多选）4．（2024春•眉山期末）如图，在矩形中，，，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，，故正确，错误； 因为， 所以 ，故错误，正确． 故选：． （多选）5．（2024春•雅安期末）若平面向量，满足，则　　 A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【解析】已知平面向量，满足， 对于， 则， 故正确； 对于， 故错误； 对于， 又， 则向量与的夹角为， 故错误； 对于在上的投影向量为， 故正确． 故选：． （多选）6．（2024春•成都期末）在中，，分别是线段上的两个三等分点，两点分别靠近，两点），则下列说法正确的是　　 A． B． C．若，，则 D．若，，则 【解析】根据题意可得，，选项错误； ，选项正确； 若，，则的外心与重心合一， 是边长为的等边三角形， ，选项正确； 对选项，若，， 则是腰为的等腰直角三角形， ，选项正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$